094 đề HSG toán 7 huyện bố trạch 2017 2018

AH ⊥BC H BC∈ Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN... Tìm giá trị nhỏ nhất của c.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỐ TRẠCH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018

MÔN TOÁN 7 Câu 1 (5 điểm)

a) Cho biểu thức:

4

P x= − xy y+

Tính giá trị của P

với

1,5; 0,75

x = y= −

b) Rút gọn biểu thức ( )

12 5 6 6

2 3 4 81

2 3 8 3

+

Câu 2 (4 điểm)

a) Tìm

, ,

x y z

biết:

2x=3 ;4y y=5z

và

11

x y z+ + =

b) Tìm x,

biết:

x+ + + + + =x x x

Câu 3 (3 điểm) Cho hàm số

3

( ) 4

y = f x = − x +x

a) Tính

(0); ( 0,5)

b) Chứng minh : f ( )− = −a f a( )

Câu 4 (1,0 điểm) Tìm cặp số nguyên ( )x y,

biết

x y x y+ =

Câu 5 (6 điểm) Cho tam giác ABCcó góc A

nhỏ hơn

0

90

Vẽ ra ngoài tam giác

ABC

các tam giác vuông cân tại A

là ∆ABM

và ∆ACN

a) Chứng minh rằng: ∆AMC = ∆ABN

b) Chứng minh: BN ⊥CM

c) Kẻ

( )

AH ⊥BC H BC∈

Chứng minh AH

đi qua trung điểm của MN

Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số a b c, ,

thỏa mãn 0≤ ≤ + ≤ +a b 1 c 2

và a b c+ + =1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của c.

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) Ta có:

1,5 1,5

1,5

x x

x

=



= ⇒  = −

Với

1,5; 0,75

x= y = −

thì:

1,5 4.1,5.( 0,75) 0,75 1,5.(1 3) 0,75 5,25

Với

1,5; 0,75

x= − y= −

thì:

1,5 4 1,5 0,75 0,75 6,75

12 4

12 5 6 12 5 12 4

2 3 3 1

2 3 4 81 2 3 2 3 1 )

2 3 2 3 2 3 3 1 3

2 3 8 3

+

Câu 2.

)2 3 ;4 5 ;

3 2 5 4 15 10 8

11 1

15 10 8 15 10 8 33 3

10 8 5; ;

+ +

+ +

b)

x+ + + + + =x x x

Vì VT ≥ ⇒0 4x≥ ⇒ ≥0 x 0,

do đó:

( )

⇒ + + + + + = ⇒ =

Câu 3.

( ) 3

) (0) 0

1 1

2 2

a f

f

=

 

− = − − ÷ − =

 

− = − − − = −

− = − − + = −

⇒ − = −

Câu 4.

1

y

y

−

Vì x∈ ⇒¢ y yM − ⇒ − +1 y 1 1My− ⇒1 1My−1

, do đó

y

= ⇒ =



− = ± ⇒  = ⇒ =

Vậy các cặp số nguyên ( )x y;

là ( ) ( )0,0 ; 2,2

Câu 5.

a) Xét ∆AMC

và ∆ABN

có:

(

AM =AB AMB∆

vuông cân) (

AC = AN ACN∆

vuông cân)

· · ( 900 · )

⇒ = = + ⇒ ∆AMC= ∆ABN c g c( )

b) Gọi I

là giao điểm của BN AC K, ,

là giao điểm của BN MC,

Xét ∆KIC

và ∆AIN

có:

·ANI =·KCI

(

)

· ·

AIN KIC=

(đối đỉnh)

· · 90 ,0

IKC NAI

do đó: MC ⊥BN

c) Kẻ ME ⊥ AH

tại E, NF ⊥ AH

tại F Gọi D

là giao điểm của MNvà AH

Ta có:

· · 900( · 900)

BAH MAE+ = MAB =

Lại có:

· · 900

MAE AME+ =

nên

·AME BAH= · Xét ∆MAE

và ∆ABH

vuông tại E và H ta có:

AME BAH MA AB= = ⇒ ∆MAE = ∆ABH ch gn− ⇒ME AH=

Chứng minh tương tự ta có ∆AFN = ∆CHA⇒FN =AH

Xét ∆MED

và ∆NFD

vuông tại E F,

có:

ME NF= = AH EMD FND=

(cùng phụ với ·MDE

và ·FDN

mà

MDE FDN=

Vậy AH

đi qua trung điểm của MN

Câu 6.

Vì 0≤ ≤ + ≤ +a b 1 c 2

nên 0≤ + + + + ≤ + + + + +a b 1 c 2 c 2 c 2 c 2

0 4 3c 6

⇒ ≤ ≤ +

(vì

1)

a b c+ + =

Hay

2

3 2

3

c≥ − ⇒ ≥ −c

Vậy giá trị nhỏ nhất của clà

2 3

−

khi đó

5 3

a b+ =