Xác suất thống kê chương 4

XÁC SUT THNG KÊ XÁC SUẤT THỐNG KÊ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN GV Lê Thị Mai Thanh Ngày 13 tháng 1 năm 2022 Chương 4 Ước lượng cho một tham số thống kê Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X.

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN

GV Lê Thị Mai Thanh

Ngày 13 tháng 1 năm 2022

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có tham số θ chưa biết Ước lượng tham

số θ là dựa vào mẫu ngẫu nhiên Wx= (X1, X2, , Xn) ta đưa ra

thống kê g = G (X1, X2, , Xn) để ước lượng (dự đoán) θ

Có 2 phương pháp ước lượng:

i Ước lượng điểm: chỉ ra θ = θ0 nào đó để uớc lượng θ

ii Ước lượng khoảng: chỉ ra một khoảng (θ1, θ2) chứa θ sao cho

P (θ1< θ < θ2) = 1 − α cho trước

4.1 Ước lượng điểm

Giả sử cần ước lượng tham số θ của đại lượng ngẫu nhiên X

Từ X ta lập mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, Xn)

Chọn thống kê G(X2, Xn) - là hàm ước lượng cho θ của tổngthể

Thực hiện phép thử ta được mẫu cụ thể (x1, x2, xn)

Khi đó ước lượng điểm của θ = G(x1, x2, xn)

Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N µ; σ2
Giả sử

(X1, X2, , Xn) là mẫu ngẫu nhiên

- Để ước lượng cho trung bình tổng thể µ ta dùng hàm ước lượng làtrung bình mẫu ngẫu nhiên ¯X = 1

n(X1+ X2+ + Xn) thì trungbình mẫu cụ thể ¯x là 1 ước lượng điểm của µ

- Để ước lượng cho phương sai tổng thể σ2 ta dùng hàm ước lượng làphương sai mẫu hiệu chỉnh S2 = 1

4.2 Ước lượng khoảng

4.2.1 Ước lượng khoảng tin cậy

Ước lượng khoảng tin cậy nhằm chỉ ra một khoảng ngẫu nhiên (θ1, θ2)

mà giá trị θ thuộc vào với xác suất đủ lớn (đủ gần 1) Ta gọi xác suấtnày là độ tin cậy của ước lượng và thường ký hiệu là 1 − α (với α gần0)

P (θ1 < θ < θ2) = 1 − αKhi đó, khoảng (θ1, θ2) gọi là khoảng tin cậy cho θ

Giả sử trung bình của tổng thể E(X) = µ chưa biết Ta cần tìm

khoảng (µ1, µ2) chứa µ sao cho P (µ1 < µ < µ2) = 1 − α cho trước.Ước lượng chia làm 3 trường hợp

Trường hợp đã biết σ2

Trường hợp chưa biết σ2 và kích thước mẫu n ≥ 30

Trường hợp chưa biết σ2 và kích thước mẫu n < 30

4.2 Ước lượng khoảng

4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể

Giá trị tới hạn chuẩn mức α

Giá trị tới hạn chuẩn mức α , ký hiệu là zα, là giá trị của biến ngẫunhiên Z ∼ N (0, 1), thỏa điều kiện: P (Z > zα) = α tức là

0.5 − ϕ(zα) = α

zα là 1 điểm trên trục hoành sao cho diện tích miền tô đen bằng α

Ví dụ : z0.025= 1, 96; z0.01= 2.33

Trường hợp đã biết σ2

Nếu X có phân phối chuẩn thì thống kê G = ( ¯X − µ)

√n

4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể

Vậy với độ tin cậy 1 − α, khoảng tin cậy của µ là



¯

X − zα 2

Quy trình thực hiện

Tính ¯x (nếu chưa cho)

Với độ tin cậy 1 − α, ta có ϕ(zα

4.2 Ước lượng khoảng

4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể

Hãy ước lượng mức thu nhập trung bình trong vùng với độ tin cậy

95%, biết rằng thu nhập là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độlệch chuẩn σ = 0.2

4.2 Ước lượng khoảng

4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể

Trường hợp chưa biết σ2 và kích thước mẫu n ≥ 30

Vì kích thước mẫu lớn nên ta dùng phương sai mẫu hiệu chỉnh s2 đểước lượng cho σ2 chưa biết

Khi đó khoảng tin cậy 1 − α cho µ là(¯x − , ¯x + ), với  = zα

2

s

√n

Ví dụ

Điều tra đường huyết 100 người, có kết quả sau:

Trung bình mẫu: 100mg

Độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh: 10, 08mg

Tìm khoảng tin cậy 95% cho đường huyết trung bình của dân số

4.2 Ước lượng khoảng

4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể

Trường hợp chưa biết σ2 và kích thước mẫu n < 30

• Thống kê G = ( ¯X − µ)

√n

σ có phân phối Student với n-1 bậc tự do.

• Khoảng tin cậy của µ với độ tin cậy 1 − α có dạng (¯x − , ¯x + ).trong đó, độ chính xác:  = tα

2(n − 1)√s

nvới tα

2(n − 1) là giá trị tới hạn mức α

2 của phân phối Student n-1 bậc

tự do

Ví dụ

Giá bán của một loại thiết bị (đv: USD) trên thị trường là biến ngẫunhiên có phân phối chuẩn Một người định mua một thiết bị loại này,khảo sát ngẫu nhiên tại 8 cửa hàng nhận thấy giá bán trung bình là137.75 USD và độ lệch chuẩn hiệu chỉnh của mẫu là 7.98 USD Với độtin cậy 90%, hãy ước lượng giá bán trung bình của thiết bị loại nàytrên thị trường

4.2 Ước lượng khoảng

4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể

Giải

Gọi X là giá bán (USD) của một thiết bị loại này trên thị trường

µ là giá bán trung bình của thiết bị loại này trên thị trường

Với độ tin cậy 1 − α = 0.9 ⇒ α

2 = 0.05 và n − 1 = 7

Student

−→ t α

2(n − 1) = t0.05(7) = 1.895

Độ chính xác cuả ước lượng  = tα

2(n − 1)√s

n = 5.3465Khoảng tin cậy cho 90% cho µ là

(¯x − , ¯x + ) = (132.3035; 143.0965) (U SD)

Độ chính xác càng nhỏ thì khoảng ước lượng càng hẹp, kết quả càng ýnghĩa

⇒ để giảm độ chính xác ta tăng kích thước mẫu

Tuy nhiên, không thể muốn tăng n lớn bao nhiêu cũng được tức là

không thể giảm độ chính xác nhỏ bao nhiêu cũng được, vì vậy người tathường yêu cầu độ chính xác nhỏ ở một giới hạn 0 nào đó

Để đảm bảo yêu cầu này thì kích thước mẫu phải không nhỏ hơn mộtgiá trị nmin gọi là kích thước mẫu tối thiểu

Để tìm nmin (kích thước mẫu tối thiểu) ta biến đổi

4.2 Ước lượng khoảng

4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể

Ví dụ

Lượng xăng hao phí của một ô tô đi từ A đến B sau 150 lần chạy đượckhảo sát có giá trị trung bình là 10.56 lít và độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là0.587 lít Để ước lượng lượng xăng hao phí trung bình của ô tô này khi

đi từ A đến B đảm bảo độ chính xác 0.08 lít với độ tin cậy 95% thì cầnkhảo sát ít nhất bao nhiêu lần chạy từ A đến B của ô tô này?

0.08

2

= 206.8 ⇒ nmin = 207Vậy cần khảo sát ít nhất 207 lần chạy từ A đến B của ô tô này

Độ tin cậy đối với ước lượng trung bình

s ⇒ 1 − α = 2ϕ(zα2)

4.2 Ước lượng khoảng

4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể

Ví dụ

Lượng xăng hao phí của một ô tô đi từ A đến B sau 150 lần chạy đượckhảo sát có giá trị trung bình là 10,56 lít và độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là0,587 lít Biết rằng phép ước lượng lượng xăng hao phí trung bình của

ô tô này khi đi từ A đến B đạt độ chính xác là 0,1 lít, hỏi độ tin cậycủa phép ước lượng đó là bao nhiêu?

0, 1√150

0, 587 = 2, 09Tra bảng Laplace ta có ϕ(zα

2) = ϕ(2, 09) = 0, 4817

⇒ 1 − α = 2ϕ(zα

2) = 0, 9634Vậy độ tin cậy của phép ước lượng trên là 96, 34%

Khoảng tin cậy cho tỉ lệ tổng thể

Cho biến cố A với xác suất (tỉ lệ) xảy ra là p chưa biết Ước lượng tỷ lệ

là chỉ ra khoảng (f1, f2) chứa p sao cho P (f1 < p < f2) = 1 − α

Thực hiện n lần phép thử thì có m lần xuất hiện biến cố A

Ta có tần suất xuất hiện biến cố A là f = m

n Theo lý thuyết xác suất,thì thống kê:

(f − p)√npf(1 − f) ' N (0, 1)khi cỡ mẫu n đủ lớn

4.2 Ước lượng khoảng

4.2.3 Ước lượng khoảng cho tỉ lệ

Từ đó suy ra

P −zα

2 < (f − p)

√npf(1 − f) < zα2

Quy tắc thực hành tìm khoảng tin cậy 1 − α cho tỷ lệ p

Ví dụ

Quan sát ngẫu nhiên 200 lọ thuốc trong một lô hàng rất nhiều lọ thuốcthì thấy có 17 lọ không đạt tiêu chuẩn Với độ tin cậy 95%, hãy ướclượng tỉ lệ thuốc không đạt tiêu chuẩn?



zα 2

2

⇒ nmin

Ví dụ

Khảo sát ngẫu nhiên 300 sản phẩm của một loại mặt hàng, ta thấy có

24 phế phẩm Cho biết độ chính xác của phép ước lượng tỉ lệ phế phẩmcủa mặt hàng đó là 4%, hỏi độ tin cậy của phép ước lượng trên là baonhiêu?

0, 04√300p0, 08(1 − 0, 08) = 2, 55

zα

2 = 2, 55 Laplace−→ ϕ



zα 2



= 0, 98922 = 98, 922%

Vậy độ tin cậy của ước lượng trên là 98, 9222%