Xác suất thống kê chương 1

XÁC SUT THNG KÊ XÁC SUẤT THỐNG KÊ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN GV Lê Thị Mai Thanh Ngày 19 tháng 4 năm 2022 Nội dung môn học 1 Khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất 2 Đại lượng ngẫ.

Trang 1

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN

GV Lê Thị Mai Thanh

Ngày 19 tháng 4 năm 2022

Trang 2

Nội dung môn học

1 Khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất

2 Đại lượng ngẫu nhiên

3 Lý thuyết mẫu

4 Ước lượng cho một tham số thống kê

5 Kiểm định giả thuyết

Nội dung chương 1

1 Giải tích tổ hợp

2 Biến cố và mỗi quan hệ giữa các biến cố

3 Định nghĩa xác suất

4 Một số công thức tính xác suất

Trang 3

Nội dung môn học

1 Khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất

2 Đại lượng ngẫu nhiên

3 Lý thuyết mẫu

4 Ước lượng cho một tham số thống kê

5 Kiểm định giả thuyết

Nội dung chương 1

1 Giải tích tổ hợp

2 Biến cố và mỗi quan hệ giữa các biến cố

3 Định nghĩa xác suất

4 Một số công thức tính xác suất

Trang 4

Chương 1: Khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất

Trang 5

1.1 Giải tích tổ hợp

1.1.1 Công thức cộng

Ví dụ

Khoa Y của trường đại học X vừa tuyển được 230 sinh viên gồm sinh

viên thi đánh năng lực trong đó có 50 nam và sinh viên tham gia kì thi

THPT trong đó có 115 nam Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên của khoa Y

Hỏi có bao nhiêu cách để chọn sinh viên nam?

GiảiPhương án 1: chọn 1 sinh viên nam từ kết quả thi đánh giá nănglực, n1 = 50 cách

Phương án 2: chọn 1 sinh viên nam từ kết quả thi THPT, n2 = 115cách

Vậy theo quy tắc cộng thì có 50 + 115 = 165 cách chọn sinh viênnam trong khoa Y

Trang 7

Giai đoạn 1 có n1 cách thực hiện.

Giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện

Giai đoạn k có nk cách thực hiện

Khi đó, số cách để hoàn thành công việc A là: n1× n2× × nk

Trang 8

1.1.2 Công thức nhân

Ví dụ

Có 3 cách đi từ địa điểm A đến địa điểm B, có 5 cách đi từ địa điểm B

đến địa điểm C và có 2 cách đi từ địa điểm C đến địa điểm D Hỏi có

bao nhiêu cách đi từ địa điểm A đến địa điểm D?

Số cách đi từ thành phố A đến thành phố D là

n = 3 × 5 × 2 = 30 cách

Trang 9

Số cách đi từ thành phố A đến thành phố D là

n = 3 × 5 × 2 = 30 cách

Trang 10

Đêm chung kết hoa khôi sinh viên thành phố có 12 thí sinh Chọn 3 thí

sinh trao giải: Hoa khôi, Á khôi 1, Á khôi 2 Có bao nhiêu cách chọn ?

Thí sinh được trao giải, được chọn từ 12 thí sinh, và có thứ tựVậy số cách chọn là: A312= 12.11.10 = 1320

Trang 12

Biển đăng kí ô tô có 6 chữ số và 2 chữ cái trong 26 chữ cái (không

dùng chữ O và I ) Hỏi số ô tô được đăng kí nhiều nhất là bao nhiêu?

Số cách chọn ra hai chữ cái: ˜A224= 242

Số cách chọn ra sáu chữ số: ˜A6

10= 106

Vậy có tất cả 242.106 = 576000000 biển số

Trang 14

• Toán cao cấp A1 : 6 cuốn

• Toán kinh tế : 2 cuốn

• Xác suất thống kê : 3 cuốnđược đặt lên giá sách Có bao nhiêu cách sắp:a) Tuỳ ý

b) Các cuốn sách được đặt theo từng bộ

Trang 15

1.1.4 Hoán vị

Định nghĩa

Hoán vị của n phần tử là nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử đãcho

Số hoán vị: Pn= n!

Ví dụ

Có 3 bộ sách:

• Toán cao cấp A1 : 6 cuốn

• Toán kinh tế : 2 cuốn

• Xác suất thống kê : 3 cuốn

được đặt lên giá sách Có bao nhiêu cách sắp:

a) Tuỳ ý

b) Các cuốn sách được đặt theo từng bộ

Trang 18

k! =

n!

(n − k)!k!, (k ≤ n)

Ví dụ

Có 5 mẫu máu cần xét nghiệm nhưng chỉ có đủ hóa chất để xét nghiệm

cho 3 mẫu Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện?

Giải

Số cách xét nghiệm chính là số cách chọn 3 mẫu máu từ 5 mẫu máuhay số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử Vậy có C53 = 10 cách

Trang 20

Ta có mỗi cách chọn là mỗi tổ hợp lặp chập 2 của 3 Cụ thể AA,

AB, AC, BB, BC, CC

Vậy C3+2−12 = 6 cách

Trang 21

Ta có mỗi cách chọn là mỗi tổ hợp lặp chập 2 của 3 Cụ thể AA,

AB, AC, BB, BC, CC

Vậy C3+2−12 = 6 cách

Trang 22

1.2 Biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố

1.2.1 Khái niệm về phép thử và biến cố

Phép thử

Là nhóm điều kiện có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong cùng điều kiện

Khi nghiên cứu đo chiều cao, làm xét nghiệm, chẩn đoán bệnh, điềutrị bệnh là các phép thử

Biến cố

Là kết quả của một phép thử Các biến cố được ký hiệu bởi các chữ A,

B, C

Xét nghiệm dương tính: A, chẩn đoán có bệnh: B, điều trị khỏi: K

là các biến cố hay gặp trong y học

Trang 23

1.2.2 Các loại biến cố

Biến cố chắc chắn

Là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử

Tập hợp các biến cố sơ cấp gọi là không gian mẫu Ω

Ví dụ

Khi tung một con xúc xắc thì biến cố “xúc xắc xuất hiện mặt có sốchấm nhỏ hơn hoặc bằng sáu” là biến cố chắc chắn

Khi đó Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Trang 24

Biến cố chắc chắn

Là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử

Tập hợp các biến cố sơ cấp gọi là không gian mẫu Ω

Ví dụ

Khi tung một con xúc xắc thì biến cố “xúc xắc xuất hiện mặt có sốchấm nhỏ hơn hoặc bằng sáu” là biến cố chắc chắn

Khi đó Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Trang 25

Biến cố không thể có ∅: là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện

phép thử

Biến cố ngẫu nhiên:là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi

thực hiện phép thử Các biến cố ngẫu nhiên thường được ký hiệu là A,

Trang 26

Trang 27

1.2.3 Mối quan hệ giữa các biến cố

Hai biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không đồng

thời xảy ra trong một phép thử, tức là AB = ∅

Ví dụ

Một người đàn ông đi xét nghiệm HIV/AIDS Gọi A là biến cố "kếtquả xét nghiệm là âm tính" và B là biến cố "kết quả xét nghiệm làdương tính" Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc

Trang 28

Hai biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không đồngthời xảy ra trong một phép thử, tức là AB = ∅

Ví dụ

Một người đàn ông đi xét nghiệm HIV/AIDS Gọi A là biến cố "kếtquả xét nghiệm là âm tính" và B là biến cố "kết quả xét nghiệm làdương tính" Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc

Trang 29

Xung khắc từng đôi

Nhóm n biến cố A1, A2, , An, được gọi là xung khắc từng đôi nếu

hai biến cố bất kỳ trong n biến cố này xung khắc với nhau

Ví dụ

Tung một con xúc xắc Gọi Ai(i = 1, 6) là biến cố: “xúc xắc xuất hiệnmặt i chấm“ Nhóm 6 biến cốA1, A2, , A6 là xung khắc từng đôi

Trang 30

Trang 31

Họ biến cố đầy đủ

Các biến cố A1, A2, , An được gọi là họ đầy đủ nếu chúng xung khắc

từng đôi và tổng của chúng là biến cố chắc chắn, tức là

Trang 32

Gọi Ai(i = 1, 6) là biến cố “xuất hiện mặt i chấm”

Các biến cố A1, A2, , A6 tạo nên một nhóm các biến cố đầy đủ vì

chúng xung khắc từng đôi một và tổng của 6 biến cố đó là biến cố chắcchắn: Ω = A1+ A2+ + A6

Trang 33

Hai biến cố đối lập

Trang 34

Chú ý: Hai biến cố đối nhau thì xung khắc, nhưng hai biến cố

xung khắc thì chưa chắc đã đối nhau

Ví dụ

Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong trường

A là biến cố: “Bạn đó là sinh viên khoa Y”

B là biến cố: “Bạn đó là sinh viên khoa CNTT”

Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc, nhưng A và B không phải làhai biến cố đối nhau

Trang 35

1.2.3 Các phép toán của biến cố

Tổng hai biến cố

Biến cố tổng xảy khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A, Bxảy ra

Kí hiệu: A + B hoặc A ∪ B

Trang 36

Ví dụ

Chọn ngẫu nhiên từ hai lớp Y dược 1 và 2, mỗi lớp 1 sinh viên

Gọi A là biến cố “bạn chọn từ lớp YD1 là nam”

B là biến cố “ bạn chọn từ lớp YD2 là nam”

C là biến cố “ chọn được sinh viên nam”

Biến cố C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ranên C = A + B

Trang 37

Tích hai biến cố

Biến cố tích xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra

Ký hiệu là: A.B hoặc A ∩ B

Trang 38

Ví dụ:

Hai phòng bệnh 1 và 2 đều có bệnh nhân mắc bệnh tim Chọn ngẫunhiên mỗi phòng 1 bệnh nhân

Gọi A là biến cố “chọn được bệnh nhân mắc bệnh tim nằm ở phòng 1

B là biến cố “chọn được bệnh nhân mắc bệnh tim nằm ở phòng 2

C là biến cố “cả hai bệnh nhân đều mắc bệnh tim”

Do C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy ra nên C = A.B

Trang 39

1.3 Định nghĩa xác suất

1.3.1 Định nghĩa xác suất cổ điển

Giả sử một phép thử có n trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra,

trong đó có m trường hợp thuận lợi cho biến cố A

Khi đó, xác suất của biến cố A bằng

Trang 40

Giả sử một phép thử có n trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra,trong đó có m trường hợp thuận lợi cho biến cố A

Khi đó, xác suất của biến cố A bằng

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất Tìm xác suất để:

a) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn

b) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm nhỏ hơn 7

Trang 41

Không gian mẫu gồm 6 trường hợp ⇒ Số phần tử của không gianmẫu n(Ω) = 6

a) Gọi A là biến cố mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn

Các kết quả thuận lợi của biến cố A là {2, 4, 6}

Vậy P (A) = 3

6 =

1

2.b) Gọi B là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấmnhỏ hơn 7

- Các kết quả thuận lợi của biến cố B là 6 trường hợp

Vậy P (B) = 6

6 = 1.

Trang 43

Số phần tử của không gian mẫu là

n(Ω) = C523 = 22100Gọi A là biến cố trong 3 quân bài chọn ra có đúng một quân bàimầu đỏ

- Giai đoạn 1: Lấy ra 2 quân bài khác màu đỏ trong số 26 quân bài:

C262 cách lấy

- Giai đoạn 2: Lấy ra 1 quân bài màu đỏ trong số 26 quân bài màu

đỏ của bộ bài: C261 cách lấy

Số trường hợp thuận lợi của biến cố A

m = C262 C261 = 8450Vậy P (A) = 8450

22100 ∼ 0, 38

Trang 44

được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A

Khi n đủ lớn thì f dần ổn định về một hằng số p Khi đó xác suấtcủa biến cố A theo quan điểm thống kê chính là hằng số p này, tức

P (A) = lim

n→∞

m

n = p

Tuy nhiên, ta không thể tiến hành vô hạn phép thử, nhưng đối với

số phép thử đủ lớn ta có thể xem xác suất xấp xỉ bằng tần suất

m

Trang 45

1.3.2 Xác suất theo quan điểm thống kê

Nhận xét: khi số lần thử tăng lên tần suất xuất hiện mặt sấp dần

ổn định về giá trị 0,5 chính là xác suất tính theo định nghĩa cổ điểnnếu đồng xu hoàn toàn cân đối

Trang 47

1.4 Một số công thức tính xác suất

1.4.1 Công thức cộng xác suất

Ví dụ

Ở một địa phương tỷ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết áp

là 12%, mắc cả hai bệnh là 7% Chọn ngẫu nhiên 1 người, tính xác

suất người này mắc ít nhất một trong hai loại bệnh trên

GiảiGọi A, B lần lượt là các biến cố người được chọn bị mắc bệnh tim,huyết áp

Khi đó, A + B là biến cố người đó mắc ít nhất một trong hai loạibệnh Vậy

P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 9% + 12% − 7% = 14%

Trang 48

1.4.1 Công thức cộng xác suất

Ví dụ

Ở một địa phương tỷ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết áp

là 12%, mắc cả hai bệnh là 7% Chọn ngẫu nhiên 1 người, tính xác

suất người này mắc ít nhất một trong hai loại bệnh trên

Trang 49

Ví dụ

Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên

không hoàn lại từ lô hàng ra 6 sản phẩm Tính xác suất trong 6 sản

phẩm được lấy ra có không quá 1 phế phẩm

Gọi A là biến cố không có phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra

B là biến cố có đúng một phế phẩm

C là biến cố có không quá một phế phẩm

Do A và B là hai biến cố xung khắc nên C = A + B

P (A) = C

6 8

C106 =

28

210 =

215

P (B) = C

1

2 · C5 8

C6 10

= 112

210 =

815

P (C) = P (A) + P (B) = 2

15 +

8

15 =23

Trang 50

Ví dụ

Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiênkhông hoàn lại từ lô hàng ra 6 sản phẩm Tính xác suất trong 6 sảnphẩm được lấy ra có không quá 1 phế phẩm

Gọi A là biến cố không có phế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra

B là biến cố có đúng một phế phẩm

C là biến cố có không quá một phế phẩm

Do A và B là hai biến cố xung khắc nên C = A + B

P (A) = C

6 8

C106 =

28

210 =

215

P (B) = C

1

2 · C5 8

C6 10

= 112

210 =

815

P (C) = P (A) + P (B) = 2

15 +

8

15 =23

Trang 51

1.4.2 Công thức xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện

Xác suất của biến cố B xét trong điều kiện biến cố A đã xảy ra gọi làxác suất của biến cố B với điều kiện biến cố A và ký hiệu là P (B|A)

P (B|A) = P (AB)

P (A)

Nhận xét:

P ( ¯B|A) = 1 − P (B|A)

Trang 52

Ví dụ

Một bệnh nhân trải qua 2 xét nghiệm liên tiếp Biết xác suất người này

có kết quả âm tính ở xét nghiệm thứ nhất là 0.8; âm tính ở cả hai xét

nghiệm là 0.6 Tính xác suất có kết quả âm tính ở xét nghiệm thứ hai

biết xét nghiệm thứ nhất cho kết quả âm tính

GiảiGọi A là biến cố xét nghiệm 1 âm tính

B là biến cố xét nghiệm 2 âm tính

Ta có : P (A) = 0.8, P (AB) = 0.6 Khi đó,

P (B|A) = P (AB)

0.60.8 = 0.75

Trang 53

Ví dụ

Một bệnh nhân trải qua 2 xét nghiệm liên tiếp Biết xác suất người này

có kết quả âm tính ở xét nghiệm thứ nhất là 0.8; âm tính ở cả hai xétnghiệm là 0.6 Tính xác suất có kết quả âm tính ở xét nghiệm thứ haibiết xét nghiệm thứ nhất cho kết quả âm tính

Giải

Gọi A là biến cố xét nghiệm 1 âm tính

B là biến cố xét nghiệm 2 âm tính

Ta có : P (A) = 0.8, P (AB) = 0.6 Khi đó,

P (B|A) = P (AB)

0.60.8 = 0.75

Trang 54

Từ công thức xác suất có điều kiện ta có được

Công thức nhân tổng quát

P (AB) = P (B|A)P (A) = P (A|B)P (B)

Ví dụ

Trong hộp có 20 nắp chai bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừngbạn đã trúng thưởng xe BMW ” Bạn được chọn lên rút thăm lần lượthai nắp chai bia, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng

Trang 55

Từ công thức xác suất có điều kiện ta có được

Công thức nhân tổng quát

P (AB) = P (B|A)P (A) = P (A|B)P (B)

Ví dụ

Trong hộp có 20 nắp chai bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừngbạn đã trúng thưởng xe BMW ” Bạn được chọn lên rút thăm lần lượthai nắp chai bia, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng

Trang 56

Gọi A là biến cố “nắp chai bia thứ nhất trúng thưởng”

B là biến cố “nắp chai bia thứ hai trúng thưởng”

Rút thăm lần đầu: hộp có 20 nắp - 2 nắp trúng nên P (A) = 2

20Khi biến cố A đã xảy ra thì còn 19 nắp - 1 nắp trúng thưởng nên

P (B|A) = 1

19

Vậy xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là

P (AB) = P (A).P (B|A) = 2

20.1

19 ≈ 0, 0053.

Trang 57

P (AB) = P (A)P (B)

Trang 58

1.4.3 Công thức nhân hai biến cố độc lập

Ví dụ

Hai bệnh nhân cùng được làm một xét nghiệm

• người thứ nhất có khả năng dương tính là 0,7

• người thứ hai có khả năng dương tính là 0,8 Tính xác suất

a) Cả hai đều có kết quả dương tính

b) Một người có kết quả dương tính và một người âm tính

c) Có ít nhất một người có kết quả dương tính

Trang 59

1.4.3 Công thức nhân hai biến cố độc lập

P (C) = 1−P ( ¯C) = 1−P ( ¯A1A¯2) = 1−P ( ¯A1)P ( ¯A2) = 1−0, 3.0, 2 = 0, 94

Trang 60

Giả sử {B1, B2, , Bn} là hệ đầy đủ các biến cố với P (Bi) > 0 với mọi

i = 1, 2, , n Khi đó với bất kỳ biến cố A, ta có

P (A) = P (B1)P (A|B1) + P (B2)P (A|B2) + · · · + P (Bn)P (A|Bn)

Trang 61

Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm.

Tìm xác suất để lấy được chính phẩm

Trang 62

Ký hiệu Bk là biến cố: “Sản phẩm lấy ra thuộc hộp thứ k“,

k = 1, 2, 3 và A là biến cố: “Lấy được chính phẩm”

Khi đó {B1, B2, B3} là hệ đầy đủ các biến cố và

P (A) = P (B1)P (A|B1) + P (B2)P (A|B2) + P (B3)P (A|B3)

Thay vào ta thu được

Định dạng
Số trang	71
Dung lượng	1,92 MB