Xác suất thống kê chương 2

XÁC SUT THNG KÊ XÁC SUẤT THỐNG KÊ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN GV Lê Thị Mai Thanh Ngày 10 tháng 5 năm 2022 Chương 2 Đại lượng ngẫu nhiên 2 1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 2 1 1 Biến ng.

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN

GV Lê Thị Mai Thanh

Ngày 10 tháng 5 năm 2022

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên

2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

2.1.1.Biến ngẫu nhiên

Khái niệm

Biến ngẫu nhiên là đại lượng nhận giá trị thực tùy thuộc vào kết quảcủa phép thử ngẫu nhiên

Ta thường dùng các chữ cái X, Y, Z, để kí hiệu các biến ngẫu nhiên

và các chữ cái thường x, y, z hoặc xi, yi, zi, để chỉ các giá trị cụ thể

mà biến ngẫu nhiên đó nhận

Ví dụ:

1 Tung 1 con xúc xắc Gọi X là số chấm xuất hiện

⇒ X là biến ngẫu nhiên nhận một trong các giá trị {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2 Gọi Z là thời gian sống của một con chíp điện tử

2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Là biến ngẫu nhiên mà các giá trị có thể có của nó xếp thành dãy hữuhạn hoặc vô hạn đếm được Nói cách khác, ta có thể liệt kê tất cả cácgiá trị của biến ngẫu nhiên đó

Ví dụ : Số con của 1 gia đình; số bệnh nhân điều trị khỏi trongtháng; số hồng cầu, số bạch cầu của một người là những đại lượngngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên liên tục

Là biến ngẫu nhiên mà các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảngtrên trục số

Ví dụ : Gọi Z là khoảng cách từ điểm viên đạn chạm bia đến tâmbia khi đó Z là biến ngẫu nhiên Z có thể nhận giá trị bất kì trong đoạn[0, R]

2.2 Đại lượng ngẫu nhiên

2.2.1 Định nghĩa luật phân phối xác suất

Quy luật phân phối xác suất

Là cách biểu diễn mối quan hệ giữa gíá trị có thể có của biến ngẫunhiên và các xác suất tương ứng để biến ngẫu nhiên nhận các giá trị đó

Phương pháp mô tả quy luật phân phối xác suất

• Bảng phân phối xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên rời rạc)

• Hàm mật độ xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên liên tục)

• Hàm phân phối xác suất (áp dụng cho cả hai loại biến ngẫu nhiênrời rạc và liên liên tục)

2.2 Đại lượng ngẫu nhiên

2.2.2 Bảng phân phối xác suất

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị x1, x2, , xn với cácxác suất tương ứng p1, p2, , pn Khi đó bảng phân phối xác suất củabiến ngẫu nhiên X được trình bày như sau:

2.2 Đại lượng ngẫu nhiên

2.2.2 Bảng phân phối xác suất

Ví dụ

Tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất Gọi X là “số chấm củamặt trên cùng” Khi ấy X là một biến ngẫu nhiên, ta có bảng phânphối xác suất của X như sau:

P 16 16 16 16 16 16

P (2 ≤ X < 5) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 3

6.

2.2 Đại lượng ngẫu nhiên

Tính chất

1 P (X = x0) = 0

2 P (a < X < b) =

Z b a

−x2

2 dx = 1

2.2.3 Hàm mật độ xác suất

Ví dụ

Cho biến ngẫu

nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất

f (x)dx =

Z 2 1

2

9(3x − x

2)dx = 13

27

2.2.4 Hàm phân phối xác suất

2.2.4 Tính chất hàm phân phối xác suất

Tính chất hàm phân phối xác suất

F F (−∞) = 0; F (+∞) = 1

F F(x) là hàm tăng vì f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R

F F(x) là hàm liên tục bên trái

Ý nghĩa: Hàm phân phối xác suất F(x) phản ánh mức độ tập

trung xác suất về phía bên trái của điểm x

+P (X = 3) = 0.7 + 0.28 + 0.02 = 1

2.3 Hàm phân phối xác suất

2.3.1 Định nghĩa hàm phân phối xác suất

2.2.4 Định nghĩa hàm phân phối xác suất

2.2.4 Định nghĩa hàm phân phối xác suất

1 khi x > xn

2.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.3.1 Kỳ vọng

Định nghĩa

Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X là giá trị trung bình theo xácsuất của các giá trị mà biến ngẫu nhiên X nhận, ký hiệu E(X) và xácđịnh như sau:

- Nếu X chỉ nhận hữu hạn giá trị x1, x2, , xn với xác suất tương ứng

2.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

16

16

16

16

Kỳ vọng của X (số chấm trung bình xuất hiện khi gieo xúc sắc) là:

E(X) = 1

6(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) =

216

2.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Ví dụ

Một xe buýt xuất hiện tại bến đợi cứ 15 phút một chuyến Một hành

khách tới bến vào một thời điểm ngẫu nhiên Gọi X là thời gian chờ xe

của hành khách đó Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:

x

15dx = 7, 5 (phút)Như vậy, kỳ vọng E(X) cho biến thời gian chờ xe trung bình của mộthành khách là 7,5 phút

Ví dụ

Một xe buýt xuất hiện tại bến đợi cứ 15 phút một chuyến Một hànhkhách tới bến vào một thời điểm ngẫu nhiên Gọi X là thời gian chờ xecủa hành khách đó Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:

x

15dx = 7, 5 (phút)Như vậy, kỳ vọng E(X) cho biến thời gian chờ xe trung bình của một

2.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

x 3

32 4x − x

2
dx

= 332

Z 4 0

4 0

= 2

b) Mỗi máy hỏng phải sửa hết 2 triệu đồng, tính tiền sửa máy trungbình trong một ca làm việc.

2.3.1 Kỳ vọng

Giải

a) Số máy hỏng trung bình trong một ca làm việc là

E(X) = 0 × 0, 9 + 1 × 0, 09 + 2 × 0, 01 = 0, 11

b) Gọi Y là số tiền sửa máy trong một ca làm việc, ta có Y = 2X

X Vậy số tiền sửa máy trung bình trong một ca làm việc là

E(Y ) = E(2X) = 2E(X) = 2 × 0, 11 = 0, 22 triệu

2.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

X − E(X) là độ lệch khỏi giá trị trung bình

⇒ V ar(X) = E(X − E(X))2 gọi là độ lệch bình phương trung bình.Phương sai phản ánh mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫu nhiênxung quanh giá trị trung bình (kì vọng)

Biến ngẫu nhiên có phương sai càng lớn thì các giá trị càng phântán (độ phân tán cao) và ngược lại

Ứng dụng

Trong kĩ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bịTrong công nghiệp, phương sai biểu thị độ chính xác của sản xuấtTrong chăn nuôi, nó biểu thị độ đồng đều của các con gia súc

Tính chất của phương sai

1 V ar(X) ≥ 0; V ar(X) = 0 ⇔ X = C(const)

2 V ar(aX) = a2V ar(X)

3 Nếu X, Y độc lập thì V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y )

4 Vì đơn vị của phương sai là bình phương nên việc tính để khớp vớiđơn vị của biến ngẫu nhiên là bất khả nên người ta đưa vào thêmkhái niệm độ lệch chuẩn- bằng căn bậc 2 của phương sai

σ(X) =pV ar(X)

2.3.2 Phương sai

Ví dụ

Cho biết X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập có phương sai

Var(X)= 18.4, Var(Y)=2.9 Tìm Var(X − 2Y )

Giải

Var(X − 2Y ) = Var(X) + 4 Var(Y ) = 18.4 + 4 × 2.9 = 30

2.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

1230

830

430

230

Ta thấy P (X = 3) = 12

30 → max ⇒ M od(X) = 3

2.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.3.4 Median

Định nghĩa

Median (trung vị) được kí hiệu là Med(X) là giá trị của biến ngẫu

nhiên X chia phân phối thành hai phần có xác suất bằng nhau

• Với X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì

2.5 Một số phân phối xác suất thường gặp

2.5.1 Phân phối nhị thức

Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức với tham số n, p, kí hiệu(X ∼ B(n, p)) nếu

• X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2, ,n

• Các xác suất tương ứng được tính theo công thức

2.5.1 Phân phối nhị thức

Một số công thức tính xác suất của phân phối nhị thức

P (X = k) = Ck

npkqn−k là xác suất để biến cố A xảy ra đúng k lần

P (X ≥ 1) = 1 − qnlà xác suất để biến cố A xảy ra ít nhất một lần

Các đặc trưng của phân phối nhị thức

- Nếu X ∼ B(n, p) thì E(X) = np; V ar(X) = npq

- Mốt M od là giá trị của X thỏa mãn

np − q = np + p − 1 ≤ M od(X) ≤ np + p = np − q + 1

2.5 Một số phân phối xác suất thường gặp

Gọi X là số người bị bệnh khi khám cho 10 người

X có quy luật nhị thức với tham số n = 10, p = 0,2

P (X = 2) = C102 × 0, 22× 0, 88 = 10!

8!2!0, 2

2× 0, 88= 0, 302

2.5 Một số phân phối xác suất thường gặp

2.5.1 Phân phối nhị thức

Ví dụ

Một đề thi có 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ

có 1 phương án đúng Sinh viên A trả lời một cách ngẫu nhiên tất cảcác câu hỏi Gọi X là số câu trả lời đúng trong 10 câu

a) Xác định quy luật phân phối của X

b) Tính xác suất để sinh viên A trả lời đúng từ 2 đến 3 câu hỏi

c) Tính xác suất để sinh viên A trả lời đúng ít nhất một câu hỏi

Ví dụ

Một phương pháp điều trị mới có tỷ lệ khỏi bệnh là 0,75 Điều trị ngẫunhiên 50 người

a) Tính số bệnh nhân trung bình khỏi bệnh

b) Tính số bệnh nhân khỏi bệnh nhiều khả năng nhất

Giải

Gọi X là số người khỏi bệnh trong 50 người X ∼ B(50; 0.75)

a) Số bệnh nhân trung bình khỏi bệnh E(X) = 50 × 0, 75 = 37, 5b) Số bệnh nhân khỏi bệnh nhiều khả năng nhất

50 × 0.75 − 0.25 ≤ M od(X) ≤ 50 × 0, 75 − 0, 25 + 1

Suy ra 37.25 ≤ M od(X) ≤ 38, 25 hay M od(X) = 38

2.5 Một số phân phối xác suất thường gặp

2.5.2 Phân phối Poisson

Các tham số đặc trưng

Nếu X ∼ P (λ) thì E(X) = V ar(X) = λ

λ − 1 ≤ M od ≤ λ

2.5 Một số phân phối xác suất thường gặp

2.5.2 Phân phối Poisson

Trong thực tế, với một số giả thiết thích hợp thì các biến ngẫu

nhiên Poisson là các quá trình đếm sau:

- Số cuộc gọi đến một tổng đài

- Số khách hàng đến một điểm giao dịch

- Số xe cộ đi qua một ngã tư

Trong một khoảng thời gian xác định nào đó sẽ có phân phối

Poisson với tham số λ là tốc độ trung bình diễn ra trong khoảng thờigian này

2.5.2 Phân phối Poisson

Ví dụ

Ở một tổng đài điện thoại, các cuộc gọi đến một cách ngẫu nhiên, độclập và trung bình có 2 cuộc gọi trong 1 phút Cho trước X là số cuộc gọiđến tổng đài trong khoảng thời gian t phút là biến ngẫu nhiên có phânphối Poisson Tìm xác suất để có đúng 5 cuộc gọi đến trong 2 phút

Giải

Theo giả thiết trung bình có 2 cuộc gọi trong 1 phút vậy trong 2phút trung bình có 4 cuộc gọi Lúc này số cuộc gọi X trong 2 phút làbiến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số λ = 4

Ta cần tính P(X = 5) Áp dụng công thức

45

2.5.2 Phân phối Poisson

Ví dụ

Một bến xe khách trung bình có 70 xe xuất bến trong 1 giờ Xác suất

để trong 5 phút có từ 4 đến 6 xe xuất bến là bao nhiêu?

A 0,4663

B 0,2133

C 0,2792

D 0,3209

2.5 Một số phân phối xác suất thường gặp

2.5.3 Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn và chuẩn tắc

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với hai tham số µ

và σ2, (σ > 0) kí hiệu là X ∼ N µ, σ2
nếu hàm mật độ XS có dạng

f (x) = 1

σ√2πe

−(x − µ)22σ2 ; x ∈ R

F Nếu µ = 0 và σ = 1 thì biến ngẫu nhiên Z được gọi là có phân phốichuẩn tắc nếu Z ∼ N (0, 1), tức hàm mật độ xác suất của Z là

f (x) = √1

2πe

−x 2 /2

2.5.3 Phân phối chuẩn

Hình: Biểu đồ phân phối chuẩn

Đồ thị của hàm

f (x) là đường cong hình chuông đối xứng

qua đường x = µ và đạt cực đại tại x = µ

Các tham số đặc trưng

E(X) = µ

V ar(X) = σ2

M od(X) = M ed(X) = µ

2.5.3 Phân phối chuẩn

2 dtlà hàm Laplace (hàm phân phối) có giá trị

được cho trong bảng hàm Laplace

Hàm Laplace là hàm lẻ, ϕ(−x) = −ϕ(x) và đơn điệu tăng

Với x ≥ 4.42 : ϕ(x) ≈ 0.5

ϕ(−∞) = −0, 5; ϕ(+∞) = 0, 5

2.5.3 Phân phối chuẩn

Minh họa

ϕ(1.96) = 0, 475 Tức diện tích miền giới hạn bởi đường cong f (z),trục hoành, trục tung và đường thẳng 1,96 chiếm 47, 5% diện tích miềngiới hạn bởi đường cong f (z) và trục hoành

Ví dụ

Cho biết trọng lượng trẻ sơ sinh có phân phối chuẩn với kỳ vọng 3.2 kg

và phương sai 0.16 kg2 Đo trọng lượng ngẫu nhiên một trẻ sơ sinh,

tính tỉ lệ trẻ sơ sinh có trọng lượng từ 2.688 kg đến 3.712 kg

Gọi X (kg) là trọng lượng của trẻ sơ sin và X ∼ N (3.2, 0.16)

Tỉ lệ trẻ sơ sinh có trọng lượng từ 2.688 kg đến 3.712 kg là

Ví dụ

Cho biết trọng lượng trẻ sơ sinh có phân phối chuẩn với kỳ vọng 3.2 kg

và phương sai 0.16 kg2 Đo trọng lượng ngẫu nhiên một trẻ sơ sinh,tính tỉ lệ trẻ sơ sinh có trọng lượng từ 2.688 kg đến 3.712 kg

Gọi X (kg) là trọng lượng của trẻ sơ sin và X ∼ N (3.2, 0.16)

Tỉ lệ trẻ sơ sinh có trọng lượng từ 2.688 kg đến 3.712 kg là

2.5.3 Phân phối chuẩn

Ví dụ

Một máy đóng gói đường, trọng lượng trung bình của một gói đường cóphân phối chuẩn, trung bình 1kg, độ lệch chuẩn là 4g Xác suất muaphải một gói đường trọng lượng nhỏ hơn 0, 99 kg là?

A 0, 38 B 0, 0062 C 0, 9938 D 0, 5062

Chú ý: Cho X ∼ B(n, p) và n đủ lớn, p không quá lớn, cũng

không quá bé ( trong nhiều trường hợp ta có thể xem điều kiện trêntương đương với np ≥ 5 và nq ≥ 5 thì X ' N (np, npq) Khi đó

i P (X = k) ≈ √1

npqf (xk) với xk=

k − np

√npq , f (x) =

1

√2πe

−x22

ii P (k1 ≤ X ≤ k2) ≈ ϕ k2− np

√npq



− ϕ k1− np

√npq



Ví dụ:

Điều trị kháng sinh C0 cho trẻ bị viêm nhiễm đường hô hấp do vi khuẩn

có tỷ lệ khỏi bằng 0,6 Tính xác suất sao cho điều trị cho 100 trẻ có:a) Đúng 60 trẻ khỏi

b) Số trẻ khỏi từ 55 đến 70 trẻ

= √1

24f (0)b)

P (50 ≤ X ≤ 70) ≈ ϕ 70 − 60

√24



− ϕ 55 − 60

√24



= ϕ(2, 04) − ϕ(−1, 02)

= 0, 47932 + 0, 34614 = 0, 82546