Bài giảng Xác suất thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên

CHƯƠNG II:BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤTBài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtII.1.1. Khái niệm, phân loại BNN1. Khái niệm BNN Biến ngẫu nhiên là đại lượng mà kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉmột trong các giá trị có thể có của nó với một xác suất tương ứng xác định. Ta thường ký hiệu BNN bởi các chữ in hoa X, Y, …, các giá trị BNN nhận được ký hiệu bằng các chữ in thường x, y,…, X ,X ,... 1 2 1 2 x ,x ,... Khi nó trở thành biến ngẫu nhiên với xác suất xác định.X x (i 1.n) = = i2. Phân loại BNNa) BNN rời rạc.BNN được gọi là BNN rời rạc nếu các các giá trị có thể có của nó là hữu hạnhay vô hạn đếm được.Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtb) BNN liên tục.BNN được gọi là BNN liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy mộtkhoảng nào đó trên trục số thực.Ví dụ 1. Tung con xúc xắc cân đối, mỗi nốt trên mặt con xúc xắc đượcthưởng 10 USD. Đặt X bằng số tiền được thưởng khi tung một con xúc xắc,X là một BNN rời rạc. Tập giá trị của X là { 10, 20, 30, 40, 50, 60}.Ví dụ 2. Số phế phẩm trong lô hàng n sản phẩm. Không nói trước được số phế phẩm là bao nhiêu, đây là BNN rời rạc. Tập giá trị là {0, 1, …,n}.Ví dụ 3. Tuổi thọ của một loại linh kiện điện tử là BNN liên tục, có thể tập giá trị là 0; 10 000 giờ.Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtII.1.2. Luật phân bố của BNNĐịnh nghĩa.Mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của BNN với xác suất tương ứng đượcgọi là luật phân bố của BNN.1. Luật phân bố của BNN rời rạcĐịnh nghĩa.Giả sử là tập giá trị của BNN rời rạc X. Bộ số x ,x ,...,x ... 1 2 n  1 2 n p ,p ,...,p ,... i ivớip P(X x ), i 1,2,... = = =được gọi là luật phân bố của BNN rời rạc X . 1 2 p ,p ,...thỏa mãn điều kiệni iip 0; p 1.  = Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Để thuận lợi, người ta sắp bộ sốp ,p ,... 1 2thành bảng:XBảng này gọi là bảng phân bố xác suất của BNN rời rạc X.1 2 n x x ... x ... 1 2 n p p ... p ... P(X x ) = iBài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtVí dụ 4. Một hộp có 10 sản phẩm tốt và 8 sản phẩm hỏng. Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số sản phẩm tốt được lấy ra. Lập bảng phân bố xác suất của X.Giải.Gọi X là số sản phẩm tốt được lấy ra trong 2 sản phẩmX là BNN rời rạc có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2.28218C 18 P(X 0) ;C 153= = =1 110 8218C C 80 P(X 1) ;C 153= = =210218C 45 P(X 2)C 153= = =Bảng phân phối xác suất của X:Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtVí dụ 5. Giải. Gọi X là số ô tô bị hỏng trong thời gian làm việcX là BNN rời rạc có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2.Bảng phân phối xác suất của X:Một xí nghiệp có hai ô tô vận tải hoạt động. Xác suất trong ngày làm việc cácô tô bị hỏng tương ứng bằng 0,1 và 0,2. Gọi X là số ô tô bị hỏng trong thờigian làm việc. Lập bảng phân phối xác suất của X.P(X 0) 09 0,8 0,72; = =  = P(X 1) 0,1 0,8 0,9 0,2 0,26 = =  +  = P(X 2) 0,1 0,2 0,02 = =  =X 0 1 2P 0,72 0,26 0,02Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtII.1.3. Hàm phân bố xác suất1. Định nghĩa.Hàm phân bố xác suất ( hàm phân phối xác suất) của BNN X, ký hiệu F(x), là xác suất để BNN X nhận giá trị nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một sốthực bất kỳF(x) P(X x), x =  2. Tính chất.i. F(x) là hàm không giảm, tức làF(x ) F(x ) khi x x 1 2 1 2  x xii.F( ) lim F(x) 0; F( ) lim F(x) 1→− →+− = = + = =iii. F(x) là hàm liên tục phải:00 0 0x xF(x ) lim F(x) F(x ); x++→= =  iv. 0 F(x) 1   v. P(a X b) F(b) F(a).   = −Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtCho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất Ví dụ 6. X 1 2 4P 0,1 0,5 0,4a) Tìm hàm phân phối xác suất của X.b) Tính P(0 X 2).  Giải.a) F(x) P(X x), x =   x 1:F(x) 0  = 1 x 2 : F(x) 0,1   = 2 x 4 : F(x) 0,1 0,5 0,6   = + = x 4 : F(x) 0,1 0,5 0,4 1.  = + + =Vậy hàm phân phối của BNN X:0 khi x 10,1 khi 1 x 2 F(x) 0,6 khi 2 x 41 khi 4 x   =     b) P(0 X 2) 0,1 0,5 0,6.   = + =Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtVí dụ 7. Giải.Cho BNN X có hàm phân phối xác suất:20 x 2F(x) a(x 2) 2 x 41 x 4  = −    Tìm hằng số a và tính P(2 x 3)  + Do F(x) liên tục phải tại x = 4. Vậy ta có:2x 411 lim F(x) F(4) a(4 2) 4a a→ + 4= = = − =  =1 1 2 P(2 X 3) F(3) F(2) (3 2) 0 . 4 4+   = − = − − =Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtII.1.4. Hàm mật độ xác suất.Định nghĩa. BNN X được gọi là liên tục nếu hàm phân bố F(X) của nó khả vi trên R , cóthể trừ ra tại một số hữu hạn hoặc đếm được điểm. Đạo hàm của hàm phânbố gọi là hàm mật độ ký hiệu f(x)dF(x) f (x) F (x).dx= =Tính chất.i) f (x) 0, x    ii) f (x)dx 1+−= baiii) P(a X b) P(a X b) f (x)dx, a,b .   =   =  xiv) F(x) f (t)dt, x .−=  Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtCho BNN liên tục X có hàm mật độVí dụ 8. kx 0 x 1f (x) 2 x 1 x 20 x khac   = −   a) Tìm hằng số kb) Tìm hàm phân phối xác suất của X.Giải0 1 20 1 2a) 1 f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx+ +− −= = + + +     1 20 1= + − kxdx (2 x)dx  2 21 20 1x x k 1 k. 2x2 2 2 2 = + − = +        = k 1Bài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtxb) F(x) f (t)dt, x−=  x 0 : F(x) 0  =x 20x0 x 1: F(x) tdt2  = = 1 x 2 2 21 x0 10 1t (2 t) (2 x) 1 x 2 : F(x) tdt (2 t)dt 12 2 2− −   = + − = − = −   x 2 : F(x) 1  = 22 0 x 0x0 x 12 F(x)(2 x) 1 1 x 221 2 x  =  −−   VậyBài 1. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suấtVí dụ 9. Cho BNN liên tục X có hàm mật độ:a cos x khi x2 2 f (x)0 khi x ;2 2  −   =       −    a)Tìm hằng số a; b)Tìm hàm phân bố F(X); c) Tính P(0 X ).4 221a) 1 f (x)dx a cos xdx 2a a 2+− − = = =  =  Giải0 khi x21b) F(X) (1 sinx) khi x2 2 21 khi x2  −    = + −    2c) P(0 X ) F( ) F(0)4 4 4   = − =Cách 2. 401 2 P(0 X ) cos xdx4 2 4  = = Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênII.2.1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên1)Định nghĩa. Kỳ vọng ( hay giá trị trung bình) của BNN X là một số, ký hiệu là EX, được xác định như sau: Nếu X là BNN rời rạc nhận một trong các giá trị1 2 n x x ... xvới xác suất tương ứng là thì 1 2 n p p ... p  ni i 1 1 2 2 n ni 1E X x p x p x p ... x p== = + + +  Nếu X là BNN liên tục với hàm mật độ f(x) thìE X xf (x)dx.  +−= Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênVí dụ 1. Tính kỳ vọng của BNN X khi:a) X có bảng phân phối xác suất: X 1 3 4P 0,1 0,5 0,4 ni ii 1E X x p 1.0,1 3.0,5 4.0,4 3,2== = + + = b) X có hàm mật độ:3 2(x 2x) khi x (0;1) f (x) 40 khi x (0;1) + =   1203 11 E X xf (x)dx x (x 2x)dx ... .4 16+−= = + = =  Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênb) Tính chất.i. E C C; E CX C.E X , C .   = =     ii. E X Y E X E Y   =      iii. Nếu X, Y là những BNN độc lập có kỳ vọng thì E XY E X .E Y   =    iv.Giả sử là hàm số nào đó sao cho là BNN có kỳ vọng. Khi đó: (x) Y (X) =  Nếu X là BNN rời rạc:  i iiE Y (x )p+=−=   Nếu X là BNN liên tục : E Y (x)f (x)dx  +−=  Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênVí dụ 2. Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất:X 3 1 3 5 6P 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2Tính 2 E(X), E(X ).Giải ni ii 1E X x p ( 3).0,1 1.0,2 3.0,3 5.0,2 6.0,2 3== = − + + + + = n2 2 2 2 2 2 2i ii 1E X x p ( 3) .0,1 1 .0,2 3 .0,3 5 .0,2 6 .0,2 16=  = = − + + + + =   Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênVí dụ 3. Cho BNN liên tục X có làm mật độ:Tính 2 2 E(X), E(X ),E(2X 1). +Giải( ) ( ) − =  3 2 1 x x 0;1 f x 20 x 0;1 ( )12 2 2 203 1 EX x f (x)dx x 1 x dx2 5+−= = − =   ( )1203 3 EX xf (x)dx x 1 x dx2 8+−= = − =   2 2 1 7 E(2X 1) 2.E(X ) 1 2. 1 . 5 5+ = + = + =Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênII.2.2. Mốt (Mode)Mốt của BNN X, ký hiệu ModX, là giá trị mà tại đó xác suất tương ứng hay hàm mật độ đạt giá trị cực đại, cụ thể là: Nếu X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất thì Mốt là giá trị của X mà tại đó xác suất tương ứng lớn nhất. Nếu X là BNN liên tục có hàm mật độ f(x) thì Mốt là giá trị mà tại đó f(x) đạt giá trị lớn nhất.0x Mốt còn gọi là giá trị tin cậy chắc nhất của BNN X.Ví dụ 4. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất:X 0 1 2 3P 530 130 930 130Giải. Tại x = 2 thì xác suất lớn nhất. Vậy ModX = 2.Tìm Mốt XBài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênThời gian xếp hàng chờ mua hàng (đơn vị: phút)là BNN X có hàm mật độ: Ví dụ 5.  4 3x khi 0 x 3f (x) 810 khi x 0;3  =  Hãy tìm thời gian xếp hàng có khả năng nhất của khách hàng.Giải.Xét hàm 4 3f (x) x khi 0 x 381=    2 4 x f (x) 0, x 0,327 =    f(x) đạt GTLN tại x = 3 = ModX 3Vậy thời gian chờ xếp hàng có khả năng nhất là 3 phút.Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênII.2.3. Median (Trung vị)Định nghĩa. Trung vị của BNN X, ký hiệu là Med X, được xác định bởi:iii1 P(X x ) 2 Med X x1 P(X x ) 2   =      Nếu X là BNN liên tục có hàm mật độ f(x) thì: Nếu X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất thì:mdd1 Med X m f (x)dx .2−=  = Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênVí dụ 6. Cho BNN X có bảng phân phối xác suấtX 1 2 3 4P 0,1 0,2 0,4 0,3Tìm trung vị MedX.Giải1 P(X 3) 0,1 0,2 0,4 0,72 = + + =  1 P(X 3) 0,4 0,3 0,72 = + =   = MedX 3.Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênVí dụ 7. Cho BNN X có hàm mật độTìm trung vị MedX.Giải 4 3x khi 0 x 3f (x) 810 khi x 0;3  =  MedXf (x)dx 0,5−= MedX 304x dx 0,581 = 4(MedX) 0,581 =481 MedX .2   =    Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênII.2.4. Phương sai1. Định nghĩaPhương sai của BNN X, ký hiệu DX (hay VX, hay VarX), xác định bởi:2 2 2 DX E(X EX) EX (EX) = − = −2. Công thức tính phương sai Nếu X là BNN rời rạc có bảng phân bố xác suất thì: n2 2 2 2i ii 1DX=EX (E X) = x p (EX) = − Nếu X là BNN liên tục có hàm mật độ f(x) thì: 2 2 2 2 DX EX (EX) x f (x)dx (EX) .+−= − = − Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênÝ nghĩa.Phương sai của BNN là một số không âm để đo mức độ phân tán ( mức độ tảnmát) của các giá trị của BNN X xung quanh tâm EX của nó. DX nhỏ thì mứcđộ phân tán nhỏ, độ tập trung lớn. DX càng lớn thì độ phân tán càng cao.c. Tính chấti) DC 0; C const = =2ii)DCX C DX; = iii) DX Y DX DY. + = +Hệ quả.DX Y DX DY. − = +Bài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênd. Định nghĩa độ lệch chuẩnCăn bậc hai của phương sai DX gọi là độ lệch chuẩn của BNN X, ký hiệux  . = x DXBài 2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiênVí dụ 8. Cho BNN X có hàm mật độ:( )( ) −  −=   −2k 4 x x 2;2f x0 x 2;2Tìm hằng số k và tính DX.Giải.f (x)dx 1+−= Tìm hằng số k: 222k(4 x )dx 1− − = 32 3 k 1 k .3 32 =  =Tính DX:EX xf (x)dx+−= 222kx(4 x )dx 0−= − = 2 2 EX x f (x)dx+−= 22 224kx (4 x )dx5−= − = 2 2 4DX EX (EX)5= − =Bài 3. Một số luật phân bố quan trọngBài 3. MỘT SỐ LUẬT PHÂN BỐ QUAN TRỌNGBài 3. Một số luật phân bố quan trọngII.3.1. Phân bố nhị thứcĐịnh nghĩa. BNN rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có X = 0, 1, …, n với các xác suất tương ứng được tính bằng công thức: k k n k P(X k) C p (1 p) , k 0,1,2,...,n n − = = − =gọi là có phân bố nhị thức với tham số (n, p), ký hiệu X B(n;p).Định lý. Nếu X là đlnn có phân phối nhị thức thì:X B(n;p) EX npDX np(1 p) npq = = − =Chú ý. Những BNN tuân theo dãy phép thử Bernoulii có phân bố nhị thứcBài 3. Một số luật phân bố quan trọngVí dụ 1 .Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày mỗimáy bị hỏng đều bằng 0,1. Tìm xác suất để:a) Trong một ngày có 2 máy hỏng.b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng.Giải.Gọi X là số máy hỏng trong một ngày, X có phân bố nhị thức với tham số n = 5 và p = 0,12 2 5 25a) P(X 2) C (0,1) (1 0,1) 0,0792 −= = − =2k k 5 k5k 0b) P(0 X 2) C (0,1) (1 0,1) −=  = − 0 0 5 0 1 1 5 1 2 2 5 2 C (0,1) (1 0,1) C (0,1) (1 0,1) C (0,1) (1 0,1) 5 5 5− − − = − + − + − = 0,99144Bài 3. Một số luật phân bố quan trọngII.3.2. Phân phối Poisson NếuX B(n;p), trong đó số phép thử n rất lớn, mà xác suất p rất nhỏ thìviệc tính toán gặp khó khăn. Vì vậy trong trường hợp này người ta xấp xỉcông thức Bernoulii bằng công thức Poisson.Định nghĩa. BNN rời rạc X được gọi là có phân bố Poisson với tham số , ký hiệu , nếu:  X P( ) kP(X k) e k 0,1,2,...k −  = = =Định lý.Nếu X là BNN có phân phối Poisson với tham số thì:EX ;DX . =   = Chú ý. Phân phối Poisson là phân phối của BNN cho biết số lần xuất hiệncủa một sự kiện trong một khoảng thời gian nào đó. Chẳng hạn: số cuộc gọiđiện thoại trong một phút, số khách hàng đến giao dịch ở một máy ATMtrong một ngày, số tai nạn giao thông xảy ra trong một năm...Bài 3. Một số luật phân bố quan trọngII.3.3. Phân phối đều Định nghĩa.BNN liên tục X gọi là có phân bố đều trên a; b, ký hiệu , nếu hàm mật độ của nó có dạng: X U a,b   1khi x a;bf (x) b a0 trai lai =  −Định lý. BNN liên tục X gọi là có phân bố đều trên a; b thì:2a b (b a) EX ; DX .2 12+ −= =Bài 3. Một số luật phân bố quan trọngII.3.4. Phân phối mũĐịnh nghĩa.BNN X được gọi là có phân phối mũ với tham số nếu nó có hàm mật độ có dạng:xe khi x 0 f (x)0 khi x 4 ta coi 01(x) 2 Bài 3. Một số luật phân bố quan trọng0  (x)có các tính chất sau:0 0 0  =  − = − (0) 0; ( x) (x) 01(x) (x). 2 = +  P(a Z b) (b) (a).   =  −  0 0d. Biến đổi tuyến tính chuẩn2 XX N( ; ) Z N(0;1). −    =Công thức tính xác suất: Nếu thì2 X N( ; )   0 0a b b a P{a X b} P{ Z } ( ) ( ) −  −  −  −    =   =  −    Bài 3. Một số luật phân bố quan trọngVí dụ. Kích thước của các chi tiết do một máy sản xuất ra là BNN có phân bố chuẩnvới trung bình là 5cm và sai số ( ) là 0,9cm. Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiênmột chi tiết có kích thước nằm trong khoảng từ 4 đến 7cm.Giải. Gọi X là kích thước chi tiết lấy ra:2 2 2 X N( , ), 5, 0,9    =  = P(4 X 7)   0 07 5 4 50,9 0,9    − − =  −          =  −  − 0 0 (2,22 1,11 ) ( )=  +  0 0 (2,22 1,11 ) ( ) = + = 0,4868 0,3665 0,8533Bài 3. Một số luật phân bố quan trọnge) Phân vị (giá trị tới hạn chuẩn)Định nghĩa. Giá trị tới hạn chuẩn mức , ký hiệu hay , là giá trị xác định từ đẳng thức z u2x2z1 P(Z z ) , voi Z N(0;1) hay e dx2+ −  =  =  Hay 0(z ) 0,5  = −  Một số giá trị đặc biệt:0,10 0,050,025 0,01u 1,28; u 1,65;u 1,96; u 2,33. = =  = = 

QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

II.1.1 Khái niệm, phân loại BNN

b) BNN liên tục.

BNN được gọi là BNN liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy mộtkhoảng nào đó trên trục số thực

Ví dụ 1 Tung con xúc xắc cân đối, mỗi nốt trên mặt con xúc xắc được

thưởng 10 USD Đặt X bằng số tiền được thưởng khi tung một con xúc xắc,

X là một BNN rời rạc Tập giá trị của X là { 10, 20, 30, 40, 50, 60}

Ví dụ 2 Số phế phẩm trong lô hàng n sản phẩm Không nói trước được số

phế phẩm là bao nhiêu, đây là BNN rời rạc Tập giá trị là {0, 1, …,n}

Ví dụ 3 Tuổi thọ của một loại linh kiện điện tử là BNN liên tục, có thể tập

giá trị là [0; 10 000] giờ

II.1.2 Luật phân bố của BNN

Định nghĩa.

Mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của BNN với xác suất tương ứng được

gọi là luật phân bố của BNN.

1 Luật phân bố của BNN rời rạc

- Để thuận lợi, người ta sắp bộ số p , p , 1 2 thành bảng:

2 18

153C

2 18

P(X 2)

153C

Bảng phân phối xác suất của X:

Ví dụ 5

Giải Gọi X là số ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc

X là BNN rời rạc có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2

Bảng phân phối xác suất của X:

Một xí nghiệp có hai ô tô vận tải hoạt động Xác suất trong ngày làm việc các

ô tô bị hỏng tương ứng bằng 0,1 và 0,2 Gọi X là số ô tô bị hỏng trong thờigian làm việc Lập bảng phân phối xác suất của X

P(X = 0) = 09 0,8 = 0, 72;

P(X = =1) 0,1 0,8 0,9 0, 2 +  = 0, 26P(X = 2) = 0,1 0, 2 = 0, 02

P 0,72 0,26 0,02

II.1.3 Hàm phân bố xác suất

1 Định nghĩa.

Hàm phân bố xác suất ( hàm phân phối xác suất) của BNN X, ký hiệu F(x),

là xác suất để BNN X nhận giá trị nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số

Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất

+ Do F(x) liên tục phải tại x = 4 Vậy ta có:

 +

II.2.1 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

1)Định nghĩa

Kỳ vọng ( hay giá trị trung bình) của BNN X là một số, ký hiệu là E[X], được xác định như sau:

- Nếu X là BNN rời rạc nhận một trong các giá trị x1 x2 xn

với xác suất tương ứng là thì p1 p p2 n

Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất:

II.2.2 Mốt (Mode)

Mốt của BNN X, ký hiệu Mod[X], là giá trị mà tại đó xác suất tương ứng hay hàm mật độ đạt giá trị cực đại, cụ thể là:

- Nếu X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất thì Mốt là giá trị của X

mà tại đó xác suất tương ứng lớn nhất.

- Nếu X là BNN liên tục có hàm mật độ f(x) thì Mốt là giá trị mà tại đó

x

- Mốt còn gọi là giá trị tin cậy chắc nhất của BNN X.

Ví dụ 4 Cho BNN X có bảng phân phối xác suất:

Thời gian xếp hàng chờ mua hàng (đơn vị: phút)là BNN X có hàm mật độ:

II.2.3 Median (Trung vị)

Định nghĩa

Trung vị của BNN X, ký hiệu là Med X, được xác định bởi:

i i

i

1 P(X x )

2 Med X x

1 P(X x )

1 Med X m f (x)dx

2

−

Cho BNN X có bảng phân phối xác suất

2

1 P(X 3) 0, 4 0,3 0, 7

2

MedX 3.

II.2.4 Phương sai

1 Định nghĩa

Phương sai của BNN X, ký hiệu D[X] (hay V[X], hay Var[X]), xác định bởi:

D[X] = E[(X − E[X]) ] = EX −(EX)

2 Công thức tính phương sai

- Nếu X là BNN rời rạc có bảng phân bố xác suất thì:

d Định nghĩa độ lệch chuẩn

Căn bậc hai của phương sai DX gọi là độ lệch chuẩn của BNN X, ký hiệu x.

 =

Bài 3 MỘT SỐ LUẬT PHÂN BỐ QUAN TRỌNG

P(X = k) = C p (1 p)− − , k = 0,1, 2, , n

gọi là có phân bố nhị thức với tham số (n, p), ký hiệu X B(n; p)

Định lý Nếu X là đlnn có phân phối nhị thức thì:X B(n; p)

E[X] np D[X] np(1 p) npq

Ví dụ 1

Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập Xác suất để trong một ngày mỗimáy bị hỏng đều bằng 0,1 Tìm xác suất để:

a) Trong một ngày có 2 máy hỏng

b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng

II.3.2 Phân phối Poisson

X B(n; p)

Nếu , trong đó số phép thử n rất lớn, mà xác suất p rất nhỏ thìviệc tính toán gặp khó khăn Vì vậy trong trường hợp này người ta xấp xỉcông thức Bernoulii bằng công thức Poisson

Chú ý Phân phối Poisson là phân phối của BNN cho biết số lần xuất hiện

của một sự kiện trong một khoảng thời gian nào đó Chẳng hạn: số cuộc gọiđiện thoại trong một phút, số khách hàng đến giao dịch ở một máy ATMtrong một ngày, số tai nạn giao thông xảy ra trong một năm

II.3.3 Phân phối đều

Nhận xét Phân phối mũ là phân phối cho biết khoảng thời gian giữa 2 lần

xuất hiện một sự kiện nào đó Chẳng hạn khoảng thời gian giữa 2 ca cấp cứu

ở 1 bệnh viện, khoảng thời gian giữa 2 lần hỏng hóc của một thiết bị, khoảngthời gian giữa 2 lần động đất…

II.3.5 Phân phối chuẩn

a Định nghĩa.

BNN liên tục X nhận giá trị trên R được gọi là có phân bố chuẩn( hay phân

bố theo luật chuẩn) với tham số , ký hiệu nếu hàm mật

(x ) 2 2

E[X] = ; V[X] = 

c BNN chuẩn hóa (chuẩn tắc)

BNN Z N(0;1) được gọi là chuẩn tắc nếu hàm mật độ cho bởi

2

x 2

2 0

Ví dụ

Kích thước của các chi tiết do một máy sản xuất ra là BNN có phân bố chuẩnvới trung bình là 5cm và sai số ( ) là 0,9cm Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiênmột chi tiết có kích thước nằm trong khoảng từ 4 đến 7cm

e) Phân vị (giá trị tới hạn chuẩn)

1P(Z z ) , voi Z N(0;1) hay e dx