Bài giảng Xác suất thống kê Chương 2 Biến ngẫu nhiên full

Bài giảng XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học Nguyễn Tất Thành Ngày 1.21 Khái niệm biến ngẫu nhiên22 Biểu diễn biến ngẫu nhiên23 Hàm phân phối biến ngẫu nhiên24 Hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập25 Hàm của biến ngẫu nhiên26 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Trang 1

Bài giảng

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN

Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học Nguyễn Tất Thành

Ngày 12 tháng 10 năm 2022

Trang 2

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

⋆ Hướng dẫn cách học - chi tiết cách đánh giá môn học

Tài liệu, video bài giảng được đưa lên elearning hàng tuần Sinh viên tải về, in ra và mangtheo khi học Điểm tổng kết môn học được đánh giá xuyên suốt quá trình học

Trang 3

1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

2 BIẾN NGẪU NHIÊN

3 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

4 LÝ THUYẾT MẪU

5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ

6 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ

7 HỒI QUY VÀ TƯƠNG QUAN

8 THỐNG KÊ MÔ TẢ

Trang 4

Trang 5

BIẾN NGẪU NHIÊNNỘI DUNG

2-1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

2-2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên

2-3 Hàm phân phối biến ngẫu nhiên

2-4 Hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

2-5 Hàm của biến ngẫu nhiên

2-6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Trang 6

2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên

Trang 7

Ví dụ 1

Thực hiện phép thử tung đồng xu 3 lần, gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số mặt sấp có đượctrong 3 lần tung

Ta có không gian mẫu của phép thửΩ= {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS}

Và biến ngẫu nhiênX : Ω →R có các giá trị như sau:

Như vậy về mặt xác suất của biến ngẫu nhiên ta có:

P(X =0) = 18; P(X =1) = 38; P(X =2) = 38; P(X =3) = 18

Lưu ý Ký hiệuP(X =2) = 38 có thể hiểu là xác suất tung đồng xu 3 lần 2 lần được sấp

là bằng 3/8

Trang 8

⋆ Người ta thường dùng các chữ in X ; Y ; Z để ký hiệu các biến ngẫu nhiên và các chữthường x ; y ; z để chỉ các giá trị của biến ngẫu nhiên

⋆ Ta ký hiệu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x làX =x và xác suất đểX nhận giá trịx là

P(X =x)

⋆ Có hai loại biến ngẫu nhiên:

1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

2 Biến ngẫu nhiên liên tục

⋆ Biến ngẫu nhiên rời rạc: nếu tập giá trị của biến ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô

x1, x2, , xn

⋆ Biến ngẫu nhiên liên tục: là biến ngẫu nhiên mà các giá trị của nó lấp đầy một hoặc

Trang 9

2.2 Biểu diễn biến ngẫu nhiên

2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Bảng phân phối xác suất

X x1 x2 · · · xk · · ·

P(X =xi) p1 p2 · · · pk · · ·Tính chất

Trang 10

Ví dụ 2

Biến ngẫu nhiên rời rạc X có luật phân phối xác suất như sau:

P 3/10 4/10 m 2/10Tìm

a) m =1− (3/10+4/10+2/10) =1/10

b) P( ≤X ≤3) =P(X =1) =4/10

c) P( <X <6) =P(X =4) =1/10

d) P(X2 ≤3) =P(X =0) +P(X =1) =3/10+4/10=7/10

Trang 11

2.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục - Hàm mật độ xác suất (Probability distribution function)

Trang 12

2.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất (Probability distribution function)

Trang 13

2.3 Hàm phân phối xác suất

Trang 14

Trang 15

Trang 16

2.3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục

Trang 17

2.3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục

Ví dụ 5

Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ xác suấtf( ) =

4x3, khi 0<x <1

0, khi x ≤0∨x ≥1Lập hàm phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên X

Trang 18

Trang 19

2.4 Hai biến ngẫu nhiên độc lập

Hai biến ngẫu nhiên X , Y được gọi là độc lập với nhau khi và chỉ khi xác suất biến ngẫunhiên này nhận giá trị không ảnh hưởng đến xác suất biến ngẫu nhiên kia nhận giá trị Và theocông thức nhân xác suất ta có:

P[(X =xi) · (Y =yj)] =P(X =xi) ·P(Y =yj) =piqj ∀i , j

Trang 20

Kết hợp hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập

Ta có biến ngẫu nhiên X+Y có bảng phân phối xác suất dạng:

Trang 21

P(X+Y =0) =P(X = −1 P(Y =1) =0, 3.0, 3=0, 09

P(X+Y =2) =P(X = −1 P(Y =3) +P(X =1 P(Y =1

=0, 3.0, 5+0, 4.0, 3=0, 27

· · ·

Trang 22

Tương tự trong một trường hợp khác nếu ta kết hợpX Y thì bảng phân phối xác suất cócấu trúc tương tự:

Bảng phân phối xác suất X.Y

Trang 23

2.5 Hàm của biến ngẫu nhiên

2.5.1 Hàm của biến ngẫu nhiên rời rạc

Cho biến ngẫu nhiên X và f( ) là một hàm số xác định tại mọi giá trị trong tập giá trịcủa biến ngẫu nhiên X, thì Y =f(X)là một biến ngẫu nhiên mới và là hàm theo biến ngẫunhiênX

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

X x1 x2 · · · xn

P(X =x) p1 p2 · · · pn

Và Y =f(X) là hàm theo biến ngẫn nhiênX

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y

Y =f(X) y1 y2 · · · yn

P(Y =y) P1 P2 · · · Pn

Trang 24

2.5.1 Hàm của biến ngẫu nhiên rời rạc

Trang 25

2.5.2 Hàm của biến ngẫu nhiên liên tục

Cho biến ngẫu nhiênX liên tục có hàm mật độ xác suấtf( ) VàY =h(X)là hàm theobiến ngẫn nhiên X

Trang 26

Ví dụ 8

Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ xác suất

f( ) =

4x3, khi 0<x <1

0, khi x ≤0∨x ≥1

Và hàm biến ngẫu nhiên Y =X3, lập hàm mật độ xác suất cho biến ngẫu nhiênY

Gọi G( )là hàm phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên Y

Trang 27

Ví dụ 8

f( ) =

4x3, khi 0<x <1

Trang 28

Xem bài giảng tại kênh Youtube

Trang 29

2.6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Trang 30

2.6.1 Kỳ vọng

Định nghĩa

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạcX có bảng phân phối xác suất

X x1 x2 · · · xk · · · xn · · ·

P(X =x) p1 p2 · · · pk · · · pn · · ·

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiênX, kí hiệu làE(X), là giá trị trung bình (theo xác suất) củaBNN đó Nó là trung tâm điểm của phân phối mà các giá trị cụ thể của X sẽ tập trung quanhđó

Trang 31

Trang 32

2.6.1 Kỳ vọng

Ví dụ 9

P 0,1 0,3 0,4 0,2TínhE(X) = −2.0, 1+ (−1 0, 3+1.0, 4+3.0, 2=0, 5

Ví dụ 10

Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ:

f( ) =

2x , khi x ∈ [0; 1]

Trang 33

Trang 34

Trang 35

Trang 36

Var(X) = E X2

− (EX)2 = [(−2 2.0, 05+ (−1 2.0, 15+02.0, 25+22.0, 55)] −[−2.0, 05−1.0, 15+0.0, 25+2.0, 55]2=1.8275

Trang 37

0, khi x /∈ (0; 1)Phương sai của biến ngẫu nhiên X là:

x2·4x3dx−

Z 1 0

x·4x3dx

2

=

Z 1 0

4x5dx −

Z 1 0

4x4dx

2

= 275

Trang 38

2.6.2 Phương sai

Ý nghĩa

1 X −E(X)là sai lệch giữa giá trị của X so với trung bình của nó Do đó, phương saichính là trung bình của bình phương sai lệch giữa giá trị củaX so với trung bình của nó.Phương sai đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình,nghĩa là phương sai nhỏ thì độ phân tán thấp hay độ tập trung cao, ngược lại phương sailớn thì độ phân tán cao hay độ tập trung thấp

2 Trong kĩ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của thiết bị Trong kinh doanh,

phương sai đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết định

Trang 39

Trang 40

Trang 41

1.6.4 Giá trị tin chắc nhất (Mode)

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Trang 42

2.6.4 Giá trị tin chắc nhất (Mode)

Biến ngẫu nhiên liên tục

b) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thìMod(X)là giá trị làm cho hàm mật độ đạt cựcđại

Trang 43

2.6.5 Trung vị (Median)

Định nghĩa

Trung vị của biến ngẫu nhiênX, kí hiệu làMed(X), là giá trị của biến ngẫu nhiên

X chia phân phối thành hai phần có xác suất bằng nhau

1 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc:

Med Med Med(((X X X) =) =) =x x xiii ⇔⇔⇔F F F((( iii) ≤) ≤) ≤ 121212≤≤≤F F F((( i+1i+1i+1))), x , x , xiii, x , x , xii+1i+1+1∈∈∈X X X(((Ω Ω Ω)))

2 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục:

Trang 44

Trang 45

0, khi x /∈ (0; 1)Theo định nghĩa ta cóMed(X) =mnếuP(X ≤m) =P(X ≥m) = 12 vớim ∈ (0, 1)

⇔

Z m

−∞f( )dx =0, 5⇔

Z m 0

2

Trang 46

2.6.6 Các đặc trưng khác

1 Mômen cấp k đối vớia củaX(µk(a)):

µk(a) =E(X−a)k

2 Hệ số biến thiên(CV(X)): Dùng để so sánh mức độ phân tán của các BNN có kỳ vọng

và phương sai khác nhau

CV(X) =

σ(X)

E(X)

100%

3 Hệ số bất đối xứng (α3): Dùng để nhận dạng đồ thị của hàm phân phối của BNN

Trang 47

Xem bài giảng tại kênh Youtube

https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc

Trang 48

KIỂM TRA CHƯƠNG 2 30’

Câu 1 Cho biến ngẫu nhiênX có hàm mật độ

f( ) =

(

ax+ 12, khi x ∈ [0, 1]

0, khi x /∈ [0, 1]Tìm hằng số a

Trang 49

Câu 3 Cho biến ngẫu nhiênX có hàm mật độ

Trang 50

Trang 51

Trang 52

Trang 53

Trang 54

Trang 55

2< /small> BIẾN NGẪU NHIÊN

5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG... XÁC SUẤT

5 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG

Định dạng
Số trang	55
Dung lượng	1,67 MB
File đính kèm	Chuong 2 Bien ngau nhien.rar (2 MB)

Tiêu đề	Biến ngẫu nhiên
Tác giả	Nguyễn Công Nhựt
Trường học	Trường Đại học Nguyễn Tất Thành
Chuyên ngành	Công nghệ Thông tin
Thể loại	bài giảng
Năm xuất bản	2022