Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Trường ĐH Hoa Sen

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 Biến ngẫu nhiên và qui luật phân phối xác suất, cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên; Qui luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên; Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên; Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc. Mời các bạn cùng tham khảo!

Trang 1

uu 1

Probability and Statistics

qui luật phân phối xác suất

Thời lượng: 6 tiết

www.hoasen.edu.vn

1.  Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên

2.  Qui luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

3.  Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

4.  Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

Trang 2

uu 3

Faculty of Science and Technology Probability and Statistics

Biến ngẫu nhiên (random variable): biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ

với là không gian mẫu, e là biến cố trong Ω Ω

•  Biến ngẫu nhiên là một hàm xác định trên không gian các biến cố sơ

cấp

•  Biến ngẫu nhiên thường được kí hiệu: X, Y, Z, hay A1, A2,

Ta thường kí hiệu là

Biến ngẫu nhiên rời rạc: nếu là tập hữu hạn

hay vô hạn đếm được thì X được gọi là biến

ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable)

Biến ngẫu nhiên liên tục: nếu là một khoảng hay một số khoảng

hoặc toàn bộ tập số thực thì X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục

(continuous random variable)

Ví dụ

1 Một sinh viên thi 7 môn trong một học kỳ Gọi X: số môn sinh viên

đó thi đậu X có phải là một biến ngẫu nhiên?

2 Một người hằng ngày đi làm bằng xe buýt và lên xe buýt tại trạm

dừng A Cách 10 phút là có 1 chuyến xe buýt đến trạm dừng A Người

này đến A vào một thời điểm bất kỳ giữa 2 chuyến xe Gọi X: thời gian

(phút) người đó phải chờ xe buýt X có phải là biến ngẫu nhiên?

Trang 3

uu 5

Cho X là biến ngẫu nhiên bất kỳ có tập giá trị là Người ta gọi

hàm là ……… ………

……… của biến ngẫu nhiên X nếu F được xác định bởi:

Cho X là biến ngẫu nhiên bất kỳ và F là hàm phân phối xác suất của

nó Khi đó

Định lý

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có Người ta gọi

bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là bảng có dạng:

Trong đó:

Định nghĩa

Lưu ý

Trang 4

uu 7

Ví dụ

Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên ra 2

sản phẩm Gọi X là số phế phẩm lấy được X có là biến ngẫu nhiên?

Tìm bảng phân phối xác suất của X (nếu có) và tìm

HD:

Kiểm tra lại ta thấy

X là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị 1, 2, hoặc 3 Giả sử:

p(1) = 1/2; p(2) = 1/3;

a   Tìm xác suất p(3)

b   Tìm hàm phân phối F của X

Ví dụ

Trang 5

uu 9

Định nghĩa Cho biến ngẫu nhiên liên tục X Người ta gọi f là hàm

mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu:

Định lý Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f(x) và

hàm phân phối Khi đó ta có

1 Khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thì hàm

phân phối xác suất của X có thể được biểu diễn:

2 Khi X là biến ngẫu nhiên liên tục thì

Trang 6

uu 11

Faculty of Science and Technology Probability and Statistic

HD:

Ví dụ 1 Tuổi thọ X (đơn vị: h) của một thiết bị có hàm mật độ xác suất:

( )

2

100 / 100

0 100

x x

f x

x

= ⎨

<

⎩

a   Tìm hàm phân phối xác suất của X

b   Tính tỉ lệ thiết bị loại A (tuổi thọ ít nhất 500h)

2 Một phân xưởng có 2 máy hoạt động độc lập Xác suất để các máy bị

hỏng trong một ngày làm việc tương ứng là 0,1; 0,2 Gọi X là số máy hỏng

trong một ngày làm việc Lập hàm phân phối của X

Trang 7

uu 13

Hàm phân phối xác suất đồng thời của X và Y là hàm được xác định như

sau:

Ta kí hiệu biến cố: {X < x}.{Y < y}= (X < x;Y < y)

Định nghĩa

Hàm phân phối của X:

Hàm phân phối của Y:

Trang 8

uu 15

Biến ngẫu nhiên X rời rạc Biến ngẫu nhiên X liên tục

X x 1 x 2 x n

X có bảng phân phối xác suất:

Ý nghĩa của kỳ vọng EX

Kỳ vọng là giá trị trung bình của

biến ngẫu nhiên => nó phản ảnh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Trường hợp vô hạn đếm được

Kỳ vọng

Lưu ý E X( )=µ

X có hàm mật độ là f(x)

(C là hằng số) EC

1 = C 2.E aX( )= aE X( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

i

E u x =

u x f x dx 4

p

+∞

−∞

⎧

⎪⎪

⎡ ⎤ ⎨

⎣ ⎦

⎪

⎪⎩

∑

∫

Tính chất

x

u x,y x,y

E u x,y =

u x,y

5

f x,y dx

y

p dy

+∞ +∞

−∞ −∞

⎧

⎪⎪

⎡ ⎤ ⎨

⎪

⎪⎩

∑∑

∫ ∫

Trang 9

uu 17

Ví dụ

a   Tìm số máy hỏng trung bình trong một ngày làm việc

b   Nếu mỗi lần hỏng phải sửa hết 1 triệu đồng thì số tiền sửa máy trung

bình trong một ngày làm việc là bao nhiêu?

1 Tiếp theo ví dụ 2 (Slide 12)

2 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất:

a   Tìm EX

b   Tìm EY, biết

[ ]

2

2 / x 1;2

0 x 1;2

x

f x = ⎨⎧⎪ ∈

∉

⎪⎩

HD:

5 2

Y x

x

= −

Trang 10

uu 19

3 Cho biến ngẫu nhiên X có p(0) = 0,2; p(1) = 0,5; p(2) = 0,3 Tìm

EX 2

4 Cho biến ngẫu nhiên X có

Tìm EX 3 ( ) [ ]

[ ]

1 x 0;1

0 x 0;1

f x = ⎨⎧⎪ ∈

∉

⎪⎩

Phương sai

Phương sai (variance) của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu VarX, được định

nghĩa như sau:

Trong tính toán ta thường dùng công thức:

( ) ( )

2

i

x f x EX

x f x dx

+∞

−∞

⎧

⎪⎪

= ⎨

⎪

⎪⎩

∑

∫ với

Lưu ý

Trang 11

uu 21

Tính chất

•  Ta có X – EX là độ lệch giữa giá trị của X so với trung bình của X =>

phương sai là trung bình của bình phương độ lệch đó

•  Phương sai đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên quanh giá

trị trung bình

Ý nghĩa

•  Đơn vị đo của VarX bằng đơn vị đo của ……=> để so sánh đặc trưng

về độ phân tán với các đặc trưng khác người ta thường dùng độ lệch

chuẩn (standard deviation) của X, kí hiệu là và được xác định

bằng công thức

(C là hằng số)

Ví dụ

1 Năng suất của 2 máy tương ứng là các biến ngẫu nhiên X, Y (đơn vị:

sản phẩm/giây) X và Y có bảng phân phối xác suất như sau:

Nếu phải mua 1 trong 2 máy trên thì ta nên chọn mua máy nào?

Trang 12

uu 23

2 Trọng lượng của một loại linh kiện là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: g) có

hàm mật độ xác suất:

[ ]

2

3 2 2;3 16

0 2;3

f x

x

⎪

= ⎨

⎩

Hãy tìm trọng lượng trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của X

HD:

Cho 2 biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y có và

Người ta gọi bảng phân phối xác suất của (X,Y) (bảng phân phối xác suất

đồng thời của X và Y) là bảng có dạng:

X y1 y2 ym

11 p p12 1m

p

21 p p22 2m

p

1 p p2

1

x

2

x

n

x

∑

p x

1 1

1

ij

i j

p

= =

=

∑∑

là hàm mật độ xác suất rời rạc của (X,Y)

Trang 13

uu 25

Ví dụ Giả sử có 3 pin mới, 4 pin cũ nhưng vẫn còn xài được và 5 pin đã

hỏng Chọn ngẫu nhiên 3 pin

Đặt X, Y là số pin mới, pin cũ trong số các pin được chọn Khi đó

Bảng phân phối xác suất của X và Y:

Trang 14

uu 27

Cho X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng là µ, phương sai σ2, với mọi k > 0

Cho họ biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, có kì

vọng chung , với mọi ε > 0: P{|(X1 + X2 +…+ Xn)/n - | > ε} è 0

khi nè∞

Luật số lớn

Bất đẳng thức Chebyshev

Bất đẳng thức Markov

Nếu X là biến ngẫu nhiên có giá trị không âm thì với mọi a > 0, ta có

Giả sử tổng sản phẩm sản xuất trong nhà máy trong 1

tuần là biến ngẫu nhiên X có giá trị trung bình là 50

a. Có thể kết luận gì về xác suất để tổng sản phẩm trong

nhà máy trong tuần này lớn hơn 75?

b. Nếu phương sai của X là 25 thì có thể nói gì về xác

suất để tổng sản phẩm trong tuần từ 40 đến 60 sản

phẩm?

Bất đẳng thức Chebyshev và luật số lớn (tt)

Ví dụ

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	817,33 KB