Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 2 - TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên; Quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên; các số đặc trưng chính của đại lượng ngẫu nhiên;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

1 Định nghĩa và phân loại ĐLNN

• Đại lượng ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên) là đại

lượng mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một

và chỉ một trong các giá trị có thể có với một xácsuất tương ứng xác định

• ĐLNN được ký hiệu : X, Y, Z,…

Các giá trị có thể có được ký hiệu: x, y, z,…

Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo súc sắc.

Ví dụ.

1 X là số máy hỏng trong 5 máy

2 Hộp đựng 6 bút đỏ, 2 bút xanh, lấy ngẫu nhiên có hoàn lại ra

từng bút cho tới khi nào lấy được bút xanh thì dừng Y là số lần lấy bút.

3 Chiều dài mỗi chi tiết máy theo thiết kế là 3 cm, sai số cho

phép là 0.01 cm Z là chiều dài của một chi tiết máy.

• Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập

các giá trị có thể có của nó là đếm được

• Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu tập

các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng bất

kỳ trên trục số thực

Phân loại ĐLNN

• Ví dụ: X là số chấm xuất hiện khi gieo 2 con súc

Quy luật phân phối xác suất của ĐLNN là quy tắc chobiết những giá trị có thể có của nó cùng các xác suấttương ứng.

𝑥𝑖 ↔ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)

2 Quy luật phân phối xác suất của ĐLNN

Cho X là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị có thể

Ví dụ 1 Gieo ngẫu nhiên một đồng xu đồng chất cân

đối Gọi 𝑋 là số lần xuất hiện mặt sấp Lập bảng

phân phối xác suất của 𝑋.

Ví dụ 2 Có 3 máy hoạt động độc lập với xác suất

gặp sự cố trong khoảng thời gian T của mỗi máy lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,3 Lập bảng phân phối xác suất của số máy gặp sự cố trong khoảng thời gian T.

Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X (rời rạc

hoặc liên tục) tại điểm 𝑥, với 𝑥 là số thực bất

kì, ký hiệu 𝐹(𝑥), là xác suất để ĐLNN X nhận

giá trị nhỏ hơn 𝑥

b) Hàm phân phối xác suất.

𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 < 𝑥) ∀ 𝑥 ∈ ℝ

Hệ quả 1. P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a)

• P(X = x0 ) = 0

Hệ quả 2. Nếu X là ĐLNN liên tục thì:

• P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b)

= P(a < X < b)

• Cho ĐLNN liên tục 𝑋 có hàm phân phối xác suất

𝐹(𝑥), nếu 𝐹(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥 thì hàm số

𝑓 𝑥 = 𝐹′(𝑥) được gọi là hàm mật độ xác suất củaĐLNN 𝑋

• Hàm mật độ xác suất tại 𝑥0 thể hiện mức độ tập

trung xác suất của các giá trị của 𝑋 xung quanh

𝑥0

c) Hàm mật độ xác suất.

Ví dụ Nếu hàm phân phối của ĐLNN 𝑋 cho bởi công

Minh họa hình học hàm phân phối và hàm mật độ

f b

X a

1 )

3.1 Kỳ vọng toán

Kỳ vọng toán của ĐLNN 𝑋, ký hiệu 𝐸 𝑋 hoặc 𝜇, là

số được xác định như sau:

Ý nghĩa của kỳ vọng toán

• Kỳ vọng toán đặc trưng cho giá trị trung bình của

ĐLNN theo nghĩa xác suất

Ví dụ: Một người mua sổ xố có 100 bộ số có khảnăng trúng như nhau Nếu thắng, người đó sẽ được trảgấp 70 lần số tiền đặt cược, nếu thua người đó mấttiền cược Hỏi giá trị kì vọng thu được từ 1$ đặt cược

là bao nhiêu?

Gọi 𝑋 là ĐLNN chỉ số tiền người đó có thêm (hoặcmất đi) sau mỗi lần cược

𝐸(𝑋) = −1$ 0,99 + 70$ 0,01 = −0,29$

Ví dụ:

Một người đi thi bằng lái xe với xác suất thi đạt ở mỗi lần thi là 0,2 Anh ta thi đến khi nào thi đạt mới thôi Hỏi trung bình anh ta phải thi bao nhiêu lần?

• Gọi X là số lần dự thi X là ĐLNN rời rạc có:

1. E(C) = C với C = const

3.2 Mode

Mode của ĐLNN X, ký hiệu Mod(X) (đọc là Mốt

𝑋) là giá trị của X mà tại đó:

• Xác suất lớn nhất nếu là ĐLNN rời rạc

• Hàm mật độ xác suất đạt cực đại nếu X là ĐLNN

liên tục

Ví dụ: 𝑋 là ĐLNN có bảng phân phối sau:

• Tìm 𝑀𝑜𝑑 (𝑋)

• Chú ý: ĐLNN 𝑋 có thể có cùng các xác suất như

nhau, hoặc hàm mật độ có thể có một hoặc nhiềucực đại nên 𝑋 có thể có một hoặc nhiều giá trịMod

𝑿 1 2 3 4 5

𝑃 0,1 0,4 0,2 0,1 0,2

.

) (

)

i

i i

i

i

x X

Var

2 2

2

) ( )

( ]

[ )

f x dx

x f x

X Var

Ví dụ: 𝑋 là ĐLNN chỉ thu nhập tăng thêm trong 1tháng của một người, được cho bởi bảng phân phốinhư sau:

• Tìm 𝑉𝑎𝑟(𝑋)

𝑿

(triệu đồng)

1 2 3 4 5

𝑃 0,1 0,4 0,2 0,1 0,2

1. Var(C) = 0 với C = const

Chú ý: Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị

của 𝑋 , vì thế để thuận tiện tính toán, đặt ra nhu cầu xây dựng một tham số khác có cùng đơn vị với 𝑋.

Ý nghĩa của phương sai, độ lệch chuẩn:

• Phương sai của ĐLNN đặc trưng cho độ phân tán

(độ ổn định, độ đồng đều) của các giá trị có thể có của ĐLNN đó xung quanh giá trị 𝐸(𝑋).

• Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán

lớn, hay độ đồng đều, độ ổn định càng thấp.

• Ví dụ: “Độ đồng đều về năng suất lao động cao hơn

1,5h/1sp” ⇔ “Độ lệch chuẩn thấp 𝜎 < 1,5”.

• Hàm phân phối xác suất của X có dạng:

x khi

x khi

x khi

x khi

x F

2 1

2 1

8 , 0

1 0

7 , 0

0 1

3 , 0

1 0

) (

• E(X) = (-1).0,3 + 0.0,4 + 1.0.1 + 2.0,2 = 0,2

• Mod(X) = 0

• Var(X) = (-1) 2 0,3 + (0)2.0,4 + (1)2.0,1 + (2)2.0,2