Chủ đề 8 PHƯƠNG PHÁP đổi BIẾN số TÍNH TÍCH PHÂN

CHỦ ĐỀ 8 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN 1) Định lí Cho hàm số liên tục trên đoạn Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho và với mọi Khi đó Chú ý Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép biến đổi biến số ở dạng sau ( Cho hàm số liên tục trên đoạn Để tính , đôi khi ta chọn hàm số làm biến số mới, trong đó trên đoạn có đạo hàm liên tục và ( Giả sử có thể viết với liên tục trên đoạn Khi đó, ta có 2) Các dạng toán trọng tâm ( Dạng 1 Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc ( Tro.

CHỦ ĐỀ 8: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN 1) Định lí: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn   a b Giả sử hàm số ;  x t có đạo hàm liên tục trênđoạn  ;  sao cho   a;   b và a t b với mọi t ; .

Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép biến đổi biến số ở dạng sau:

 Cho hàm số f x liên tục trên đoạn   a b Để tính ;   

b

a

f x dx

 , đôi khi ta chọn hàm số u u x   làm

biến số mới, trong đó trên đoạn a b u x có đạo hàm liên tục và ; ,   u x  ; 

 Giả sử có thể viết f x g u x u x x    ' , a b; , với g u liên tục trên đoạn   ; 

2) Các dạng toán trọng tâm

 Dạng 1: Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc

 Trong biểu thức của f x dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t. 

 Trong biểu thức của f x dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t. 

 Trong biểu thức của f x dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức 

x

dx I

I x  xdx d)

1

2 0

2.4

2

2 2

 với a b c, , là các số hữu tỷ.Mệnh đề nào dưới đây là đúng

   (tích phân không phụ thuộc vào biến)

Ví dụ 1: Cho hàm số f x liên tục trên    thỏa mãn  

e f e dx 

Tính tích phân  

4.

 Dạng 3: Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ

Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số f x liên tục trên đoạn   a a;  Chứng minh rằng:

02

3 2

2 2cos 2

.2

a dx I

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho  

Câu 10: Cho f x là hàm số liên tục trên    và  



A I 3F 2  F 1  B I F 6  F 3

C  6  3

.3

1.2

Câu 39: Cho

2

2 1

t

3 2 0

dx I

2 2 1

2.3

1

2.3

2 2 1

2 2 1

2 2 1

Câu 44: Cho 2 2

sin 3 0

1 2 0

1 3 0

1 2 3 0

1.2

1 5 0

2 2 4 0

I t dt

Câu 47: Cho

2 2 1

e dx I

a b e

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Khi đó

2 2

22

11

312

m

n t

Ta có

2 2 2