CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNGBÀI 2: TÍCH PHÂN I.. Định nghĩa: Cho hàm số fx liên tục trên đoạn [ ]a b.. b Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ t
Trang 1CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI 2: TÍCH PHÂN
I LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ ]a b Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x); trên đoạn [ ]a b Hiệu số ; F b( )−F a( ) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) Kí hiệu: ( )
b
a
f x dx
Vậy: ( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dx F x= =F b −F a
∫
Ta gọi
b
a
∫ là dấu tích phân; a là cận dưới; b là cận trên; f x( )là hàm số dưới dấu tích phân; f x dx( ) là biểu thức dưới dấu tích phân
a
a
f x dx=
∫ ( ) ( )
b) Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến:
2 Các tính chất của tích phân:
Tính chất 1: ( ) . ( )
Tính chất 2: ( ( ) ( )) ( ) ( )
Tính chất 3: ( ) ( ) ( ) , ( )
II DẠNG TOÁN
1 Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số u u x= ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ]a b và
u x
α ≤ ≤β Giả sử có thể viết f x( ) =g u x u x x( ( )) '( ), ∈ [ ; ],a b với g liên tục trên đoạn [ ; ].α β
Khi đó, ta có:
( )
( )
u b b
I =∫f x dx= ∫ g u du
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
Bài toán : Tính tích phân [ ( ) ( )]
b
a
I =∫g u x u x dx′
Cách giải: Đặt t u x= ( )⇒ =dt u x dx′( )
Đổi cận: ( )
( )
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó
( )
( )
( )
u b
u a
I = ∫ g t dt
Chú ý: Khi đổi biến ta phải đổi cả cận
Dấu hiệu chung:
Nếu hàm số chứa căn ⇒ đặt t=căn
Trang 2Nếu hàm số chứa mẫu ⇒ đặt t=mẫu
Nếu hàm số chứa lũy thừa bậc cao ⇒ đặt t=biểu thức chứa lũy thừa bậc cao
Dấu hiệu cụ thể:
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
1 Có f x( ) t= f x( ) 3 2
0
d 1
x x I
x
=
+
∫ Đặt t= x+ 1
−
=∫ + Đặt t= +x 1
3 Có a f x( ) t= f x( ) 4 tan 3
2
0 cos
x
e
x
π +
=∫ Đặt t= tanx+ 3
4 Có dx vàlnx
x
ln
t= x hoặc biểu thức
1 3ln ln
.d
e
x
+
=∫ Đặt t= 1 3ln + x
5 Có e dx x
x
t e= hoặc biểu thức
chứa e x
ln 3 2
I =∫ e e − x Đặt t= 4e x−3
0
sin
d
x
x
π
=
+
∫ Đặt t= 2cosx+ 1
π
=∫ Đặt t= sinx
8 Có 2
cos
dx
Đặt t= tanx
9 Có 2
sin
dx
2
−
∫ ∫ Đặt t= cotx
Ví dụ 1: Tính tích phân
2 3 0
d 1
x x I
x
=
+
∫ ta được kết quả:
A. 36
5 B
76
15 C.
5
36 D.
15 76
Lời giải
Chọn B
Đặt t= x+ ⇒ = + ⇒1 t2 x 1 dx=2 dt t
Đổi cận: 0 1
= ⇒ =
= ⇒ =
1
1 2 dt
t
−
=∫ = ∫ − = ∫ − + (đã sửa)
2
1
2 92 16 76 2
5 3 15 15 15
t
Ví dụ 2: Tính tích phân
1
3 0
d ( 1)
x x J
x
= +
∫ ta được kết quả:
A. 1
8 B .
1
Trang 3Lời giải
Chọn A
Đặt t x= + ⇒1 dx=dt
Đổi cận: 0 1
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó 2( ) 2( 2 3) 2
t
Ví dụ 3: Tính tích phân 0 2018
−
=∫ + ta được kết quả :
A. 1
4078380 B.
1
2018 C.
1 4078380
− D. 1
2018
−
Lời giải
Chọn C
Đặt t x= + ⇒1 dx=dt
Đổi cận: 1 0
= − ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó 1( ) 2018 1( 2019 2018) 2020 2019 1
2020 2019
2020 2019 4078380
Ví dụ 4: Tính tích phân I =
7 3 0
1 d
1+ x+1 x
∫ ta được kết quả:
A. 3 3ln3
2+ 3D. 3 3ln2
Lời giải
Chọn A
Đặt t= +1 3 x+ ⇒1 t3- 3t2+3 -1t = + ⇒x 1 dx=(3t2− +6t 3 d) t
Đổi cận: 0 2
= ⇒ =
= ⇒ =
2
.d 3 2 d 3 2 ln
2
Ví dụ 5: Tính tích phân
1
1 3ln ln
.d
e
x
+
=∫ ta được kết quả:
A. 4
5 B
4 5
− C. 116
135
− D. 116
135
Lời giải
Chọn D
3
t
x
Trang 4Đổi cận: 1 1
2
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó 2 ( 2 ) 2( )
2
1
9 5 3 135 135 135
t t
Ví dụ 6: Tính tích phân I =∫0ln 3 2e x 4e x− 3.dx ta được kết quả:
A. 48
5 B.
93
10 C.
93
80 D.
6 5
Lời giải
Chọn B
2
t= e − ⇒ =t e − ⇒e x= và
4
x t
Đổi cận: 0 1
ln 3 3
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó 3( 2 )
ln 3 0
1
3( ) 5 3
3
t
∫
Ví dụ 7: Tính tích phân 2 3
π
=∫ ta được kết quả:
A. 1
4 B.
1 4
− C. 3 D. -3
Lời giải
Chọn A
Đặt t=sinx⇒cos dx x=dt
Đổi cận:
1 2
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó
1 1
0 0
d
I =∫t t= t =
Ví dụ 8: Tính tích phân 3 3
0
sin
d
x
x
π
=
+
∫ , ta được kết quả 3.ln2
a I
b
= − − (với ,a b là các số nguyên
dương) Khi đó ta có:
A. a=5,b=3 B. a=1,b=5 C. a=1,b=8 D. a=3,b=1
Lời giải
Chọn C
Đặt 2cos 1 sin d 1d
2
2
t
Trang 5Đổi cận:
2 3
= ⇒ =
= ⇒ =
sin sinx.d
I
2 2
3
1 1
.d 2
t
t
−
−
∫
2 2
3
t
Ví dụ 9: Tính tích phân 4
4 0
1 d cos
x
π
=∫ , ta được kết quả I a
b
= ( với a
b là phân số tối giản và ,a b Z∈ ). Khi đó ta có tổng a b+ bằng:
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
Lời giải
Chọn C
Đặt tan 12
os
Đổi cận:
1 4
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó 1( ) 3 1
2
4
1 d
t
I = +t t= +t =
Ví dụ 10: Tính tích phân
cot 4 6
d
1 cos 2
x
e
x
π π
=
−
∫ ta được kết quả 1( b c)
a
− − với , ,a b c là các số nguyên dương
Khi đó giá trị của biểu thức T =2018a b+ 2018−2017c bằng:
A. −2014 B. 2 C. −2017 D. 2018
Lời giải
Chọn A
Ta có
1
−
Đặt cot 12
sin
x
Đổi cận:
3 6
1 4
π π
= ⇒ =
= ⇒ =
Khi đó 1 1 ( )
3 3
3
d
Trang 6⇒ =T 2018a b+ 2018−2017c=2018.2 1+ 2018−2017.3= −2014
Ví dụ 11: Tính tích phân:
5
dx I
=
+
∫ ta được kết quả I =aln 3+bln 5 ( với a, b là các số nguyên) Khi
đó giá trị 2a b+ 2 là:
A. 4 B. -3 C. 0 D.5
Lời giải
Chọn D
Đặt 3 1 2 3 1 d 2 d
3
t
t= x+ ⇒ =t x+ ⇒ x= t và
2
1 3
t
x= −
Đổi cận: 1 2
= ⇒ =
= ⇒ =
Ta có
2 2
d 2 d
1 3
t
t t
t
−
−
4 2 2
.d ln 1 ln 1
∫ (ln 3 ln 5) (0 ln 3) 2ln 3 ln 5
2a b 5
Ví dụ 12: Biết
5 1
2x -1
2x 3 2x -1 1
4a +3b +2c −2018d
Lời giải
Chọn A
Đặt t= 2x− ⇒ =1 t2 2x− ⇒1 dx t t= d và
2
t
x= +
Đổi cận: 1 1
= ⇒ =
= ⇒ =
Ta có:
3 2 1
d
1 3 1
t
= + + +
3 2
+
3
3 1 1
2, 1, 4, 4
4a 3b 2c 2018d 8171
BÀI TẬP
NHẬN BIẾT
Trang 7Câu 1: Biết 3 ( )
0
.d 12
f x x=
∫ Tính 1 ( )
0
3 d
I =∫ f x x ta được kết quả:
A 3 B. 6 C 4 D 36
Lời giải
Chọn C
Đặt 3 1d d
3
t = x⇒ t= x
Đổi cận: 0 0
= ⇒ =
= ⇒ =
Ta có 3 ( ) 3 ( )
I =∫ f t dt= ∫ f t dt= =
Câu 2: Biết 1 ( )
0
.d 5
f x x=
∫ Tính 1 ( )
0
1 d
I =∫ f −x x ta được kết quả:
1
Lời giải
Chọn A
Đặt t= − ⇒ − =1 x dt dx
Đổi cận: 0 1
= ⇒ =
= ⇒ =
Ta có 0 ( ) 1 ( )
I = −∫ f t dt =∫ f t dt=
THÔNG HIỂU
Câu 3: Cho
1
0
1 d
I =∫x −x x Nếu đặt t= 1−x2 thì I bằng
A. 1 ( 2)
0
1 d
t −t t
∫ B. 0 ( )
1
1 d
t −t t
∫ C. 1 2( 2)2
0
∫ D. 0( 4 2)
1
d
t −t t
∫
Lời giải
Chọn C
Đặt t= 1−x2 ⇒ = − ⇒t2 1 x2 x xd = −t td
Đổi cận: 0 1
= ⇒ =
= ⇒ =
Ta có
1
0
1 d
I =∫x −x x x 0( 2)2 1( 2)2 2
1 t dt t t 1 t dt t
Câu 4: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn
2
0
f x dx=
Khi đó giá trị của tích phân
2
0
(2sin ) cos
π
Trang 8A. 6− B. 6 C. 3− D. 3
Lời giải
Chọn D
Đặt 2.sinx 1d cos d
2
Đổi cận:
2 2
= ⇒ =
= ⇒ =
Ta có 2 ( ) 2 ( )
I =∫ f t dt= ∫ f t dt = =
Câu 5: Tích phân
3
2 1
1
I = ∫ x +x dx bằng:
A. 4 2
3
− B. 8 2 2
3
− C. 4 2
3
+ D. 8 2 2
3 +
Lời giải
Chọn B
Đặt t= 1+x2 ⇒ = +t2 1 x2⇒x x t td = d
Đổi cận: 1 2
= ⇒ =
Ta có
2
2
8 2 2 d d
t
I = t t t= t t= = −
÷
Câu 6: Biết
2 0
x x
∫ ( vớia là số nguyên) Tính a
A a=1 B a=2 C a=0 D a=0
Lời giải
Chọn A
Đặt 2 1 d 1d
2
t=x + ⇒x x= t
Đổi cận: 0 1
= ⇒ =
= ⇒ =
Ta có 1 22 2( ) 2 ( )2 ( )
1
1 d
x x x