Chủ đề 4 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN tìm NGUYÊN hàm

Chủ đề 4 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên ta có công thức nguyên hàm từng phần Chú ý Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng trong đó và là 2 trong 4 hàm số Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ Để tính nguyên hàm từng phần ta làm như sau – Bước 1 Đặt (trong đó là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số ) – Bước 2 Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có Chú ý Khi và và là 2 trong 4 hàm.

Chú ý: Khi I =∫ f x g x dx( ) ( ) và f x và ( ) g x là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa( )

thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt u

Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức) Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ) Tức là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt u bằng hàm đó Ví dụ:

•Nếu f x là hàm log, ( ) g x là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt ( ) ( )

( )

.sincos

x u

cos cos cos sincos

x x

++

2

d x xdx

Nhận xét: Trong nguyên hàm I chúng ta thấy rất rõ là việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, trong8

mỗi vòng ta đều nhất quán đặt u là hàm lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tính toán không thể tính trực tiếp được

21

xdx du

( 2 ) ( ) 2 ( 2 ) ( 2) 2

2 13

u x

du dx

dx dv x

2

3

xdx du

Đặt ln( 2)

22

A F x( ) (= 2x+1 cos) x+2sinx+2 B F x( ) = −(2x+1 cos) x+2sinx+4.

C F x( ) (= 2x+1 cos) x−2sinx+2 D F x( ) = −(2x+1 cos) x−2sinx+4.

Ví dụ 9: Tìm nguyên hàm ( )2

ln.1

xdx I

x

=+

A I = −(2 x)sinx+cosx C+ B I = −(2 x)sinx−cosx C+

C I = −(2 x)cosx−sinx C+ D I = −(2 x)cosx+sinx C+

Đặt sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2

A cosx x− sinx C+ B sinx x+ cosx C+

C cosx x+ sinx C+ D sinx x− cosx C+

Mặt khác '( ) cos 1 2 sin sin cos 2sin ( )sin

A x(sinx+cosx)+sinx C+ B e x(cosx−sinx)+sinx C+

C x(cosx−2sinx)+sinx C+ D x(cosx−sinx)+sinx C+

f x

x Tìm nguyên hàm của hàm

số f x'( )tan x

A ∫ f x'( )tanxdx=ln cosx C+ B ∫ f x'( )tanxdx=ln sinx C+

C ∫ f x'( )tanxdx= −ln cosx C+ D ∫ f x'( )tanxdx= −ln sinx C+

Do đó ∫ f x′( ).tanxdx x= tanx x− tanx−ln cosx C+ = −ln cosx +C. Chọn C.

Ví dụ 21: Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x( ) =lnx thỏa mãn điều kiện F( )1 =3 Tính giá trịcủa biểu thức 2F e( ) log 3.log4 3 ( )

Ví dụ 23: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x( ) =x e −x thỏa mãn F( )0 = −1. Tính tổng S các

nghiệm của phương trình F x( )+ + =x 1 0

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số ( ) f x( ) =xcosx thỏa mãn F( )π =2017.

A F x( ) =xsinx−cosx+2019 B F x( ) =xsinx+cosx+2018

C F x( ) = −xsinx+cosx−1 D F x( ) = −xsinx−cosx+2017

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2

A −xcotx−ln cosx C+ B tanx x+ln cosx C+

C −xcotx+ln cosx C+ D −xtanx+ln cosx C+

Câu 3: Tìm nguyên hàm của y xe= x

A F x( ) =xsinx+cosx+2019 B F x( ) =sinx x− cosx+2018

C F x( ) =xsinx−cosx+2019 D F x( ) =sinx x+ cosx+2018

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) (= +x 1 sin ) x

A (x+1 cos) x+sinx C+ B − +(x 1 cos) x+sinx C+

C − +(x 1 cos) x−sinx C+ D (x+1 cos) x−sinx C+

Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) (= 2x−1)e−x

Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) (= +x 1 cos ) x

A (x+1 sin) x−cosx C+ B (x+1 sin) x+cosx C+

C − +(x 1 sin) x−cosx C+ D − +(x 1 sin) x+cosx C+

Câu 10: Một nguyên hàm F x của hàm số ( ) f x( ) =lnx thỏa mãn F( )1 =3 Tính F e ( )

C ∫ f x e dx'( ) 2x = −(x 1)e x+C D ∫ f x e dx'( ) 2x = −(x 2)e x+C.

Câu 25: Cho ( ) 2( 1) x

F x = x− e là một nguyên hàm của hàm số '( ) x

f x e và f ( )0 =0 Tìm nguyên hàmcủa hàm số ( ) x

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Vậy F x( ) =sinx x− cosx+2018. Chọn B.

Câu 9: Đặt 1 ( 1 cos) ( 1 sin) sin