Chủ đề 2 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN tìm NGUYÊN hàm

CHỦ ĐỀ 2 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM I Vi phân của hàm số Vi phân của hàm số được ký hiệu là và cho bởi Ví dụ II Một số công thức vi phân quan trọng (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm A B C D Lời giải Ta có Chọn D Ví dụ 2 Tìm nguyên hàm A B C D Lời giải Ta có Áp dụng Chọn B Ví dụ 3 Tìm nguyên hàm A B C D Lời giải Ta có Chọn B Ví dụ 4 Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số A B C D Lời giải Ta có Với ta được Với ta được Với ta được Đáp án sai là D C.

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM

I Vi phân của hàm số

Vi phân của hàm số yf x được ký hiệu là dy và cho bởi dy df x   y dx f x dx 

Ví dụ: dsinxcosx  sinxcosx dx cosx sinx dx

II Một số công thức vi phân quan trọng

(1) dx 1d ax b  1d b ax 



(2) 1  2 1  2  1  2

(3) 2 1  3 1  3  1  3



(4) sinx d cosx  1d a cosx b

a



(5) cosxdx dsinx 1d a sinx b

a

(6) 2 tan  1  tan 

cos

dx

(7) 2 cot  1  cot 

sin

dx



(8) 2dx d x 1d a x b  1d b a x 

x



(9) x  x 1  x  1  x



(10) dx dlnx 1d a lnx b 1d b a lnx



Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm sin cos

sin cos

dx







sinx cosx C







C ln sinxcosx C D ln sin xcosx C

Lời giải:



d sin cos

ln sin cos sin cos





Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm

1 2

x









A 1ln 2 2

2x 4x C





2







Lời giải:

Ta có:

2

2



2( 2 )

du



Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm

3

1

xdx I

x







A.3 2 1

3

2

3 x  C D 33 2 2

Lời giải:

Ta có:

1

d x xdx





Ví dụ 4: Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số   1 sin

cos

x

f x







A ln 2x 2cos x B ln x cosx 1 C.1ln cos 2

2 x x D ln 2 x  2cosx 2

Lời giải:

x





Với C ln 2ta được F x ln 2x 2cos x

Với C 1 ta được F x ln x cosx 1

Với C 0 ta được   1ln cos 2 ln cos

2

Đáp án sai là D Chọn D.

Ví dụ 5: Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số     cos

4sin 3

x

f x

x



 Biết rằng 1

2

F 

  Tìm F x  

A.   1 4sin 3 1

C.   1 4sin 3 3

Lời giải:

4

xdx

F x



2 2

du



F  C  F x  x 

Ví dụ 6: Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số    

1

2 3ln

f x



 Biết rằng F 1 1

e

 



 

  Tìm F x 

A   1 4

F x

x

F x

x





3ln 2

F x

x

3ln 2

F x

x







Lời giải:

Ta có:  

 

dx

x



 

 

Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của hàm số   sin  1 cos

sin cos

f x





A.x2 ln sinx xcosx C B.xln sinx xcosx C

C.  sin cos 2

2

Lời giải:

Nhận xét xsinxcosxsinx x cosx sinxxcosx

1

 sin cos 

ln sin cos sin cos





Ví dụ 8: Cho hàm số f x luôn dương và thỏa mãn   f x   2x1  f x  với mọi x   Biết rằng

 2 16

f  Gía trị của f  1 bằng:

Lời giải:

 

f x



Lấy nguyên hàm 2 vế ta có:  

 

 

2

  2

Thay x 2ta có: 2 6 2 2 2 C C2

Thay x 1ta có: 2 f  1    12 1 2 f  1 4.Chọn C.

Ví dụ 9: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2008] Cho hàm số f x thỏa mãn    2 2

9

  2   2

f x  x f x  với mọi x   Giá trị của f  1 bằng:

A. 35

36

3



C. 19 36



D 2 15



Lời giải:

 

2

2

f x



Lấy nguyên hàm 2 vế ta có:  

 

 

1

f x

f x

Mặt khác  

 

f x



Thay x 1ta được

f

Ví dụ 10: Cho hàm số f x luôn dương và thỏa mãn   f x  3 x f x2  với mọi x   Biết rằng f 0 1 Giá trị của f  1 bằng:

Lời giải:

Ta có:      

 

f x



Lấy nguyên hàm 2 vế ta có:  

 

 

 

3

  3

     (Do f x    0 x )

Suy ra   x3 C

 Do f  0 e C  1 C 0 f  1 e Chọn B.

Ví dụ 11: Cho hàm số yf x thỏa mãn f x f x   3x56x2 Biết f  0 2

Tính giá trị f2 2

A.f2 2 144 B. f2 2 100 C. f2 2 64 D f2 2 81

Lời giải:

f x f x  x  x  f x f x dx  x  x dx

2

Mà f  0  2 f2 0  4 2C 4 f2 x x64x34

2

x



BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Biết F x là một nguyên hàm của hàm số     2

1

x

f x

x



 và F 0 1 Tính F 1

A ln 2 1. B 1ln 2 1

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f x x 1x2

A 1 2 2

2x x C B.1 2 23

3 x x C C 1 23

1

3x x C

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos5xsin x

A 1 6

4

1

Câu 4: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số      2 4

f x  x x  thỏa mãn F 1 6

A   2 2 15 2

x x

x

C   2 2 15 2

x x

x

Câu 5: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số   f x x x 219thỏa mãn  0 21

20

A   1  2 10

1 1

20

1 1

20

C F x 2x21101 D F x x21102

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số f x e3cosx.sin x

A 1 3cos cos

3

x

3

x

  C 3e3cosxC D 3e3cosxcosx C

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f x  cosx sinx1

A 2 sin 13

C 2 sin 1

Câu 8: Tìm nguyên hàm F x của hàm số   f x  x2 1  e x3  3x

  , biết rằng đồ thị của hàm số F x có  điểm cực tiểu nằm trên trục hoành

A F x  e x3 3x e2

3 3 2 2

1 3

x x

e

F x

e

 



3 3 2

3

x x

F x





3 3 1 3

x x

e

F x







Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số f x  xe x2 1



A 1 2

2

x

2

x

2

x

2

x



Câu 10: Hàm số f x xe x2có một nguyên hàm là F x thỏa    0 1

2

F  Tìm nghiệm của phương trình

  2

2F x e x



A x 1hoặc x 2 B x 0 hoặc x 2

C x 1hoặc x 0 D x 0hoặc x 2

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số   ln

2

x

f x

x



A

2

ln

4

x

C

2

ln

2

x C

2

ln

4

x C

1

2x C

Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số   1 ln

ln

x

  

ln

2

x x

C





C

2

2

ln

2

x

2 2

2ln

x

x

Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số f x  lnx

x



A ln2x C B 1ln

2

1

1

C

x 

Câu 14: Một nguyên hàm F x của hàm số     2

1

x

f x

x



 thỏa F 0 1 Tính log2F  1 

A 2  

2

2

1

2

  C log2F  1  2 D log2F  1 2

Câu 15: Tìm hàm số f x Biết rằng   f x  x 1x2 và 2f  1 3

A    23

1

1

3

x

2

1

1

3

x

C   2 1 22

1

2

1

2

x

Câu 16: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số     2 1

x

f x





  thỏa mãn F 1 2017

A F x  x2 2x 5 2015 B F x 2 x2 2x 5 2017

C  

2016

2

x

F x



Câu 17: Hàm số   2

2

x

f x

x



 có một nguyên hàm là F x thỏa    1 3ln 3

2

F  Tính  7

F

e

A  7

3

F

9

F

27

F

81

F

Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số   1

ln

f x





A ln lnx 1 C B ln lnx1C C ln ln x 1 C D ln ln x1C

Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số   2

x

f x

x





A 1 2

2

1

3 2

3

2

3

x

C





LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2

2

1

d x x



Câu 2: 2 1 2  2 1 2 2 32 1  2 3

6

Câu 4:    2 4  2  4 2  1 2 5

5

x

F   C  F x    Chọn B.

Câu 5:    2 9 1  2  9 2  1 1  2 10 1  2 10

Câu 6: 3cos 1 3cos   1 3cos

Câu 7: cos sin 1 sin 1 sin 1 2 sin 13

3

Câu 8:    2  3 3 1 3 3  3  1 3 3

x x x x x x

       Ta có f x   0 x x11



Do hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên    

3 3 2

x x

e

 



Chọn B.

Câu 9: 2 1 1 2 1  2  1 2 1

Câu 10:   2 1 2  2 1 2

F x xe dx e d x  e C Mà F 0  12 C 0 F x  12e x2

2

x

x

2

x

Câu 14:    2 

2

1 1

1 2

d x x



 0 1 0   2 1

1

2

F    F     Chọn B.

x

f    f    C  f x    Chọn A.

2

1

x



2

2

2

d x x



2

F

ln ln 1

dx

2

d x x

