CHỦ ĐỀ 9 CÔNG THỨC TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Công thức tích phân từng phần Nếu và là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thì Hay II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1 Sử dụng công thức tích phân từng phần Ví dụ 1 Cho tích phân và Khẳng định nào sau đây đúng? A B C D Lời giải Ta có Chọn D Ví dụ 2 Cho tích phân Tính A B C D Lời giải Đặt Suy ra Chọn B Ví dụ 3 Cho tích phân với Tính A B C D Lời giải Đặt Khi đó Xét tích phân , ta đặt Khi đó Vậy Chọn C Ví dụ 4.
Trang 1CHỦ ĐỀ 9: CÔNG THỨC TỪNG PHẦN TÍNH TÍCH PHÂN
I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Công thức tích phân từng phần: Nếu u u x= ( ) và v v x= ( ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]a b thì ; b ( ) ( ) ( ) ( ) b b ( ) ( )
a
u x v x dx′ =u x v x − u x v x dx′
Hay
b a
udv uv= − vdu
II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần
Ví dụ 1: Cho tích phân 2
0 cos
π
=∫ và u x dv= 2; =cosxdx Khẳng định nào sau đây đúng?
0
π π
0
π π
0 sin 2 sin
π π
0 sin 2 sin
π π
Lời giải
Ta có
2
2 0 0
2
sin 2 sin sin
cos
du xdx
u x
π π
=
Ví dụ 2: Cho tích phân 2( ) 2
0
2x+1 e dx ae x = + +be c
S a= + +b c
Lời giải
a= b= c= ⇒ =S a + + =b c Chọn B.
Ví dụ 3: Cho tích phân 2( )
0
1 sin
π
=∫ + = π + π + với , ,a b c∈¤ Tính T =a2+ +b2 c2
Lời giải
Đặt
cos sin
du xdx
u x
=
0
1 cos 2 cos 1 2 cos
π
Trang 2Xét tích phân 2
0 cos
π
=∫ , ta đặt
0
0 0
Vậy
0
1
a
c
=
= −
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho tích phân 3( 2 )
2
3 1 ln ln 3 ln 2
I =∫ x + xdx a= +b +c với , ,a b c∈¤ Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A a=3b B a= −3b C a b+ =40 D a b− =20
Lời giải
3 3
ln
dx
x
=
3 3
2
22
x
Ví dụ 5: Cho 4 ( )
1
.ln 3 ln 2
x
x
+
=∫ = + + , với , ,a b c∈¤ , tổng a b c+ + bằng
Lời giải
dx
dx
v
x
=
, khi đó ( ) ( )4 4
1 1
x
1 1
6
2
a
c
=
= −
Vậy tổng a b c+ + = − − =6 4 2 0 Chọn D.
Ví dụ 6: Cho tích phân
2
2 0
sin
1 cos
b x
π
+
∫ với , ,a b c∈¥ và a
b là phân số tối giản Khẳng định
nào sau đây là đúng?
A a b+ =3c B a+2b c= C a b+ =2c D a+2b=3c
Lời giải
Trang 3Đặt
2 2
1 cos 1 cos
π π
=
0
2
x
Do đó a b+ =3c Chọn A.
Dạng 2: Tích phân từng phần với hàm ẩn
Ví dụ 1: Cho hàm số f x thỏa mãn điều kiện ( ) 1( ) ( )
0
x+ f x dx=
∫ và 2f ( )1 − f ( )0 =2 Tính tích phân ( )
1
0
f x dx
∫
Lời giải
Đặt
1
x+ f x dx= +x f x − f x dx
( ) ( ) ( ) ( )
10 2f 1 f 0 I I 2f 1 f 0 10 2 10 8
Ví dụ 2: Cho 2( ) ( ) ( ) ( )
0
1 2− x f x dx′ =3f 2 + f 0 =2016
0 2
f x dx
Lời giải
Xét tích phân 2( ) ( )
0
1 2x f x dx− ′
∫
2 2 0 0
dv f x dx v f x
3f 2 f 0 2 f x dx 2016 2016 2 f x dx f x dx 2016
Xét 1 ( )
0
2
J =∫ f x dx, đặt t=2x⇒ =dt 2dx, đổi cận suy ra 2 ( ) 2 ( )
1
2 2
dt
J =∫ f t = ∫ f x dx= Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn điều kiện 1 ( )
0
1 1
f x dx x
′
= +
∫ và f ( )1 −2f ( )0 =2 Tính tích phân
( )
( )
1
2
f x
dx
x+
∫
Trang 4Lời giải
Đặt
( ) 2
1
1
1
x
dv f x dx
v f x
+
=
, khi đó ( ) ( ) ( )
( )
1
2
′
0
x
Ví dụ 4: Cho F x( ) =x2+ln3x là một nguyên hàm của hàm số f x( )
x Tính tích phân ( )
1
ln
e
f x′ xdx
∫
3
3
4
I e= +
Lời giải
1
1 ln
ln
e e
1
x
′
Do đó I e= +2 3 Chọn B.
Ví dụ 5: Cho F =(x3+x e2) x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 3x
f x e Tính tích phân 1 ( ) 3
0
x
I =∫ f x e dx′
Lời giải
Đặt
dv f x dx v f x
0
x
Ví dụ 6: Cho hàm số f x liên tục và luôn dương trên ¡ Biết rằng ( ) ( ) 1 ( )
0
1 2, xdx ln 2
f
f x
= ∫ = Tính tích
( )
2
1
2 0
x f x
f x
′
=∫
Trang 5A I = +2 ln 2 B 1 ln 2
2
2
I = − − D I = − +2 ln 2
Lời giải
2
2
2 1
f x
f x
( ) ( ) ( )
2
0 0
I
Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức tích phân
Ví dụ 1: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;1 thỏa mãn f ( )1 =6, 1 ( ) 2
0
5 2
f x′ dx=
( )
1
0
5
2
x f x dx=
∫ Tích phân 1 ( )
0
f x dx
A 23
5
5
19 4
Lời giải
2
du f x dx
u f x
x
′
=
=
1
x f x dx= f x − f x dx′
Suy ra ( ) 1 2 ( ) 1 ( )
2
1 5
f x dx′ x f x dx′
Ta chọn k sao cho: 1 ( ) 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 21 4
f x′ kx dx f x′ dx k f x x dx k′ x dx
1
0
5
0
1 6
x
Ví dụ 2: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;1 thỏa mãn f ( )1 =1, 1 ( ) 2
0
9 5
f x′ dx=
( )
1
0
1
5
x f x dx=
∫ Tích phân 1 ( )
0
I =∫ f x dx bằng
A 3
5
4
4
5
I =
Lời giải
Trang 6Đặt ( ) 2 ( )
2
du f x dx
u f x
x
′
=
=
Do đó 1 ( ) 2 ( )1 1 2 ( ) 1 2 ( )
x
x f x dx= f x − x f x dx′ = − x f x dx′ =
Suy ra 1 2 ( ) 1 4
x f x dx′ = x dx=
Chọn k sao cho: 1 ( ) 2 2 2
0
9 6
k k
∫
0
∫
1
4
f = ⇒ = ⇒ =C I ∫ f x dx=∫x dx= Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;1 thỏa mãn ( )1 3
5
f = , 1 ( ) 2
0
4 9
f x′ dx=
( )
1
3
0
37 180
x f x dx=
0
1
I =∫f x − dx bằng
A 1
1 15
10
10.
Lời giải
3
' 4
du f x dx
u f x
x
=
=
Do đó 1 3 ( ) 4 ( )1 1 4 ( ) 1 4 ( ) 1 4 ( )
x f x
Lại có:
1
8
0
1 9
x dx=
0
k
∫
0
2
5
x
∫
0
f = ⇒ = − + ⇔ = ⇔C C f x − = − x ⇒ f x − dx= −
Ví dụ 4: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;3 thỏa mãn f ( )3 =1, 3 ( ) 2
0
1 27
f x′ dx=
∫
Trang 7và 3 3 ( )
0
42 5
x f x dx=
0
I =∫ f x dx bằng
A 5
3
7
Lời giải
3
' 4
du f x dx
u f x
x
=
=
x f x dx= f x − f x dx′
4
81 3
45
f x dx′ x f x dx′
Ta chọn k sao cho: 3 ( ) 4 2 3 ( ) 2 3 ( ) 4 23 8
2
f x′ kx dx f x′ dx k f x x dx k′ x dx
0
2.9 2187 0
x
Ví dụ 5: [Đề tham khảo Bộ Giáo Dục và Đào Tạo 2018] Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên( )
đoạn [ ]0;1 thỏa mãn f ( )1 =0, 1 ( ) 2
0
7
f x′ dx=
0
1 3
x f x dx=
∫ Tích phân 1 ( )
0
f x dx
A 7
7
Lời giải
3
′
0
3x f x dx x f x= − x f x dx ′
Suy ra ( ) 1 3 ( ) 1 3 ( ) 1 3 ( )
I = f −∫x f x dx′ ⇒∫x f x dx′ = − ⇔∫ x f x dx′ = − Mà
1 6
0
49x dx=7
∫ suy ra
2
f x′ dx+ x f x dx′ + x dx= ⇔ f x′ + x dx=
4
f x′ + x = ⇒ f x = − x +C
Mà lại có: ( ) ( ) ( 4) 1 ( )
0
f = ⇒ f x = −x ⇒∫ f x dx= Chọn A.
Trang 8BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Với u và v là các hàm số xác định và liên tục trên đoạn [ ]a b Công thức biểu diễn tích phân; từng phần được cho bởi công thức nào sau đây?
A
b
a
udv uv= − udv
b a
udv uv= − vdu
C
b
a
udv uv= + udv
b a
udv uv= − vdu
Câu 2: Cho tích phân
3
2 ln
I =∫ xdx , biểu thức nào sau đây thể hiện đúng cách tính I theo công thức tích
phân từng phần
2 2 ln
2 2 ln
I = x x +∫xdx
2 2
2 2
I = x x +∫ xdx
Câu 3: Khi tính tích phân sin 2
b
a
∫ thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng phần?
A u sin 2x
dv xdx
=
=
u x
=
=
sin 2
dv x
=
=
u x
=
=
Câu 4: Khi tính tích phân ln
b
a
x xdx
∫ thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng phần?
A
ln
u x
dv xdx
=
=
ln
dv x
=
=
ln
dv xdx
=
=
u x
=
=
Câu 5: Khi tính tích phân sin 2
b
a
∫ thì cách đặt nào sau đây phù hợp với phương pháp tích phân từng phần?
A
sin
u x
=
=
sin 2
dv xdx
=
=
sin 2
v x
=
=
u x
=
=
Câu 6: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân 2
0 2
xcos xdx
π
∫
sin 2 cos 2
I
sin 2 cos 2
I
Trang 9C 2 2
sin 2 cos 2
I
sin 2 cos 2
4
I x
Câu 7: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân 2
0 sin 2
π
=∫
1
2 sin 2
x
1
2 sin 2
x
1
2 sin 2
x
1
2 sin 2
x
Câu 8: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng khi nói về tích phân 4
2 0
x dx cos x
π
∫
tan ln cos
tan ln cos
tan ln cos
tan ln cos
I = − x x π − x π
Câu 9: Cho tích phân 2
1 ln
e
I =∫x xdx Mệnh đề nào dưới đây đúng?
1 1
1
2
e e
1
e e
I =x x +∫x xdx
1
e e
1 1
1
2
e e
x x −∫x xdx
Câu 10: Cho tích phân 4( )
0
1 sin 2
π
−
∫ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
0 0
1
2
π π
0
π
π π
π π
Câu 11: Cho tích phân 2( )
0
2 x sinxdx
π
−
∫ và đặt u= −2 x dv, =sinxdx Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?
0 0 2
π π
0 0 2
π π
Trang 10C ( ) 2 2
0 0 2
π π
0 0 2
π π
Câu 12: Biết rằng 1 ( )
0
ln x+1 dx a= +lnb
∫ với ,a b là các số nguyên Tính (a+3)b
1 9
1
1 ln
e
a c
b d
b và
c
d là hai phân số tối giản Tính
a c
b d+
A 3
5
1
5 2
Câu 14: Biết 2( ) 2
0
3 1
x
x− e dx a be= +
∫ với ,a b là các số nguyên Tính S a b= +
1
x ln
e
b và
c
d là hai phân số tối giản Tính
a c
b d+
9
a c
9
a c
3
a c
3
a c
b d+ = −
0
4 1 ln
e
x + x dx ae= +b
∫ với ,a b là các số nguyên Tính M =ab+4(a b+ )
Câu 17: Biết
2
2 1
ln
ln 2
x = +c
∫ với a∈¡ và c
d là hai phân số tối giản Tính 2a+ +3b c
Câu 18: Biết 4
2 0
1
ln 4
x dx
π
π
= +
∫ với ,a b là các số thực khác 0 Tính P a b= +
Câu 19: Biết
1
0
b d
= +
b và
c
d là hai phân số tối giản Tính
a c
b d+
A 3
3
5
7 2
Câu 20: Biết 1 ( 2)
0
x ln 1 x dx a cln 2
b
∫ với , ,a b c∈¡ và a
b là phân số tối giản
Trang 11Câu 21: Biết 1 ( )
0
ln 3x+1 dx a= ln 2+b
∫ với ,a b∈¤ Tính S=3a b−
Câu 22: Biết 3
2 0
ln 2
x
dx a cos x
π
= π −
∫ với a∈¡ Hỏi phần nguyên của a−1 là bao nhiêu?
Câu 23: Biết
2
2
4
ln 2 sin
x
x
π
π
= π +
∫ với ,m n∈¡ Tính P=2m n+
Câu 24: Biết 2 ( )
1
ln x+1 dx a= ln 3+bln 2+c
∫ với , ,a b c∈¢ Tính S a b c= + +
Câu 25: Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn 1( ) ( )
0
x+ f x dx′ =
∫ và 2f ( )1 − f ( )0 =2 Tính 1 ( )
0
f x dx
∫
Câu 26: Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn f ( )1 =1 và 1 ( )
0
1 3
f t dt=
0 sin 2 x f sinx dx
π
′
∫
3
3
3
3
I = −
Câu 27: Cho hàm số f x có nguyên hàm là ( ) F x trên đoạn ( ) [ ]1; 2 , F( )2 =1 và 2 ( )
1
5
F x dx=
( ) ( )
2
1
1
x− f x dx
∫
Câu 28: Cho hàm số f x có đạo hàm trên ( ) [ ]1; 2 thỏa mãn f ( )1 =0, f ( )2 =2 và 2 ( )
1
1
f x dx=
( )
2
1
x f x dx′
∫
Câu 29: Cho f x liên tục trên ¡ và ( ) ( ) 2 ( )
0
f = ∫ f x dx= Tính 1 ( )
0 2
x f′ x dx
∫
Trang 12Câu 30: Giả sử hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;1 và thỏa mãn điều kiện
( ) 1 ( )
0
f = ∫x f x dx′ = Tính 1 ( )
0
I =∫ f x dx
Câu 31: Cho hàm số f x thỏa mãn ( ) 1 2 ( )
0
12
x f′′ x dx=
∫ và 2f ( )1 − f′( )1 = −2 Tính 1 ( )
0
I =∫ f x dx
Câu 32: Cho hàm số f x thỏa mãn ( ) 3 ( ) ( )
1
x f x e′ dx=
∫ và f ( )3 =ln 3 Tính ( )
3
0
f x
I =∫e dx
A I =1 B I =11 C I = −8 ln 3 D I = +8 ln 3
Câu 33: Cho hàm số ( )
2
0
x
G x =∫cos tdt Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?
A G x′( ) =2xcos x B G x′( ) =2 cosx x C G x′( ) =xcosx D G x′( ) =2 sinx x
Câu 34: Cho hàm số f x thỏa mãn ( ) 2 ( )
0
3
f x dx=
∫ và f ( )2 =2 Tính 4 ( )
0
I =∫ f′ x dx
Câu 35: Cho hàm số f x thỏa mãn ( ) ( ) 4
b
a
x f′′ x dx=
∫ và ,a b là các số thực dương, đồng thời
( ) 2; ( ) 3
f a′ = − f b′ = và f a( ) = f b( ) Tìm giá trị nhỏ nhất của
P
A min 23
20
391
2
P=
Câu 36: Cho hàm số f x thỏa mãn ( ) 2 ( ) ( )
1
f x′ f x dx =
∫ và f ( )1 =1,f ( )2 >1 Tính f ( )2
A f ( )2 =2 B f ( )2 =3 C f ( )2 =e D f ( )2 =e2
Câu 37: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0; 2 thỏa mãn f ( )2 =3, 2 ( ) 2
0
2 7
f x′ dx=
∫
và 2 2 ( )
0
152 21
x f x dx=
0
I =∫ f x dx bằng
5
5
5
I =
Trang 13Câu 38: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;3 thỏa mãn f ( )3 =6, 3 ( ) 2
0
3
f x′ dx=
∫
và 3 3 ( )
0
567 4
x f x dx=
0
I =∫ f x dx bằng
A 2
45
5
Câu 39: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0;1 thỏa mãn f ( )1 =1, 1 ( ) 2
0
1 5
f x′ dx=
( )
1
0
2
5
x f x dx=
∫ Tích phân 1 ( )
0
I =∫ f x dx bằng
4
9
4
5
I =
Câu 40: Cho hàm số f x có đạo hàm, liên tục trên đoạn ( ) [ ]0; 2 thỏa mãn f ( )2 =7, 2 ( ) 2
0
14
f x′ dx=
∫
và 2 2 ( )
0
40 3
x f x dx=
0
I =∫ f x dx bằng
A 19
5
5
5
5
I =
Trang 14LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có
b a
udv uv= − vdu
I =∫ xdx x= x −∫xd x =x x −∫dx Chọn A.
Câu 3: Đặt
sin 2
u x
=
=
Câu 4: Đặt u lnx
dv xdx
=
=
Chọn C.
Câu 5: Đặt
sin 2
u x
=
=
0
x
x
cos x
π
0
0
2 x sinxdx x 2 d cosx x 2 cosx cosxdx
π
1 0
dv dx
1 0
ln 2 x ln x 1 1 ln 4
= − + = − + Do đó suy ra a= −1,b= ⇒4 (a+3)b =24 =16 Chọn C.
e
x+ xdx= xd x + x = x + x x − x+ dx=
1
2
e
,
Trang 15Câu 14: ( ) ( ) ( )
1 2
10e 2 12e 12 14 2e a 14,b 2 a b 12
b = d = ⇒ + =b d Chọn C.
x + x dx= + x d x = x + x − xdx= e − −x
( )
4e 2 e 1 3e 1 a 3;b 1 M ab 4 a b 5
Câu 17:
Do đó suy ra 1, 1, 2 2 3 4
2
a= − b= c= ⇒ a+ + =b c Chọn A.
x
cos x
π
Do đó suy ra a=4,b= − ⇒ = + =4 P a b 0 Chọn C.
3
b = d = ⇒ + =b d Chọn A.
1
2
0
0 0
3
ln 3 1
dx du
x
=
=
∫
8 8
3
1
a
b
=
= −
Chọn D.
3 0
2
cos 3
u x
dx
dv cos x
π
=
Trang 163 0
π
= π + = π + = π − ⇒ = ⇒ phần nguyên của a−1 là 1− Chọn D.
2 4 2
sin cos
cot cos
cot
x
π π
−
2
4
π π
Do đó P=2m n+ =1Chọn A
2 1 1
ln 1
1 ln 1 1
1
dx
x
3ln 3 2ln 2 1 a 3;b 2;c 1 S a b c 0
1
0
x+ f x dx′ = +x f x − f x dx
( ) ( ) ( ) ( )
10 2f 1 f 0 I I 2f 1 f 0 10 2 10 8
Câu 26: Ta có 1 ( ) 1 ( )
1 3
f x dx= f t dt=
sin 2 x f sinx dx 2 sin cosx.x f sinx dx 2 sin x f sinx d sinx
sin
u x
u f u du x f x dx I
1 1 0 0
1 2
3 3
dv f x dx v f x
0
4 sin 2 sin
3
x f x dx
π
Câu 27: Theo giả thiết ta có F x′( ) = f x( )
2 2 1 1
1
dv f x dx v F x
dv f x dx v f x
( ) 2 2 ( ) ( ) ( )
1 1
Trang 17Câu 29: 1 ( ) 1 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 ( )
t x
I =∫x f′ x dx= ∫ x f′ x d x = → ∫t f t dt′ = ∫x f x dx′
dv f x dx v f x
1
.16 1 7
2
= − = Chọn D.
Câu 30: Đặt
1 0
dv f x dx v f x
Suy ra ( ) 1 ( )
0
I = f −∫x f x dx′ = − = Chọn A.
Câu 31: Đặt
1
0
2
du xdx
u x
x f x dx x f x x f x dx
v f x
dv f x dx
=
1 12
2
f
Đặt
1 0
2
du xdx
u x
v f x
dv f x dx
=
2 12
5
2
− +
= = Chọn D.
Câu 32: Ta có f x( ) f x( ) ( )
Đặt
( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 ( )
0
( ) 3 ln3
8 3e f 3e I 9 I I 1
Câu 33: Giả sử F t( ) =∫cos tdt⇒F t′( ) =cos t
0
x
G x = cos tdt F x= −F ⇒G x′ =F x ′ = x F x′
∫
2
2 x cos x 2xcos x
Câu 34: Đặt t= x ⇔ = ⇔t2 x dx=2tdt và 0 1
= → =
= → =
Do đó 2 ( )
0
2
I =∫ t f t dt′ Đặt ( ) ( )
dv f t dt v f t
Trang 18( )2 2 ( ) ( ) 2 ( )
0
2
I
b a
x f x dx x f x f x dx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ta có ( ) ( )2 2 2 2 ( )2 2
2
P
+
+ + + + + + + Vậy minP=2 Chọn B.
Câu 36: Ta có ( )
( )
( ) ( ) ( )
f x
dv f x dx
v f x
′
′
=
Suy ra 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( )
1
I =∫ f x′ f x dx = f x f x −∫ f x dx′
( )2 ln ( )2 ( )1 ln ( )1 ( )2 ( )1 ( )2 ln ( )2 ( )2 1
Mà I = →1 f ( )2 lnf ( )2 − f ( )2 = ⇔0 f ( )2 =e Chọn C.
2
3
du f x dx
u f x
x
′
=
=
x f x dx= f x − f x dx′
Suy ra ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( )
x
Ta chọn k sao cho: 2 ( ) 3 2 2 ( ) 2 2 ( ) 3 22 6
f x′ kx dx f x′ dx k f x x dx k′ x dx
1
3
0
∫
0
2 3
x
3
4
du f x dx
u f x
x
′
=
=
x f x dx= f x − f x dx′
4
81 3 567
f x dx′ x f x dx′
Ta có: 3 ( ) 4 2 3 ( ) 2 3 ( ) 4 23 8
2
f x′ kx dx f x′ dx k f x x dx k′ x dx
0
3 2.81 2187 0
x
Trang 19Chọn B.
2
du f x dx
u f x
x
′
=
=
1
x f x dx= f x − f x dx′
Suy ra ( ) 1 2 ( ) 1 ( )
2
1
f x dx′ x f x dx′
Ta chọn k sao cho: 1 ( ) 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 21 4
f x′ kx dx f x′ dx k f x x dx k′ x dx
1
0
1 2
0
1 1
x
2
3
du f x dx
u f x
x
′
=
=
x f x dx= f x − f x dx′
Suy ra ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( )
40 8
x
Ta chọn k sao cho: 2 ( ) 3 2 2 ( ) 2 2 ( ) 3 22 6
f x′ kx dx f x′ dx k f x x dx k′ x dx
1
3
0
∫
0
2 7
x