TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Đặt t = hàm theo biến x Lưu ý các đặc điểm sau Trong tích phân có chứa căn thức thì nên định hướng đặt căn thức là t Trong tích phân có
Trang 1TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Đặt t = hàm theo biến x
Lưu ý các đặc điểm sau
Trong tích phân có chứa căn thức thì nên định hướng đặt căn thức là t
Trong tích phân có chứa hàm mũ thì nên định hướng đặt hàm mũ là t
Trong tích phân có chứa hàm logarit thì nên định hướng đặt hàm logarit là t
DẠNG 2 Đặt x = hàm theo biến t
Loại 1: Nếu f x có chứa a2 x2 ta đặt sin ;
2 2
Loại 2: Dạng x2 a2 thì đổi biến số tan , ;
2 2
Loại 3: Dạng x2 a2 thì ta đặt
sin
a x
t
(hoặc
cos
a x
t
Loại 4: Dạng 2dx 2
thì ta đặt x a tan t
Loại 5: Nếu f x có chứa a x
a x
thì đặt
2 2
Một số kết quả quan trọng NÊN NHỚ khi giải trắc nghiệm:
ln 2
C
dx
a
BÀI TẬP
Dạng 1: Đổi biến số với các hàm hữu tỉ
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
1) 1 2 3 5
0
1 dx
I x x 2)
2 4 1
1 dx.
1
I
x x
0
Trang 2
4)
1
2
0
1
dx 1
I
x
5)
3 2 1
1 dx
I
6)
5 2 2 1 2
1
dx
I
7)
3
4
2
2
d
1
x
x
8)
2 2 3 1
d
x x
9)
1
2 2021 0
d
x
x
Dạng 2: Đổi biến số với các hàm vô tỉ
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
1)
4
0
dx
I
x
2)
9 3 1
I x xdx 3)
1
2 0
2 4
x
4)
3
3
1
2
xdx
I
2x 2
5) 2 2 2
3
1 x
x
6) 2 3
2 5
dx J
7)
3
3
0
I x 1.x dx 8) 6 1 3
2 0
x dx I
9)
2 5
2
xdx I
10) 9 2 2
1
x
11)
2 3 3 0
d
x
x
12)
2 5
2
xdx I
Ví dụ 3: Cho
55 16
9
dx
với a b c, , là các số hữu tỷ Tìm a b c, ,
Ví dụ 4: Cho
6 2
dx
với a b c, , là các số hữu tỷ, tính A a 4b12 c
Dạng 3: Đổi biến số với các hàm lượng giác
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau
1)
2
0
sin 2x
2 sin x
2) 2 2
0
sin 2x sin x
1 3cos x
3) 2 2
0
cos 3x
sin x 1
4) 9 2
4
sin x cosx
1 sin 2x
5) 1 3 3
0
sin x
cos x 2
6) 1 6 4
0
tan x
cos 2x
Trang 3TRẮC NGHIỆM
Câu 29: Biết
2
1
b
với a b c, , nguyên dương Tính a b 2c3 A 37 B 11 C 45 D 27
Câu 30: Biết
1
1
6 3
3
b xdx a
với a b, nguyên dương Tính a2 b A 31 B 18 C 12 D 24
Câu 31: Biết
1
0
1
1
a
với a b , Tính tổng a b A 28 B 30 C 32 D 36
Câu 33: Biết
2
dx
a b a
với a b , là các số nguyên dương Tính giá trị của biểu thức P b a
Câu 35: Biết
6
dx
Câu 36: Biết
0
x
với a b, nguyên dương Tính T a22b1
Câu 37: Biết
4
1
1
b là phân số tối giản Tính tổng a b . A 14 B 3 C 17 D 20
Câu 38: Tính tích phân
2 2 1
I x x dx bằng cách đặt u x 2 1, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A
3
1
2 1
3 0
2 1
1
2
Câu 39: Cho
2
2 1
4
I x x dx và t 4 x2. Khẳng định nào sau đây sai?
2 3 0
2
t
3 2 0
.
3 3 0
3
t
I
Câu 40: Cho tích phân
3
1 2
dx I
và đặt t 2x3, ta được
3 2 2
m
với m n, là những số nguyên Tính T 3 m n A T 7. B T 2. C T 4. D T 5.
Trang 4Câu 42: Cho
3
x
x
và đặt t x 1 Khẳng định nào sau đây đúng?
A 2 2
1
1
1
1
I t t dt
Câu 43: Cho
2 0
sin 2
1 cos
x
x
và đặt t 1 cos x Khẳng định nào sau đây đúng?
A
1 3
2
.
t
1 3
2
.
t
1
1
I t dt
Câu 45: Cho
1 3 0
1
I xdx và đặt t 31 x Khẳng định nào sau đây đúng?
A
1
0
1 3 0
1 2 0
1 3 0
I t dt
2 0
và đặt t cos 2 x Khẳng định nào đúng?
A
1
4
0
1
2
1 2 3 0
1 2
1 5 0
2 2 4 0
I t dt
Câu 47: Cho
2 2 1
I x x dx và đặt ux21 Tìm khẳng định sai?
A
2
1
27
3
3 0
3 0
2
3
Câu 49: Cho 210
1
I x x dx và đặt u 1 x2 Khẳng định nào sau đây đúng?
A I 2u du10 B I 2u du10 C 1 10
2
2
I u du Câu 52: Biết
5
1
dx
với a b, Tính a2ab3 b2 A 4 B 5 C 1 D 0 Câu 53: Biết
4
0
ln 3
với a b, Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A a b 3. B a b 3. C a b 5. D a b 5.