Chủ đề 8 bài toán pt và bất pt có tham số

CHỦ ĐỀ 8 BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ 1 Bài toán 1 Tìm tham số m để có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên miền D Bước 1 Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng Bước 2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số để đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị hàm số Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 1 ( Hàm số có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D thì giá trị cần tìm để phương trình có nghiệm thỏa mãn ( Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để.

CHỦ ĐỀ 8: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

1 Bài toán 1 Tìm tham số m để f x m ;  0 có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên miền D.

- Bước 1 Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f x P m  

- Bước 2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số f x trên D. 

- Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số P m để đường thẳng   y P m nằm  

ngang cắt đồ thị hàm số yf x  

Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 1

 Hàm số yf x có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D thì giá trị   P m cần tìm để phương trình 

có nghiệm thỏa mãn min     max  

2 Bài toán 2 Tìm tham số m để f x m ; 0 hoặc f x m ; 0 có nghiệm trên D.

- Bước 1 Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f x P m hoặc   f x P m 

- Bước 2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số f x trên D. 

- Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số P m để bất phương trình có nghiệm: 

 P m  f x có nghiệm trên D     max  

Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 2

 Bất phương trình P m f x nghiệm đúng     min  

 Nếu f x m ;   0; x ¡ hoặc f x m ;    0; x ¡ với f x m là tam thức bậc hai, ta sẽ sử dụng dấu ; 

của tam thức bậc hai

3 Một số phương pháp áp dụng trong bài toán

a) Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt  

 u x

t a hoặc tloga u x , tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm được 

miền xác định của biến t.

b) Phương pháp hàm số: Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng f u f v với   f t là hàm 

số đơn điệu và đại diện cho hai vế của phương trình Khi đó f u  f v  u v 

c) Dấu của tam thức bậc hai: Xét hàm số   2

x x a

 Phương trình f x  0 có hai nghiệm dương phân biệt 1 2

1 2

000

Kết hợp với   m ¢ có 2 giá trị nguyên m cần tìm Chọn A.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc 10;10 để phương trình 4  1 2  2 0

Để phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm t0.

Cách 1 Xét hàm f t  t2 2t với t0

Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được m 1 m1 Chọn C.

Cách 2 Yêu cầu bài toán  phương trình (2) có hai nghiệm t t thỏa mãn 1, 2 1 2

00

Với mỗi nghiệm t0 của phương trình (*) sẽ tương ứng với một nghiệm x của phương trình ban đầu Do

đó, yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt

Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x 2 2m x2m0 có hai nghiệm phânbiệt x x thỏa mãn 1, 2 x1x2 3.

Lời giải

Đặt t2x0 nên phương trình đã cho trở thành: t2 2mt2m0 (*)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt  (*) có hai nghiệm dương phân biệt t t 1, 2

t t m suy ra m4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy m4 là giá trị duy nhất cần tìm Chọn D.

Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 6x3 m2x m0 cónghiệm thuộc khoảng 0;1 

Suy ra hàm số f x đồng biến trên , do đó   ℝ, do đó f  0  f x  f  1  2 f x 4.

Vậy để phương trình mf x có nghiệm khi và chỉ khi   2m4 Chọn C.

Ví dụ 7: Cho phương trình 32 2  3  9 32   2 32  2 

x x m x x x x m Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

thuộc 10;10 để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt?

0; 10

Vì m¢ và m  10;10   có 12 giá trị nguyên của m cần tìm Chọn A.

Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá của tham số thực m để phương trình 9 2 2.32  1 3 1 0

Suy ra số nguyên dương m lớn nhất là m6 Chọn D.

Cách CASIO Cô lập m ta được

Sử dụng MODE7 khảo sát hàm f x với thiết lập Start   1, End 1, Step 0, 2

Quan sát bảng giá trị ta thấy    5 16

Ví dụ 10: Cho phương trình m1 16 x 2 2 m 3 4 x6m 5 0 với m là tham số thực Tập tất cả các

giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng a b Tính ;  P ab

Kết hợp với m¢ và m  10;10   có 16 giá trị nguyên m cần tìm Chọn C.

Ví dụ 12: Cho phương trình .sin  cos 2 1 cos    2 cos sin

e e x m x với m là tham số thực Có bao nhiêu

giá trị nguyên của tham số m  10;10 để phương trình đã cho có nghiệm?

Kết hợp với m¢ và m  10;10   có 9 + 9 = 18 giá trị nguyên cần tìm Chọn B.

Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m nhỏ hơn 10 sao cho phương trình

Kết hợp với m¢ và m10  có 10 giá trị nguyên m cần tìm Chọn D.

Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình  2 4 2 1

Ví dụ 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

2 1 2 32

Kết hợp với   m ¢ có 6 giá trị nguyên m cần tìm Chọn C.

Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  10;10 để bất phương trình 9x m.3x m 3 0 nghiệmđúng với mọi x¡ ?

Suy ra f t là hàm số đồng biến trên   0;  min f t  3.

Yêu cầu bài toán min0;    3

tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

Dựa vào BBT, để mf x có nghiệm thuộc   3;1  f 3 m f  1  6m18.

Kết hợp với m nguyên dương   có 17 giá trị cần tìm Chọn A.

Ví dụ 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  10;10 để phương trình logmx 2logx1 có nghiệm

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất 4

Kết hợp với m¢ và m  10;10   có 11 giá trị m nguyên Chọn A.

Ví dụ 22: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để   2

Phương trình đã cho được viết lại thành:  

1  x 3 4x  2x  5 8 log 4 log x  2x5 log 8 2 t 3.

Xét hàm số f t trên khoảng   2;3 , để  mf t có 2 nghiệm phân biệt   25 6

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình f x m có 2 nghiệm  m 1

Kết hợp với m¢ và m  10;10   có 11 giá trị m nguyên Chọn C.

1 2

2log mx 6x 2log 14x 29x 2 0 có ba nghiệm thực phân biệt khi và

chỉ khi ma b Tính ;  P a  2b

Lời giải

 x  x m  x   x  x m  có hai nghiệm trái dấu 1 3  m  0 m3.

Kết hợp với m¢ và m  2018; 2018   có 2015 giá trị nguyên m cần tìm Chọn D.

Ví dụ 26: Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

Điều kiện: m2 Phương trình đã cho  log42 22 log2  2

Dựa vào BBT, yêu cầu bài toán  mf t có nghiệm duy nhất   t 0 m2 Chọn B.

Ví dụ 28: Gọi m là giá trị thực nhỏ nhất của tham số m sao cho phương trình0

5 11

Dựa vào BBT, ta thấy phương trình có nghiệm 0

Xét hàm số   2

1log

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm  m0 Chọn A.

Ví dụ 30: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình 2

ln  ln  5 0

a x b x có hai nghiệm phânbiệt x x và phương trình 1, 2 5log2x b logx a 0 có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 3, 4 x x1 2 x x 3 4Tìm giá trị nhỏ nhất Smin của S 2a3b

A Smin 30 B Smin 25 C Smin 33 D Smin 17

Lời giải

Phương trình

2 2

Vậy Smin 2amin3bmin 2.3 3.8 30  Chọn A.

Ví dụ 31: Cho phương trình 5xmlog5x m với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của 

Dựa vào bảng biến thiên  Phương trình có nghiệm khi m g  log ln 55  0,92.

Kết hợp với m¢ và m  20; 20   có 19 giá trị nguyên m cần tìm Chọn B.

Ví dụ 32: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  10;10 để bất phương trình 2

4log xlog x m 0nghiệm đúng với mọi x1;64?

Lời giải

Bất phương trình  4 log 2 x2log2x m  0 log2x2log2 x m 0 (*)

Đặt tlog2 x với x1;64  t 0;6, khi đó (*)   2  

 mf t t  t t  Xét hàm số   2

¢

có 11 giá trị nguyên cần tìm Chọn A.

Ví dụ 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  10;10 để bất phương trình

Kết hợp với m¢ và m  10;10   có 10 giá trị nguyên m cần tìm Chọn D

Ví dụ 34: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để bất phương trình ln 2 x23lnx2ax1 nghiệm đúng

1 log x 1 log mx 4x m Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số m để bất phương trình luôn đúng với mọi x¡

Lời giải

1 log x 1 log mx 4x m log 5x 5 log mx 4x m

Yêu cầu bài toán

Câu 12: Tìm m để log22x m log2x2m 6 0 có hai nghiệm x x thỏa 1, 2 x x1 2 16

Câu 25: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình 5.16x 2.81x m2.36x có nghiệmdương?

thực phân biệt là T a b , trong đó a, b là các số nguyên hoặc phân số tối giản Giá trị của ;  M  a b

Câu 31: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 9 3  1 0

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Phương trình có nghiệm thực  m0 Chọn C.

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì m0 và m1 Chọn C.

Câu 19: Điều kiện: x3

Câu 21: Điều kiện: x1

Ta có log 2x1 log2mx 8 log2x12log2mx 8

Chọn A

Câu 22: Điều kiện: x2

Ta có log 2018x 2 log2018mx  log2018x 22 log2018mx

m (không thỏa mãn)

 Trường hợp 2  

2 1

00

m x

Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt   m2 2m 7  m12 6 0,m

Với m¡ , phương trình (*) có hai nghiệm 1 3 1 1 2 3 1 3 2

Phương trình đã cho có 2 nghiệm x x khi 1, 2   9 4 2 m 7  0 37 8 m0 (*)

Khi đó theo định lý Vi-ét ta có: 1 2 3 1 3 2

Câu 29: Đặt t2xt0 khi đó phương trình trở thành: t2 mt2m 5 0

Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt khi

2 4 2 5 0

50

Để PT đã cho có nghiệm thuộc khoảng 0;1  4m18.

Kết hợp m¢ có 13 giá trị của tham số m Chọn C.

Câu 32: Đặt 3m3sinx a ;sinx b ta có: 

3 3

3 3

33

Vậy f b  f  1 ; f 1   2; 2 Do đó PT đã cho có nghiệm  m  2; 2

Kết hợp m¢ có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn Chọn C.

Để phương trình có nghiệm thì m1;e1

Do đó giá trị lớn nhất của m để phương trình đã cho có nghiệm là e1 Chọn B.

Câu 34: Bất phương trình đã cho  2   2 

2

2 2

 Với x2 ax 2 0; x ¡    a2 8 0  2 2a2 2.

Vậy a  2; 2 là giá trị cần tìm Chọn D.

1 log x 1 log mx 2x m  log 6x 6 log mx 2x m

Yêu cầu bài toán

2 2

4log x 2log x3m 2 0  log x  2log x 2 3m (*)

Đặt tlog2 x , khi đó (*) t2 2t 2 3m 3mmint2 2t 2

Vậy tổng tất cả giá trị tham số m cần tìm là m28 Chọn C.

Câu 42: Phương trình  2log3x2 2 logm 3x  1 0 4 log 3x2 2 logm 3x 1 0 (*)Đặt tlog3x , với 0x 1 t0, khi đó (*) 2 1

4t  2mt  1 0 2m4t

t .

Do đó (**)  m1 Với m1 thỏa mãn bài toán Vậy m1 Chọn B.

Câu 45: Bất phương trình  log 52 1 1 log 5   2 1 

Đặt tlog 52 x1, với x 1 5x  1 4 tlog 4 22 

Khi đó (*)  t1t m mf t  t2 t Ycbt  mmin2; f t   (**)

Câu 47: Bất phương trình  log2 x2 6 log2x 7mlog2x 7 (*)

Đặt tlog2 x , với x256 tlog 256 82  , khi đó (*)  t2 6t 7 m t  7

2 2

Yêu cầu bài toán

     

2 8;

Chọn C.

Câu 49: Điều kiện: 0x1

Bất phương trình  log  log  2  1  1 

31

31

¢

có 7 giá trị nguyên m Chọn B.