Chủ đề 7 các CÔNG THỨC cơ bản về TÍCH PHÂN

CHỦ ĐỀ 7 CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Khái niệm hình thang cong Cho hàm số liên tục, không đổi dấu trên đoạn Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng được gọi là hình thang cong 2 Tích phân là gì? Định nghĩa Cho là hàm số liên tục trên đoạn Giả sử là một nguyên hàm của trên đoạn Hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn ) của hàm số , kí hiệu là Ta còn dùng kí hiệu để chỉ hiệu số Vậy Ta gọi là dấu tích.

CHỦ ĐỀ 7: CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Khái niệm hình thang cong

Cho hàm số y f x( ) liên tục, không đổi dấu trên đoạn  a b Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm;

số y f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x a x b ,  được gọi là hình thang cong.

2 Tích phân là gì?

Định nghĩa: Cho ( )f x là hàm số liên tục trên đoạn  a b Giả sử F( ); x là một nguyên hàm của ( ) f x trên

đoạn  a b Hiệu số ; F b F a  được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn

 a b ) của hàm số ( ); f x , kí hiệu là b  

a

f x dx

Ta còn dùng kí hiệu   b

a

F x để chỉ hiệu số F b F a 

Vậy b     b    

a a

f x dxF x F b F a

�

Ta gọi

b

a

�là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân và ( )  f x là

hàm số dưới dấu tích phân

 Chú ý: Trong trường hợp a b hoặc a b , ta quy ước �a   0

a

f x dx ;b   a  

a b

f x dx  f x dx

 Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi b  

a

f x dx

� hay b  

a

f t dt

� Tích phân

đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.

Tức là: b   b   b  

a a a

f x dx f t dt f u du

 Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số ( )f x liên tục và không âm trên đoạn  a b , thì tích phân ; b  

a

f x dx

� là diện tích S của hình

thang cong giới hạn bởi đồ thị của ( )f x , trục Ox và hai đường thẳng x a x b , 

Vậy b  

a

S �f x dx

- Tính chất 1: b   b  

a a

kf x dx k f x dx

� � (với k là hằng số)

- Tính chất 2: b     b   b  

f x g x dx f x dx g x dx

- Tính chất 3: b   c   b    

a a c

f x dx f x dx f x dx a c b 

Chú ý: Mở rộng của tính chất 3.

1

n

c c

n

a a c c

f x dx f x dx f x dx f x dx a c    c c b

II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ví dụ 1: Tích các tích phân sau:

A

1

2 0

2

I �x x dx B

2 2 2 1

3 1





�x x

0

x

I �x e  dx D 2

0

sin

1 cos







x

Lời giải

a) 1 2  2 1 2 12 2  232 1

I   � x d x   �x d x   x

0

2



2 2

3



3 1

x

x x e e

e



�

2 0

d cos sin

ln 1 cos ln 2



Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

A

2

dx

I



0

1

x x

I  �e e  dx

C

3

2

0

1

2 0

I �x x x  dx

Lời giải

3

2 2

b)        

ln 2 3

0

x

x x x x e

2

0

I  x x x  dx x dx x x  dx��x  x  ��

Ví dụ 3: Biết rằng

3 2 2

ln 2 ln 3 1

x



� , trong đó ,a b�� Tính giá trị của biểu thức S 4ab a b 

2

2

S

Lời giải

3 2

3 1

1

2

a

d x x

b

� 

�

Suy ra 4.3 3 1 5

4 2 2

S    Chọn A.

Ví dụ 4: Biết F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên đoạn    a b và ; 3F a  2 3F b 

Tính tích phân b  

a

I �f x dx

3

3

I  

Lời giải

Ta có: 3   2 3   3     2     2

3

F a   F b � �F b F a �  �F b F a  

Do đó b       23

a

I �f x dx F b F a   Chọn D.

Ví dụ 5: Cho các tích phân 2   5  

f x dx f t dt

2

f y dy

�

Lời giải

Ta có: 2   2   5   5  

Lại có: 2   5   5  

4 2 2

f y dy f y dy f y dy I

Ví dụ 6: Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên đoạn  1; 2 ; f  1   và 1 f  2 3

Tính tích phân 2  

1

2

I ���x f x dx � ��

2

Lời giải

1

I �xdx�f x dx x�   f  f    Chọn D.

Ví dụ 7: Cho 2  

0

5

f x dx





0

2sin



2

I  

C I 3 D I  5 

Lời giải

2

0



Ví dụ 8: Cho tích phân 2  

1

2

f x dx





� và 2  

1

1

g x dx



 

1



A 5

2

2

2

2

I 

Lời giải

 

2

2

1

x



         Chọn C.

Ví dụ 9: Biết

1 2 0

3 1

3ln

dx

� trong đó a, b là hai số nguyên dương và a

b là phân số tối giản.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải

Ta có:

1

2 2

x

Do đó a4;b3;c5�a b 5c Chọn C.

0

1

ln 2 ln 3 , , 2

x

x



� �

A 2a b c    7 B 2a b c   7 C 2a b c   5 D 2a b c   5

Lời giải

Ta có

1

2

x



2

1

0

6 ln 2 6ln 3 2

a b c a

x

dx

Ví dụ 11: Cho hàm số f x  a.sin x  biết rằng b   2  

0

f�  �f x dx Tính giá trị biểu thức P a b

Lời giải

Ta có f x  a.sin x b f x  a .cos  x f  1 a. 2 a 2



2

cos

x

a







Ví dụ 12: Cho hàm số f x luôn dương và có đạo hàm trên đoạn    1;2 Biết rằng 2  

1

3

f x dx� 

 

 

2

1

ln 2

f x

dx

f x

�



� Tính f  2

A f  2 3 B f  2 6 C f  2 4 D f  2 8

Lời giải

Ta có 2      

1

f x dx�  f  f 

Lại có  

2 1

2

1

Do đó  

2

1

f

Từ (1) và (2) suy ra f  2 6;f  1  Chọn B.3

Ví dụ 13: (Đề Minh họa Bộ Giáo dục và Đào tạo 2017) Biết

2

dx

c là các số nguyên dương Tính P a b c  

Lời giải

Ta có    

2

dx I



�

1

 

1

2

1

d x

x x

1

Vậy a b c  46 Chọn D.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Biết hàm số f x có đạo hàm   f x� liên tục trên �, thỏa mãn    0

2

f  và tích phân

 

0

2

f x dx





� Tính f  

A f    32

B f   2 C f   52

D f   3

Câu 2: Cho hàm số f x có đạo hàm   f x� liên tục trên � và   f  0   ,  2  

0

6

f x dx





 2

f 

A f  2 6 B f  2 7 C f  2 5 D f  2 0

Câu 3: Biết f x có đạo hàm liên tục trên � và có   f  0  Tính 1  

0

x

I �f x dt�

A I  f x  1 B I  f x 1 C I  f x  D I  f x 1

Câu 4: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số   f x Khi đó hiệu số   F 1 F 2 bằng

A 2  

1

f x dx

1

f x dx



2

F x dx



1

F x dx



�

Câu 5: (Đề thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2017) Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn    1;2 ,

 1 1

f  và f  2  Tính 2 2  

1

I �f x dx�

2

I 

Câu 6: Cho f x là hàm số có đạo hàm liên tục trên � và có  f  0  Tính 1  

0

x

I �f t dt�

A I  f x  1 B I  f x 1 C I  f x  D I  f x 1

Câu 7: Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn    1;3 thỏa mãn f  1  và 1 f  3  Tìm giá trị củam

tham số m để tích phân 3  

1

5

f x dx� 

�

Câu 8: Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn   2; 4 thỏa mãn f     và 2 4 f  4  Tính tích2

phân 4  

2



�

Câu 9: Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn   3;5 thỏa mãn f    và 3 1 f  5  Tính tích phân9

 

5

3

4



�

Câu 10: Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn    1;4 thỏa mãn f  1  và 1 4  

1

2

f x dx� 

� Tính giá trị của f  4 .

A f  4 2 B f  4 3 C  4 1

4

Câu 11: Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn    1;3 thỏa mãnf  3  và 5 3  

1

6

f x dx� 

� Tính giá trị của f  1 .

A f  1  1 B  1 1

11

f  C f  1  11 D f  1 10

Câu 12: Biết F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên đoạn    a b và ; 2F a  1 2F b  Tính

tích phân b  

a

I �f x dx

2

2

I 

Câu 13: Cho hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên đoạn   1; 2 Biết rằng

 

2

1

1

f x dx





� và F    Tính 1 1 F 2

A F 2 2 B F 2 0 C F 2 3 D  2 1

3

Câu 14: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Cho tích phân 2  

1

2

f x dx





 

2

1

1

g x dx



 

1



A 5

2

2

2

2

I 

Câu 15: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 104) Cho tích phân 2  

0

5

f x dx





� Tính tích phân

 

2

0

2sin



2

I  

C I 3 D I  5 

Câu 16: Cho 3  

1

2

f x dx

� và 3  

1

1

g x dx

1

I ��� f x  g x dx��

A I 2017 B I 2016 C I 2019 D I 2018

Câu 17: Cho f x g x là hai hàm số liên tục trên � Chọn mệnh đề sai?   ,

A b   b  

a a

f x dx f y dy

f x g x dx f x dx g x dx

C   0

a

a

f x dx

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

Câu 18: Cho 4  

0

f x dx a





� Tính tích phân 4   2

2 0

cos

x





A I   a 2 B I  a 5 C I a D I  a 1

Câu 19: Biết f x là một hàm số liên tục trên � thỏa mãn   6   6  

�f x dx �f t dt Hãy tính tích

phân 2  

0

3

�

Câu 20: Cho 4  

2

10

f x dx

� và 4  

2

5

g x dx

� Tính tích phân 4    

2

I ���f x  g x dx��

Câu 21: Cho   2

b

a

f x dx

� và �b   3

c

g x dx với a b c  Tính tích phân c  

a

I �f x dx

Câu 22: Cho 5   5  

f x dx f t dt



1

1 3

g u du





1



A 8

3

3

3

3

I  

Câu 23: Cho các tích phân 2   4  

f x dx f t dt

2

I �f y dy

Câu 24: Biết 2  

0

5

f x dx





� Tính tích phân 2  

0

2sin



A I  5  B 5

2

I  

C I 7 D I 3

Câu 25: Cho 2  

4

2

f x dx





4

I e f x dx



A I 2e2 B I e 3 2 C I e 2 2 D I e 3

Câu 26: Cho 4  

1

10

f x dx





� và 4  

1

3

g x dx



 

1



Câu 27: Cho 2  

0

1

f x dx

0

x a

� với a, b là những số nguyên Khẳng định nào sau

đây đúng?

Câu 28: Cho hàm số f x xác định liên tục trên    0; 4 thỏa 4  

0

5

f x dx

� và 3  

0

3

f x dx

� Tính tích

phân 4  

3

I �f x dx

Câu 29: Cho hàm số f x xác định liên tục trên �có   5  

2

3

f x dx

� và7  

5

9

f x dx

 

7

2

I �f x dx

A I 3 B I 6 C I 12 D I  6

Câu 30: Cho f x liên tục trên � và   3  

1

2016

f x dx

4

2017

f x dx

1

I �f x dx

Câu 31: Biết 1 2 

0

n

� với ,m n�� và m

n là phân số tối giản Tính m n .

Câu 32: Để  

1

k

k x dx k 

� thì giá trị nguyên của k là bao nhiêu?

Câu 33: Có bao nhiêu số thực a thỏa mãn đẳng thức tích phân

2

a

x dx

�

Câu 34: Có hai giá trị của số thực a là a a a1, 2 1a2 thỏa mãn  

1

a

x dx

� Hãy tính

1 2

2a 2a log

A 13

2

Câu 35: Cho b a 2 Tính 2

b

a

I �xdx

A I   b a B I 2b a  C I  b a D I  2b a 

Câu 36: Tính tích phân  2 

0

b

I �x  ax dx với a, b là tham số.

A I 3b22ab B I b 3 b a b2  C I b 3 b D I  a 2

Câu 37: Giải phương trình 2 2  2

0

2

x

A x1 B x� 1;4 C x�0;� D x� 1;2

Câu 38: Cho bất phương trình  2   

0

x

t  t dt x x� 

� Tính tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:   0 2    0 2   5

2

f x    � f   f   � f   

Chọn C.

f x    � f   f  � f    Chọn C.

Câu 3: I  f x 0x  f x   f  0  f x   Chọn D.1

Câu 4:         1   2  

F x �f x dx�F F �f x dx �f x dx Chọn B.

Câu 5:   2    

I  f x  f  f  Chọn A.

Câu 6: I  f t 0x  f x  f  0  f x  Chọn D.1

Câu 7:   3    

f x  � f  f  �m  �m Chọn A.

Câu 8:   4    



Câu 9:   5    

3

Câu 10:   4      

f x  � f  f  � f  Chọn B.

Câu 11:   3      

f x  � f  f  � f   Chọn A.

Câu 12: Ta có I F b F a    Chọn C.12

Câu 13: Ta có F 2 F  1 1�F 2 0 Chọn B.

1

17 2.2 3 1

x

I



Câu 15: Ta có 2

0

I   x  Chọn A.

Câu 16: Ta có I 1008.2 2.1 2018  Chọn D.

Câu 17: Theo tính chất cơ bản của tích phân thì A, B, C đúng và D sai Chọn D.

Câu 18:  

4

2

0

5

cos

x





Câu 19: Tích phân không phụ thuộc vào biến

0

f x dx  �I  f x dx x  f x dx f x dx    

Câu 20: I 3.10 5.5 5  Chọn A.

Câu 21: Tích phân không phụ thuộc vào biến

Do đó   3     2 3 1

f x dx �I  f x dx f x dx   

Câu 22: Tích phân không phụ thuộc vào biến Do đó 5   4  

1 2;

3



5 2

Câu 23: Tích phân không phụ thuộc vào biến



2

0



5 2 7

Câu 25: 2 2   2 2   2 2

.2 2

 

4

1

3x 10 2 3 15 16 1

        Chọn D.

0

Do đó a2;b2�a b Chọn C.

Câu 28: 3   4   4   4  

5 3 2

f x dx f x dx f x dx�I  f x dx  

Câu 29: 7   5   7  

3 9 12

I �f x dx�f x dx�f x dx   Chọn C.

Câu 30: 4   3   4   3   3  

2016 2017 1

I �f x dx�f x dx�f x dx�f x dx�f x dx    Chọn C.

Câu 31: 1 2  3 2 1

2

x

1 1

k x dx k  � kx x  k  �   k k k 

�

3

k

k

 

�

Câu 33:

2

a a

x dx    �a  �a�

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn Chọn D.

Câu 34:    2  2

1 1

1

2

a



�

�

1 13

a a

b

b a a

I �xdx x  b a  b a b a  b a Chọn B.

0 0

I �x  ax dx x ax x  b ab b Chọn B Câu 37: ĐK: x0

Ta có  

2

2

t

�

2 2log x 2log 2 2log x 2

� �

� � (Đúng với mọi x2)

Do đó nghiệm của phương trình là: x�0;� Chọn C.

0 0

t  t dt x� � t  t  t �x

�

Với x0 ta có:  * ۣ����� �ۣ1 x 3  x� � x 1; 2;3 T 6

Chọn C.