Chuyên đề luyện thi đại học môn toán Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm54260

PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng.

Dạng 2 PP lượng giác hóa

Nếu hàm f(x) có chứa a2−x2 thì đặt

2 2 2 2 2

(a sin ) cos

a sin

sin cos



= →



Nếu hàm f(x) có chứa a2+x2 thì đặt

2

2 2 2 2 2

( tan )

cos tan

tan

cos





= →



adt

dx d a t

t

a

t MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:

Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) 1 2 ;( 2)

4

−

∫ dx

x

1

−

∫ x dx

x

Hướng dẫn giải:

2sin

2 cos

t



Từ phép đặt 2sin arcsin 1 arcsin

b) Đặt

(sin ) cos sin



= →



Từ

2

arcsin

=



2 2

arcsin 1

1

x

c) Đặt

(sin ) cos sin



= →



Khi đó,

2

1

t x

−

−

Từ

2

arcsin

=



2 3

arcsin 1

1

x

d) Đặt

(3sin ) 3cos 3sin



= →



Khi đó, 4 2 9 2 9sin 3cos 3cos2 81 sin cos2 2 81 sin 22 81 1 os4

Tài liệu bài giảng:

03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2

Thầy Đặng Việt Hùng

81 1 1 81 1

t

Từ

2 2

2

2 9

arcsin

3

x

x t







 

 Mặt khác,

Từ đó ta được

4

arcsin

x

 

Ví dụ 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) 1 2 ;( 1)

1

dx

x

+

4

x dx

x

+

∫

Hướng dẫn giải:

a) Đặt

2

1 tan

dt

t





+

 + = +



Từ giả thiết đặt x=tant⇔ =t arctanx→ =I1 arctanx+C

b) Ta có I2 =∫ x2+2x+5dx =∫ (x+1)2+4 (d x+ → =1) t x= +1 I ∫ t2+4dt

Đặt

2

2

2 (2 tan )

cos

2 tan

2

.cos

cos cos

du

u

u

u u







2

(sin ) 1 (1 sin ) (1 sin ) 1 (sin ) 1 (sin ) 1 1 sin

1 sin 2 (1 sin )(1 sin ) 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin

Từ phép đặt

Từ đó ta được

2

1

1

u

+

c) Đặt

2 2

2 (2 tan ) 2(1 tan )

os

2 tan

4 4 tan 4

dt

c t







2

+

Đặt

2 2

2

1 (1 ) (1 )

1

u

−

2

du

Từ giả thiết

2 3

2

1

x

x

− +

Ví dụ 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) 1

2

1

dx

I

x

=

−

4

dx I

=

−

2

dx I

=

∫

Hướng dẫn giải:

a) Đặt

2

2

2 2

2

cos

sin

1 cot

sin

t dt

t dt

dx d

dx

t

x

t

−

−



sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) 2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos

Từ phép đặt

2 2

1

1 1

1

x

x

− +

−

−

−

b) Đặt

2

2 2

8cot

sin sin

x

t t

x

t t

 =  =−  = −

 Khi đó, 2

2

4 sin

sin

t

t

−

−

Từ

2 2

c)

( )

1

2

( 1)

t x

= −

−

Đặt

2

2 2

2

2

3 cos

3

sin

3 3 cot

sin

u du

dt

u

t

u

=



− =





sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) sin 3 cot

3

I

t

−

−

1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos

∫

Từ

2 2

3

1

−

Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau:

2 2

1

arc tan

C

 

∫

2

C

+

∫

2 2

1

2

C

−

∫

dx

±

∫

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

1)

2

1 2

4

x dx

I

x

=

+

2

1 x

x

−

2

4

x dx I

x

=

−

∫

4) 4

2

1

=

−

2

dx I

x

=

−

∫