Microsoft Word Bài toán 24 KhÑi nón trå c§u TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021 2022 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 1 Phát triểu câu tương tự Câu 1 (Đề minh hoạ) Tháp nước Hàng Đậu là một di tích kiến trúc cổ của thủ đô Hà Nội, được xây dựng vào cuối thế kỉ XIX Tháp được thiết kế gồm thân tháp có dạng hình trụ và phần mái phía trên dạng hình nón Không gian bên trong toàn bộ tháp được minh họa theo hình vẽ với đường kính đáy hình trụ[.]
Trang 1TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Điện thoại: 0946798489
1 Phát triểu câu tương tự
Câu 1 (Đề minh hoạ) Tháp nước Hàng Đậu là một di tích kiến trúc cổ của thủ đô Hà Nội, được xây dựng vào cuối thế kỉ XIX Tháp được thiết kế gồm thân tháp có dạng hình trụ và phần mái phía trên dạng
hình nón Không gian bên trong toàn bộ tháp được minh họa theo hình vẽ với đường kính đáy hình trụ và đường kính đáy của hình nón đều bằng 19 m, chiều cao hình trụ 20 m, chiều cao hình nón là 5 m
Tháp nước Hàng Đậu
Hình minh họa Tháp nước Hàng Đậu
<Ảnh: hanoilavie>
Thể tích của toàn bộ không gian bên trong tháp nước Hàng Đậu gần nhất với giá trị nào sau đây?
A 5667 m 3 B 3070 m 3 C 6140 m 3 D 7084 m 3
Câu 2 Có ba khối nón bằng nhau, mỗi khối nón có bán kính đáy bằng 1 và có thiết diện qua trục là tam
giác đều Người ta đặt cả ba khối đó trên mặt bàn sao cho các đường tròn đáy của chúng tiếp xúc nhau đôi một Sau đó đặt quả cầu có bán kính R lên đỉnh 3 khối nón đó Gọi h là độ cao nhất 2
từ một điểm trên quả cầu đến mặt bàn Tính h
3
3
Câu 3 Một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB , đáy lớn 1 CD , cạnh bên 3 BC AD 2 Cho
hình thang ABCD quay quanh AB ta được khối tròn xoay có thể tích là:
3
3
V Câu 4 Cho hình trụ có bán kính đáy r1 nội tiếp trong hình cầu bán kính r không đổi Xác định bán kính
1
r theo r để hình trụ có thể tích lớn nhất
A 1 6
6
3
3
2
r r Câu 5 Cho hình thang cân ABCD có AD2BC 2AB2CD2a Tính thể tích khối tròn xoay khi
quay hình thang ABCD quanh đường thẳng AB
A
3 15
8
a
3 7 8
a
3
7 4
a
3 21 4
a
Bài toán 24 Khối nón - trụ - cầu
• Phần A Trắc nghiệm khách quan
• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Trang 2Câu 6 Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là O và O Xét hình nón có đỉnh O và đáy là đường tròn
O Gọi V , 1 V lần lượt là thể tích khối trụ và khối nón đã cho Tỉ số 2 1
2
V
V bằng
A 1
1
Câu 7 Bạn An có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là 10cm và độ dài đường sinh là 8cm Bạn
dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của viên kẹo cao hơn miệng cốc) Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?
A 32
13 cm Câu 8 Cho mặt cầu S bán kính R Hình nón N thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt
cầu S Thể tích lớn nhất của khối nón N là
A
3
32
81
R
B
3
32 27
R
3
32 81
R
3
32 27
R
Câu 9 Cho tam giác đều ABC cạnh 1 và hình vuông MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC (M thuộc
,
AB N thuộc AC P , Q thuộc , BC Gọi ) S là phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác
ABC nhưng không chứa các điểm thuộc hình vuông MNPQ Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay S quanh trục là đường thẳng qua A vuông góc với BC là
A 54 31 3
B 810 467 3
C 4 3 3
96 D 4 3 3
96
Câu 10 Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón
Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng thể tích kem đóng băng ban đầu Gọi và lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế Tính tỉ số
S
B A
75%
r
Trang 3Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ƠN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
2 Lời giải tham khảo
Câu 1 (Đề minh hoạ) Tháp nước Hàng Đậu là một di tích kiến trúc cổ của thủ đơ Hà Nội, được xây dựng
vào cuối thế kỉ XIX Tháp được thiết kế gồm thân tháp cĩ dạng hình trụ và phần mái phía trên dạng hình nĩn Khơng gian bên trong tồn bộ tháp được minh họa theo hình vẽ với đường kính đáy hình trụ và đường kính đáy của hình nĩn đều bằng 19 m, chiều cao hình trụ 20 m, chiều cao hình nĩn là 5 m
Tháp nước Hàng Đậu
Hình minh họa Tháp nước Hàng Đậu
<Ảnh: hanoilavie>
Thể tích của tồn bộ khơng gian bên trong tháp nước Hàng Đậu gần nhất với giá trị nào sau đây?
A 5667 m 3 B 3070 m 3 C 6140 m 3 D 7084 m 3
Lời giải Chọn C
Theo đề, với khối nĩn ta cĩ
2
r h V r h m
nón
Với khối trụ, ta lại cĩ
2
r h Vtrụ r h m Vậy Vtháp VnónVtrụ 472 5668 6140 m3
Câu 2 Cĩ ba khối nĩn bằng nhau, mỗi khối nĩn cĩ bán kính đáy bằng 1 và cĩ thiết diện qua trục là tam
giác đều Người ta đặt cả ba khối đĩ trên mặt bàn sao cho các đường trịn đáy của chúng tiếp xúc nhau đơi một Sau đĩ đặt quả cầu cĩ bán kính R lên đỉnh 3 khối nĩn đĩ Gọi h là độ cao nhất 2
từ một điểm trên quả cầu đến mặt bàn Tính h
3
3
h
Lời giải Chọn A
Chiều cao của mỗi nĩn là: 3
2
m , Gọi A B C , , là các đỉnh nĩn, khi đĩABC là tam giác đều cạnh bằng 2 và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác là 2 3
3
r
Trang 4Gọi P là mặt phẳng đi qua các đỉnh nón và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính là 2 3
3
r , khi đó khoảng cách từ tâm cầu đến P là 2 2 4 4 2 6
a R r
h m a R Câu 3 Một hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB , đáy lớn 1 CD , cạnh bên 3 BC AD 2 Cho
hình thang ABCD quay quanh AB ta được khối tròn xoay có thể tích là:
3
3
V Lời giải
Chọn D
Gọi E , F là hai điểm sao cho CDEF là hình chữ nhật và E , A , B , F thẳng hàng
Ta có EA AB BF , 1 AD BC 2, CD3, DE CF 1
Gọi V là thể tích cần tìm, V là thể tích khối trụ có được khi cho hình chữ nhật 1 CDEF quay quanh EF , V là thể tích của khối nón có được khi cho tam giác AED quay quanh AE , 2 V là thể 3 tích của khối nón có được khi cho tam giác BFC quay quanh BF
V V V V DE CD DE AE CF BF
Câu 4 Cho hình trụ có bán kính đáy r1 nội tiếp trong hình cầu bán kính r không đổi Xác định bán kính
1
r theo r để hình trụ có thể tích lớn nhất
A 1 6
6
3
3
2
r r Lời giải
Chọn B
D
C
Trang 5Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Chiều cao hình trụ h2IH 2 r2r12
Thể tích khối trụ V 2r12 r2r12 , 0 r 1 r
f r r r r r r
1
3 1
r r r
r
6 3 Max f r f
(Có thể thử chọn vào )
Câu 5 Cho hình thang cân ABCD có AD2BC2AB2CD2a Tính thể tích khối tròn xoay khi
quay hình thang ABCD quanh đường thẳng AB
A
3 15
8
a
3 7 8
a
3
7 4
a
3 21 4
a
Lời giải
Chọn C
Gọi S là giao điểm giữa đường thẳng AB và CD
Gọi V là thể tích của khối nón tạo bởi SAD1 khi quay quanh trục SA
Gọi V là thể tích của khối nón tạo bởi SBC2 khi quay quanh trục SB
Ta có BD a 3, 3
2
a
CH , SB a
2
1
V BD SB a a a
2 2
V SH HC
Vậy thể tích cần tìm là 3
1 2
7 4
V V V a (đvtt)
Câu 6 Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là O và O Xét hình nón có đỉnh O và đáy là đường tròn
O Gọi V , 1 V lần lượt là thể tích khối trụ và khối nón đã cho Tỉ số 2 1
2
V
V bằng
A 1
1
Lời giải Chọn D
Gọi chiều cao, bán kính đáy của trụ lần lượt là h , R
Trang 6Thể tích khối trụ là: 2
1
V R h Thể tích khối nón là: 2
2
1
3
2
1
2 2
1
3
Câu 7 Bạn An có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là 10cm và độ dài đường sinh là 8cm Bạn
dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của viên kẹo cao hơn miệng cốc) Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?
A 32
13 cm Lời giải
Chọn B
Gọi P là mặt phẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy của hình nón Khi đó P cắt hình cầu (viên kẹo) theo thiết diện là đường tròn lớn Viên kẹo có đường kính lớn nhất khi và chỉ khi đường tròn lớn là đường tròn nội tiếp tam giác SAB
Nửa chu vi tam giác SAB là p13
Diện tích tam giác SAB là 1 1 2 2
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB: 5 39
13
S r p
, do đó đường kinh 2 10 39
13
Câu 8 Cho mặt cầu S bán kính R Hình nón N thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt
cầu S Thể tích lớn nhất của khối nón N là
A
3
32R
B
3
32R
3
32R
3
32R
S
B A
Trang 7Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022
Gọi r h, 0 h 2R lần lượt là bán kính và chiều cao của khối nón
Ta có 1 2 1 2 2
N
V r h R h R h 1 3 2
2
3 h Rh
Xét hàm số f h h3 2Rh2, có 2
0
3
h
Ta có bảng biến thiên sau
Từ bảng biến thiên ta có, giá trị lớn nhất của thể tích khối nón N là
3
32 81
R
Câu 9 Cho tam giác đều ABC cạnh 1 và hình vuông MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC (M thuộc
,
AB N thuộc AC P , Q thuộc , BC Gọi ) S là phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác
ABC nhưng không chứa các điểm thuộc hình vuông MNPQ Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay S quanh trục là đường thẳng qua A vuông góc với BC là
A 54 31 3
12
B 810 467 3
C 4 3 3
96 D 4 3 3
96
Lời giải
Chọn B
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay S quanh trục là đường thẳng AH bằng hiệu thể tích khối nón khi quay tam giác ABC và thể tích khối trụ khi quay hình vuông MNPQ quanh trục là đường thẳng AH
Trang 8Gọi độ dài cạnh hình vuông là x Khi đó: MN AN 1 CN 1 NP
BC AC CA AH
2
x
x
Câu 10 Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón
Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng thể tích kem đóng băng ban đầu Gọi và lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế Tính tỉ số
Lời giải
Chọn: A
+ Thể tích khối cầu (thể tích kem ban đầu)
+ Thể tích khối nón (phần ốc quế)
Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Hoặc Facebook: Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong
Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN) https://www.facebook.com/groups/703546230477890/
https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber
Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/
75%
r
4 3
h
3
h
r
3
4 3
c
V r
2
1 3
N
V r h
3
h
r
