Chuyên đề hình học không gian nón - trụ - câu

STRONG TEAM TOÁN VD VDC Website tailieumontoan com CHUYÊN ĐỀ NÓN TRỤ CẦU VẤN ĐỀ 1 MẶT NÓN Câu 1 Cho hình nón có đường sinh bằng diện tích xung quanh bằng Tính chiều cao của hình nón đó theo A B C D Câu 2 Cho tam giác vuông tại , góc Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục , biết A B C D Câu 3 Một hình tứ diện đều cạnh có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón Khi đó diện tích xung quanh của hinh nón là A B C D Câu 4 Cho k[.]

CHUYÊN ĐỀ NÓN-TRỤ-CẦU VẤN ĐỀ 1 MẶT NÓN

Câu 1. Cho hình nón có đường sinh bằng 4 ,a diện tích xung quanh bằng

2

8πa Tính chiều cao củahình nón đó theo a

A. 2a 3 B. 2a

2 33

Câu 3. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên

đường tròn đáy của hình nón Khi đó diện tích xung quanh của hinh nón là

A.

2

13

3π a

2

12

3π a

2

13

Câu 6. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=30cm

, bán kính đáy r=40cm

Tính độ dài đườngsinh l

Câu 7. Người thợ gia công của một cơ sở chất

lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn

với bán kính 60cmthành ba miếng hình

quạt bằng nhau Sau đó người thợ ấy quấn

và hàn ba miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằngbao nhiêu?

A

16000 23

V =

lít

16 23

C

16000 23

lít

D

160 23

lít

Câu 8. Bạn Hoàn có một tấm bìa hình

tròn như hình vẽ, Hoàn muốn

biến hình tròn đó thành một hình

cái phễu hình nón Khi đó Hoàn

phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB

Câu 9. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều Gọi V V1, 2 lần lượt là thể tích của khối cầu

ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đã cho Tính tỉ số

1 2

V V

A 8

Câu 10. Một hình nón được gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên

mặt cầu Tìm chiều cao h

của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính R=3

A

92

152

154

Câu 11. Cắt hình nón đỉnh I bới một mặt phẳng đi qua trục của hình nón ta được một tam giác vuông

A

2

26

Câu 13. Tại trung tâm một thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón có kích thước

như sau: chiều dài đường sinh l=10 m

Câu 14. Một bình đựng đầy nước hình nón (không có nắp đáy) có chiều cao gấp 3 lần bán kính đáy của

nó Người ta thả vào bình một khối trụ và đo được lượng nước trào ra là

2

6 ( π dm )

Biết rằngmột mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy nón và chiều cao khối trụ bằng đường kính của đáy hìnhnón Tính thể tích khối nón

A

( )3

38cm3

π

( )3

40cm3

Câu 17. Cho nửa hình cầu bán kính R không đổi Một hình nón có

chiều cao h, bán kính đáy là r tiếp xúc với nửa hình cầu

như hình vẽ (hai đường tròn đáy là đồng tâm và cùng thuộc

một mặt phẳng) Khi diện tích xung quanh của hình nón là

nhỏ nhất, khẳng định nào sau đây đúng ?

Câu 18. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm Tính diện tích xung

quanh của hình trụ này

Câu 22. Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích

Câu 23. Người ta thả một quả bóng hình cầu vào một cái thùng hình trụ sao cho quả bóng chạm đến đáy

thùng thì mực nước dâng lên tại vị trí cao nhất của quả bóng Biết rằng bán kính đáy thùng bằng

A 3,14cm B 5,34cm C 149,98cm D 2,62 cm.

Câu 24. Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm

và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếphai mặt đối diện của hình lập phương Gọi 1

Câu 25. Cho hình thang ABCD

vuông tại A và B với 2

a

3 7 3

tôn để làm một bồn đựng thóc hình trụ có đáy và nắp đậy Giả

sử các mép gò có kích thước không đáng kể Hỏi thể tích lớn nhất của bồn có thể làm được làbao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?

Câu 27. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng ( )P

song song với trục

của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng 2

Câu 30. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD

có AB=1

và AD=2

Gọi M N, lần lượt làtrung điểm của AD và BC

Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN

, ta được một hìnhtrụ Tính diện tích toàn phần tp

Câu 31. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy a

và đường cao3

Câu 33. Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a

(a là độ dài có sẵn) Người ta cuốntấm nhôm đó thành một hình trụ Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a

thì thểtích của nó bằng:

A

3

a p

3

a p

3

2

a p

3

2 a p

Câu 34. Ông Bình muốn làm một chiếc thùng

hình trụ không đáy từ nguyên liệu là

mảnh tôn hình tam giác đều ABC

cócạnh bằng 3 m( )

Ông muốn cắt mảnhtôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn

nguyên liệu (với M , N

( )3

800000 3

cmπ

Câu 35. Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′

có độ dài cạnh bên bằng 3a, đáy ABC làtam giác vuông cân tại A, góc giữa AC′

Câu 36. Người ta cần sản xuất một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ không có

nắp với đáy cốc và thành cốc làm bằng thủy tinh đặc, phần đáy cốc dày

đều 1,5cmvà thành xung quanh cốc dày đều 0, 2cm (hình vẽ) Biết rằng

chiều cao của chiếc cốc là 15cmvà khi ta đổ 180 ml nước vào cốc thì đầy

cốc Nếu giá thủy tinh thành phẩm được tính là 500 đ /1 cm3 thì giá tiền

thủy tinh để sản xuất chiếc cốc đó gần nhất với số nào sau đây?

, độ dày của lớp bê tông bằng 10 cm( )

Biết rằng cứ một mét khối bê tông phải dùng 8 bao xi măng Số bao xi măng công ty phải dùng để xây dựng đường ống thoát nước là

Câu 38. Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn ( )O

và ( )O′

Trên hai đường tròn ( )O

và ( )O¢

lần lượt lấyhai điểm A, B sao cho góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng

a

Biết bán kính đáy bằng a

,tính thể tích của khối trụ theo a

A

3 26

a

V =π

3 23

a

V =π

VẤN ĐỀ 3 MẶT CẦU

Câu 39 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

B Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

C Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

D Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

Câu 40. Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật có các kích thước a

, 2a, 3a Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a=2 3R

33

R

a=

Câu 41. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh bằng a

Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a= 2

Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD. theo a

Câu 42. Cho hình chóp tứ giác đều có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°

Biết rằng mặt cầu ngoạitiếp hình chóp đó có bán kính R a= 3.

Tính độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều nóitrên

Câu 43. Cho hình chóp S ABCD

có đáy ABCD

là hình bình hành, các cạnh bên của hình chóp bằng

6 cm

, AB=4 cm

Khi thể tích khối chóp S ABCD

đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầungoại tiếp S ABCD

π

20 53

π

4 53

π

Câu 45. Cho mặt cầu

và ( )S1

12

Câu 46. Cho hình cầu đường kính 2a 3 Mặt phẳng ( )P

cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn cóbán kính bằng a 2

Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng ( )P

a

Câu 47. Người ta xếp bảy viên bi là các khối cầu có cùng bán kính R vào một cái lọ hình trụ Biết rằng

các viên bi đều tiếp xúc với hai đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với sáu viên bi xung quanh

và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ Tính theo R thểtích lượng nước cần dùng để đổ đầy vào lọ sau khi đã xếp bi

R

π

Câu 48. Cho khối cầu ( )S

tâm I, bán kính R không đổi Một khối trụ có chiều cao h

và bán kính đáy

r

thay đổi nội tiếp khối cầu Tính chiều cao h

theo R sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất

A h R= 2

33

R

h=

22

R

h=

2 33

R

h=

Câu 49. Cho tứ diện ABCD

a

π

Câu 50. Cho tứ diện ABCD có AB CD= =3

chia tứ diện ABCD

thành hai tứ diện Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứdiện đó

A.

4351

12

14

48153

Câu 52. Cho mặt cầu ( )S

π

20 53

π

29 296

π

29 293

π

π

20 53

π

4 53

π

Câu 54. Cho mặt cầu

và ( )S1

12

Câu 55. Cho hình cầu đường kính 2a 3 Mặt phẳng ( )P

cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn cóbán kính bằng a 2

Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng ( )P

a

Câu 56. Cho hình chóp S ABCD.

có đáy ABCD

là hình vuông cạnh 2 2, cạnh bên SA

vuông góc vớimặt phẳng đáy Mặt phẳng ( )α

qua A và vuông góc với SC

cắt các cạnh SB

, SC

, SD

lầnlượt tại các điểm M , N

, P Tính thể tích V

của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

A.

323

V = π

64 23

C.

1083

V = π

1256

LỜI GIẢI Câu 1. Cho hình nón có đường sinh bằng 4 ,a diện tích xung quanh bằng

2

8πa Tính chiều cao củahình nón đó theo a

A. 2a 3 B. 2a

2 33

Lời giải

Tác giả: Vũ Văn Tuấn ; Fb:Vũ Văn Tuấn

Chọn C

.Khối tròn xoay tạo thành khi quay ∆ABC

quanh trục AB là khối nón có trục là AB và đường sinh là BC

.Trong ∆ABC

V = π AC AB=πa

Câu 3. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên

đường tròn đáy của hình nón Khi đó diện tích xung quanh của hinh nón là

A.

2

13

3π a

2

12

3π a

2

13

Ta có:

3

;3

a

,l=2a

, r=a.Diện tích toàn phần của hình nón là

thành ba miếng hình quạt bằng nhau Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó

để được ba cái phễu hình nón Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?

h

l r

A

16000 23

V =

lít B

16 23

lít C

16000 23

lít D

160 23

.Chu vi đường tròn ban đầu là C=2πR=12π

.Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón tạo thành

Chu vi đường tròn đáy của hình nón tạo thành là

Câu 8. Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một hình

cái phễu hình nón Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB

π

=

Đường cao của hình nón

2 2

h= R −r

2 2 2

2

4

R x R

π

42

R

x

ππ

Thể tích khối nón (phễu)

2

13

lần lượt là thể tích của khối cầu

ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đã cho Tính tỉ số

1 2

V V

Xét tam giác đều SAB

là thiết diện qua trục của hình nón như hình vẽ

Giả sử cạnh của tam giác đều SAB

bằng 1.Gọi I là trọng tâm tam giác đều SAB

, khi đó I vừa là tâm mặt cầu nội tiếp vừa là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón đã cho

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón:

1

33

Câu 10. Một hình nón được gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên

mặt cầu Tìm chiều cao h

của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính R=3

A

92

152

154

trên khoảng ( )0;6

Ta có f x′( ) =12x−3 ,x2 f x′( ) =0⇔x=4(x>0)

.Bảng biến thiên:

Theo bảng biến thiên ta có ( )

( ) ( )0;6

max f x = f 4 =32

Vậy

32max

A

2

26

Tam giác IDC

vuông cân có DC a= 2

22

a

IH HC

và IC a=Gọi E là trung điểm cạnh BC

Gọi H là trung điểm AB

SH =

4 3

=.Tam giác OAB

Câu 13. Tại trung tâm một thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón có kích thước

như sau: chiều dài đường sinh l=10 m

, bán kính đáy R=5m

Biết rằng tam giác SABlà thiết

A 10m B 15m C 5 5 m D 5 3 m.

Lời giải.

Chọn C

Khi cắt mặt xung quanh hình nón bởi mặt phẳng (SAB)

, rồi trải phẳng phần mặt xung quanh

có chứa hệ thống đèn trang trí ta được một hình quạt như trên

Ta có độ dài cung quạt chính là nửa chu vi của đường tròn đáy hình nón: 1

Câu 14. Một bình đựng đầy nước hình nón (không có nắp đáy) có chiều cao gấp 3 lần bán kính đáy của

nó Người ta thả vào bình một khối trụ và đo được lượng nước trào ra là

2

6 ( π dm )

Biết rằngmột mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy nón và chiều cao khối trụ bằng đường kính của đáy hìnhnón Tính thể tích khối nón

Gọi bán kính đáy nón là R

thì chiều cao của nón là 3R

, chiều cao của hình trụ là 2R

Từ đó suy ra

1 3

tru N

Theo Định lý Ta-lét

3.3

Câu 16. Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế

tạo ra một hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là 2α = °60

bằng thủy tinh trong suốt Sau đó đặthai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc vớinhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của hình nón (xem hình

vẽ) Biết rằng chiều cao của hình nón là 9 cm. Bỏ qua bề dày của các lớp vỏ thủy tinh, tổng thểtích của hai khối cầu bằng

A

( )3

38cm3

π

( )3

40cm3

đều có chiều cao h=9 cm

nên bán kính đường tròn nội tiếp

3cm3

h

r= =

.Tương tự ∆SEF

đều có chiều cao h′ = − =9 2r 3cm

nên có bán kính đường tròn nội tiếp1

Câu 17. Cho nửa hình cầu bán kính R không đổi Một hình nón có chiều cao h, bán kính đáy là r tiếp

xúc với nửa hình cầu như hình vẽ (hai đường tròn đáy là đồng tâm và cùng thuộc một mặt

Câu 18. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm Tính diện tích xung

quanh của hình trụ này

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh, ta có: S xq =2πR l =2 3.4 24π = π( )cm2

Câu 19. Cho khối trụ có bán kính đáy r = 3

Câu 21. Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

C ( )3 max 36 m

D ( )3 max 72 m

x

R= −

0 12 72 81 0

92

Từ bảng biến thiên suy ra:

( )

9 0;

Câu 23. Người ta thả một quả bóng hình cầu vào một cái thùng hình trụ sao cho quả bóng chạm đến đáy

thùng thì mực nước dâng lên tại vị trí cao nhất của quả bóng Biết rằng bán kính đáy thùng bằng

Ta có phương trình sau:

43

x x x

Câu 24. Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm

và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếphai mặt đối diện của hình lập phương Gọi 1

; hình trụ có chiều cao h=40 cm

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

2

2 2 .20 2 20.40 2400

.Vậy: S S= +1 S2 =9600 2400+ π =2400 4( +π)

Câu 25. Cho hình thang ABCD

vuông tại A và B với 2

a

3 7 3

tôn để làm một bồn đựng thóc hình trụ có đáy và nắp đậy Giả

sử các mép gò có kích thước không đáng kể Hỏi thể tích lớn nhất của bồn có thể làm được làbao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?

Vậy thể tích lớn nhất của bồn đựng thóc hình trụ là

3

21,13

π ≈ m

Câu 27. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng ( )P

song song với trục

của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng 2

Giải sử hình vuông ABCD là thiết diện của hình trụ cắt bởi ( )P

Câu 28. Cho hình chữ nhât ABCD

Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN

, ta được một hình

tp

S

h MN= =

,

1

12

Câu 33. Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a

(a là độ dài có sẵn) Người ta cuốntấm nhôm đó thành một hình trụ Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a

thì thểtích của nó bằng:

A

3

a p

3

a p

3

2

a p

Hình trụ tạo thành có chu vi đáy là 2a

nên bán kính đáy Rcủa hình trụ thỏa mãn:

Câu 34. Ông Bình muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam

giác đều ABC

( )3

800000 3

cmπ

Lời giải

Chọn A

Tác giả: Phó Văn Giang; Fb: Giang Phó

Gọi I là trung điểm BC

Suy ra I là trung điểm MN

Câu 35. Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′

có độ dài cạnh bên bằng 3a, đáy ABC là tam giác vuông cântại A, góc giữa AC′

B C A

Lời giải

Chọn A

Tác giả: Phó Văn Giang; Fb: GiangPhó

Gọi I là trung điểm của BC, gọi bán kính của hình trụ làR

AI IC

⇒ =R a

.Diện tích toàn phần của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′

là:

S = π2 Rh 2 R+ π = π9 ( 2 1)a+

Câu 36. Người ta cần sản xuất một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ không có nắp với đáy cốc và

thành cốc làm bằng thủy tinh đặc, phần đáy cốc dày đều 1,5cmvà thành xung quanh cốc dày

đều 0, 2cm (hình vẽ) Biết rằng chiều cao của chiếc cốc là 15cmvà khi ta đổ 180 ml nước vàocốc thì đầy cốc Nếu giá thủy tinh thành phẩm được tính là 500 đ /1 cm3 thì giá tiền thủy tinh đểsản xuất chiếc cốc đó gần nhất với số nào sau đây?

A 25nghìn đồng B 20

nghìn đồng C

40nghìn đồng D 30

nghìn đồng

Lời giải Chọn D

, độ dày của lớp bê tông bằng 10 cm( )

Biết rằng cứ một mét khối bê tông phải dùng 8 bao xi măng Số bao xi măng công ty phải dùng để xây dựng đường ống thoát nước là

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Vân ; Fb: Nguyễn Thị Vân

Chọn A

Đường kính của đường ống thoát nước là

a

Biết bán kính đáy bằng a

,tính thể tích của khối trụ theo a

A

3 26

a

V =π

3 23

a

V =π

Lời giải

nên tam giác ABC

vuông cân tại C⇒BC AC h= =

Ta có:

2 2

Câu 39 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

B Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

C Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

D Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

Lời giải

Tác giả: Trần Tiến Đạt ; Fb: Tien Dat Tran

Chọn A