Tailieumontoan com Điện thoại (Zalo) 039 373 2038 CHUYÊN ĐỀ KHỐI NÓN – TRỤ CẦU Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020 Website tailieumontoan com PHẦN I I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Khối nón Các yếu tố cơ bản của hình nón + Chiều cao h + Bán kính đường tròn đáy r + Độ dài đường sinh l + Góc ở đỉnh ( )2 0 90α α° < < ° Mối liên hệ giữa chiều cao, đường sinh và bán kính đáy của hình nón 2 2 2= +l h r Hình nón tròn xoay tạo thành khi quay tam giác Cho AIB∆ vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông[.]
Trang 1
Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020
Trang 2 Hình nón tròn xoay t ạo thành khi quay tam giác: Cho ∆AIBvuông
tại I quay quanh cạnh góc vuông AI thì đường gấp khúc ABI tạo
thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón)
+ Đường thẳng AI gọi là trục, A là đỉnh, AI gọi là đường cao và AB gọi là đường sinh của hình nón + Hình tròn tâm I , bán kính r=IB là đáy của hình nón
Công thức diện tích của hình nón và thể tích của khối nón:
Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì ta có:
+ Diện tích xung quanh: S xq =π .r l
+ Độ dài đường sinh: l=h
Công thức diện tích của hình trụ và thể tích của khối trụ:
-Di ện tích đáy khối trụ : =π 2
ñ
S r
- Diện tích xung quanh khối trụ : S xq =2πrh
- Diện tích toàn phần của hình trụ: 2
Trang 3(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a Biết rằng khi cắt hình trụ
đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a , thiết diện thu được là một
hình vuông Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng:
A 216 a π 3 B 150 a π 3 C 54 a π 3 D 108 a π 3
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Đây là bài toán ở dạng vận dụng Tính thể tích khối trụ từ các điều kiện cho trước
2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Cách xác định một mặt phẳng song song với 1 đường thẳng cho trước
Cách xác định khoảng cách từ 1 đường thẳng đến 1 mặt phẳng song song với nó
Công thức tính thể tích khối trụ: V =πr h2 , với h là đường cao và r là bán kính đường tròn đáy
3 HƯỚNG GIẢI:
B1:Xác định mặt phẳng thiết diện song song với trục của hình trụ
B2:Xác định khoảng cách từ trục của hình trụ đến thiết diện Từ đó tìm được bán kính của đường tròn đáy
B3: Tính thể tích của khối trụ cần tìm
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Ch ọn D
Lấy 2 điểm M, N lần lượt nằm trên đường tròn tâm O sao cho MN =6a
Từ M, N lầm lượt kẻ các đường thẳng song song với trục OO , c' ắt đường tròn tâm 'O t ại Q, P
Thiết diện ta thu được là hình vuông MNPQ có cạnh bằng 6a
Gọi H là trung điểm của PQ
Vì OO'/ /(MNPQ) nên ta có d OO( ',(MNPQ) )=d O( ',(MNPQ) )=O H'
Từ giả thiết, ta có 'O H =3a Do đó ∆O HP' là tam giác vuông cân tại H
Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là 2 2
Trang 4 M ức độ 3
Câu 1 Cho hình trụ có đường kính đáy bằng 6a 2 Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng
song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a , thiết diện thu được là một hình vuông Thể
tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
Câu 2 Cho hình nón có độ dài đường sinh là l=6a Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt
phẳng qua trục thiết diện thu được là một hình tam giác đều Thể tích của khối nón được giới hạn
bởi hình nón đã cho bằng
A. 9 3 aπ 3 B.
3
27 32
a
π
L ời giải
Ch ọn A
Gọi SAB∆ là thiết diện khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng qua trục
Tam giác ∆SAB đều, suy ra AB=SA=6a⇒ =r OA=3a và SO=3a 3=h
Trang 5Câu 3 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C ′ ′ ′ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h Tính
thể tích V của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho.
B'
C M
G'
G
A B
Gọi G là trọng tâm ABC∆ còn M là trung điểm của BC
Câu 4 Cho hình trụ có trục OO , thi' ết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a Mặt phẳng ( )P song
song với trục và cách trục một khoảng
Trang 6Mặt phẳng ( )P song song với trục nên cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật có một kích
thước là 2a Kích thước còn lại là
Câu 5 Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có diện tích bằng 8
Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A 16 2 π B 16 2
3
π
C 8 3
Đường cao và bán kính của hình nón là 1 2 2
2
h=SO= =r AB= Vậy thể tích của khối nón là: ( )3
Câu 6 Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a ( a là độ dài có sẵn) Người ta cuốn
tấm nhôm đó thành một hình trụ Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích
Câu 7 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đường chéo BD′ = x 3 Tính thể tích khối trụ có hai đường
tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A B C D′ ′ ′ ′
Trang 7Ta có: BD′ = AB 3=x 3⇒AB=x Suy ra hình trụ có chiều cao h x=
Do hình trụ có hai đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD nên có bán kính
Câu 8 Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình
tròn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ Thể tích của khối trụ tròn xoay bằng
L ời giải
Ch ọn D
a a
O A
Gọi O là tâm tam giác đều ABC
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC∆ Khi đó 2 3 3
R=OA= a= a Chiều cao của hình trụ h a=
Thể tích của khối trụ tròn xoay đó là:
Trang 8Câu 9 Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AD a = , đáy nhỏ AB a= , đáy lớn CD=2a Thể
tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang vuông đó quanh cạnh CD là
Khối tròn xoay tạo thành bao gồm
Khối trụ có chiều cao AB a= , bán kính đáy AD=a nên ( )2 3
a
π
Lời giải Chọn A
Gọi R là bán kính đáy của hình trụ
2
a R
⇒ =
Giả sử mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật ABB A′ ′
Có: AB=2R=a , AA′ =h là chiều cao của hình trụ
Trang 9A V =πa3 6 B
3
63
a
D V =πa3 3
L ời giải Chọn A
Câu 12 Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là (O R và ; ) (O R′; ), OO′ = Biết h AB là một đường kính
của đường tròn (O R và tam giác ; ) O AB′ đều Thể tích của khối trụ tạo bởi hình trụ trên bằng
A.
3
36
Trang 10Gọi ABCD là thiết diện qua trục của hình trụ, ta có ABCD là hình chữ nhật
Từ giả thiết suy ra AB2a và 2ABBC10aBC3a
Suy ra hình trụ có chiều cao h=3 a
Vậy thể tích khối trụ đã cho bằng 2 2 3
.3 3
Câu 14 Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , độ dài đường sinh bằng 2a Một mặt phẳng qua
đỉnh S cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAB có diện tích lớn nhất Biết khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng a Thể tích của khối nón tạo bởi hình nón trên bằng
A
3
43
Ta có độ dài đường sinh l2 ;a OH a
Tam giác SAB cân tại S
Khi đó diện tích tam giác 1 1 2 2
OO r Một hình nón có đỉnh là O và có đáy là hình tròn O r Gọi ; S1 là diện tích xung
quanh của hình trụ và S2 là diện tích xung quanh của hình nón Tính tỉ số 1
2
S
S .
Trang 11A 1
2
23
Hình trụ có bán kính đáy r , chiều cao h=r 3
Hình nón có bán kính đáy r , chiều cao h=r 3, độ dài đường sinh l=2r
2 3
32
ππ
Câu 16 Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với
2
AD
AB BC= = = Quay hình thang và miền a
trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo
thành
A
3
43
a
3
53
a
3
73
D
Dựng hình chữ nhật ABED với E nằm trên tia BC
Thể tích khối trụ sinh bởi hình chữ nhật ABED khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh BC là
Trang 12Thể tích khối tròn xoay cần tìm là 1 2 5 3
3
a
Câu 17 Cho mặt cầu ( )S có bán kính bằng 4, hình trụ ( )H có chiều cao bằng 4 và hai đường tròn đáy
nằm trên ( )S Gọi V1 là thể tích của khối trụ ( )H và V2 là thể tích của khối cầu ( )S Tính tỉ số
V
916
V
23
V
13
V V
V
Câu 18 Cho khối nón ( )N đỉnh S,có chiều cao là a 3 và độ dài đường sinh là 3a Mặt phẳng ( )P đi
qua đỉnh S, cắt và tạo với mặt đáy của khối nón một góc 60° Tính diện tích thiết diện tạo bởi
mặt phẳng ( )P và khối nón ( )N
A 2a2 3 B a2 5 C. 2a2 5 D a2 3
L ời giải
Ch ọn C
Trang 13I
A S
O B
Khối nón ( )N có tâm đáy là điểm O, chiều cao SO= =h a 3 và độ dài đường sinh l=3a
Giả sử mặt phẳng ( )P cắt ( )N theo thiết diện là tam giác SAB
Do SA=SB=l ⇒ tam giác SAB cân tại đỉnh S
Gọi I là trung điểm của AB
Ta có OI ⊥AB, SI ⊥AB và khi đó góc giữa mặt phẳng ( )P và mặt đáy của ( )N là góc
60
Trong tam giác SOI vuông tại O góc SIO 60= °
Ta có SI =sinSO SIO =sin 60a 3°=2a
Trong tam giác SIA vuông tại I
Trang 14Ta suy ra h+1,5( )cm và R+0, 2( )cm lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ bên ngoài (phần hình trụ của chiếc cốc)
Ta có thể tích thật (thể tích cái cốc có thể đựng được) được tính bởi công thức 2
480
R h
π = π Suy ra 4802
h R
= ≈ khi R= 4
Câu 20 Cho mặt cầu ( )S tâm O , bán kính R= Mặt phẳng 3 ( )P cách O một khoảng bằng 1 và cắt ( )S
theo giao tuyến là đường tròn ( )C có tâm H Gọi T là giao điểm của tia HO với ( )S , tính thể tích V của khối nón có đỉnh T và đáy là hình tròn ( )C
T
H O
Gọi r là bán kính đường tròn ( )C thì rlà bán kính đáy của hình nón
Câu 21 Cắt một khối trụ bởi mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có cạnh AB
và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ Biết BD=a 2, DCA= ° Tính theo 30 a thể tích
Trang 15Câu 22 Một chiếc bút chì có dạng khối trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 ( )mm và chiều cao bằng
200( )mm Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì Phần lõi có dạng
khối trụ có chiều cao bằng chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1 ( )mm Giả định 1 3
m gỗ có giá a triệu đồng, 1 3
m than chì có giá 6a triệu đồng Khi đó giá
nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A 84, 5.a đồng B 78, 2.a đồng C 8, 45.a đồng D 7,82.a đồng
3 3200.6 200 2700 3 200
4
Số tiền làm một chiếc bút chì là 6 1 2
7,821000
a
đồng
Trang 16Câu 23 Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50 240cm cm, người ta làm các thùng đựng nước hình
trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
• Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng
• Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh
Theo cách 1 thì thùng đựng nước tạo thành là hình trụ có bán kính đáy là R
Theo cách 2 thì 2 thùng đựng nước tạo thành đều là hình trụ có bán kính đáy là
2
R Đường cao của các thùng hình trụ là bằng nhau và bằng h
Câu 24 Cho khối nón tròn xoay có đường cao h=20cm, bán kính đáy r=25cm Mặt phẳng ( )P đi qua
đỉnh của khối nón và cách tâm O của đáy là 12cm Khi đó diện tích thiết diện cắt bởi ( )P với khối
nón bằng
A. 500 cm2 B. 475 cm2 C. 450 cm2 D. 550 cm2
L ời giải
Ch ọn A
Trang 17Có ( ) (P ≡ SAB) Gọi các điểm như hình vẽ
Ta có SO=20=h OA OB r, = = =25, gọi M là hình chiếu của O lên AB suy ra M là trung
điểm AB, gọi K là hình chiếu của O lên SM suy ra d O SAB( ;( ) )=OK=12
Câu 25 Một khối gỗ hình trụ có bán kính đáy r=10 cm( ), chiều cao bằng 20 cm( ) Người ta khoét rỗng
khối gỗ bởi hai nửa hình cầu mà đường tròn đáy của khối gỗ là đường tròn lớn của mỗi nửa hình
cầu Tính tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và cả khối gỗ
Câu 26 Cho hình nón có chiều cao bằng 8 Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một
thiết diện là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 10 2 Tính thể tích của khối nón được giới
Trang 18Giả sử thiết diện là tam giác vuông cân SAB có cạnh bên bằng l như hình vẽ
+
3 22
ππ
−
3 32
ππ
+
3 32
ππ
−
−
Lời giải
Ch ọn A
Gọi ( )H là ph1 ần khối trụ chứa trục OO ; ' ( )H2 là phần còn lại của khối trụ
Gọi ABB A' ' là thiết diện do mặt phẳng ( )P khối trụ
Gọi I là hình chiếu của O lên mặt phẳng ABB A' '
Thể tích khối trụ: 2 2 3
2 2
Trang 19Câu 28 Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, có bán kính đáy lần lượt bằng
1m và 1,8m Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ có cùng chiều cao và có thể tích
bằng tổng thể tích của hai bể nước trên Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết
quả nào dưới đây?
Trang 20Giả sử mặt phẳng qua trục cắt hình nón theo thiết diện là tam giác ∆SAB , SA ; SB là đường sinh
của hình nón
Gọi h là chiều cao của hình nón Khi đó:
Hình nón ( )N có đường sinh tạo với đáy một góc °60 nên SAH = °60
Ta có ∆SAB cân tại S có = °A 60 nên ∆SAB đều Do đó tâm I của đường tròn nội tiếp ∆SAB cũng là trọng tâm của ∆SAB
Theo bài ra IH=1 suy ra SH=3IH=3
Câu 30 Cho tam giác ABC đều cạnh a , đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC )
Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d , H là trực tâm tam giác SBC Biết rằng khi điểm S thay đổi trên đường thẳng d thì điểm H nằm trên đường tròn ( )C Trong số các mặt cầu chứa đường tròn ( )C , bán kính mặt cầu nhỏ nhất là
Gọi G là trực tâm của tam giác ABC Khi đó G cũnglà trọng tâm của tam giác ABC
Gọi I là trung điểm của BC D K; lần lượt là hình chiếu của điểm C trên AB và SB
GH ⊥ SBC ⇒GHI = ⇒H thuộc mặt cầu đường kính GI và thuộc mặt
phẳng cố định (SAI) nên H thuộc đường tròn ( )C là giao của mặt cầu đường kính GI và mặt
phẳng (SAI)
Trang 21Gọi mặt cầu ( )S chứa đường tròn ( )C có tâm O và bán kính R
Khi đó 2 ( ( ) )
2
;4
= GI +
Bán kính R nhỏ nhất khi d O SAI( ;( ) ) nhỏ nhất hay d O SAI( ;( ) )=0 Khi đó O∈(SAI) Như vậy, trong các mặt cầu chứa đường tròn ( )C , mặt cầu đường kính GI là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất min
2 2 3 2 12
⇒R =GI = a =a
Câu 31 Cho khối trụ có thiết diện qua trục OO′ là một hình vuông cạnh bằng 2 Mặt phẳng ( )P qua
trung điểm I của OO′ và tạo với mặt phẳng chứa đáy góc 30ο Diện tích của thiết diện do ( )P
cắt khối trụ gần số nào sau đây nhất?
A 3, 7 B 3,8 C 3, 5 D 3, 6
L ời giải Chọn D
Do thiết diện qua trục OO′ là một hình vuông cạnh bằng 2 nên chiều cao của hình trụ là h= và 2bán kính đáy là R=1
Giả sử giao tuyến của mặt phẳng ( )P và đáy chứa tâm O là đường thẳng d Gọi E là hình chiếu
của O trên d Khi đó góc giữa ( )P và mặt phẳng chứa đáy là góc 30 OEI = ο
Trong tam giác vuông IOE có 2
33
OI
OE
= ⇒ = = > Do đó điểm E nằm ngoài
đường tròn đáy nên thiết diện là Elip
Gọi AM và CD là trục lớn và trục bé của Elip
Trong mặt phẳng chứa AM và trục của hình trụ, kẻ đường thẳng song song với đáy
của hình trụ và cắt mặt xung quanh của hình trụ tại H Khi đó 30 AMH =OEI = ο Trong tam giác vuông AHM có: 2 4 3
cos
332
Trang 22Câu 32 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp
Gọi H là trung điểm của AB ; Vì SAB∆ đều nên SH ⊥ AB
Mà (SAB) (⊥ ABC)⇒SH ⊥(ABC)⇒SH là đường cao của hình chóp S ABC
Gọi G là trọng tâm của ABC∆
Tam giác ∆ABC đều G ⇒ là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆
Qua G kẻ đường thẳng d song song với SH ⇒ ⊥d (ABC) và d nằm trong mp (SHC)
Xét hai tam giác đều ABC∆ = ∆SAB có độ dài các cạnh bằng 1 suy ra SH =HC
Gọi K là trung điểm của SC , vì SHC∆ vuông cân tại H ⇒HK là đường trung trực ứng với
Câu 33 Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác
đều ABC có cạnh bằng 90 (cm) Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu ( với M N, thuộc cạnh BC ; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và ABđể tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là
Trang 23π với 0< <x 90 Khi đó với 0< <x 90
608
Dựa vào BBT Khi đó: ( )
( 0;90 )
13500 3max
Câu 34 Cho một hình nón đỉnh S , mặt đáy là hình tròn tâm O , bán kính R=6 cm( ) và có thiết diện qua
trục là tam giác đều Cho một hình trụ có hai đường tròn đáy là (O r và ; ) ( )I r , có thiết diện qua ;
trục là hình vuông, biết đường tròn (O r n; ) ằm trên mặt đáy của hình nón, đường tròn ( )I r ti; ếp xúc với mặt xung quanh của hình nón (I thuộc đoạn SO ) Tính thể tích khối trụ.
Trang 24Gọi S là đỉnh, O là tâm của đường tròn đáy của hình nón OM là bán kính đáy SM OM, cắt hai đáy của hình trụ lần lượt tại hai điểm ,B A
Hình nón có bán kính đường tròn đáy R=6 cm( ) và có thiết diện qua trục là tam giác đều nên có
Chiều cao của hình trụ là: h=OI =SO−SI =6 3− x
Do đó, thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông khi và chỉ khi:
Câu 35 Khi sản xuất hộp mì tôm, các nhà sản xuất luôn để một khoảng trống ở dưới đáy hộp để nước chảy
xuống dưới và ngấm vào vắt mì, giúp mì chín Hình vẽ dưới mô tả cấu trúc của một hộp mình tôm (hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa) Vắt mì tôm có hình một khối trụ, hộp mì tôm có dạng hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9 cm( )và bán kính đáy 6 cm Nhà s( ) ản xuất đang tìm cách để sao cho vắt mì tôm có thể tích lớn nhất trong hộp với mục đích thu hút khách hàng Tìm thể tích lớn nhất đó?
Đây thực chất là bài toán khối trụ nội tiếp khối nón, ta có kí hiệu các kích thước như sau:
Gọi h; r lần lượt là chiều cao và bán kính của khối trụ
Ta có thể tích vắt mì tôm được tính bằng 2
Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định:
Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến theo h hoặc r Trước tiên ta cần đi tìm mối liên hệ giữa h và
r Nhìn vào hình vẽ ta thấy các mối quan hệ vuông góc và song song, dùng định lí Thales ta sẽ có:
Trang 25( ) 9 2 0
42
Ta suy ra được với r= 4 thì V đạt GTLN, khi đó V =48π
Câu 36 Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là
một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ) Tính chiều cao x của
khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 x h< <
h x
481
R h
Trang 26Câu 37 Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp , A Bnằm trên đường
tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 0
45 Diện tích xung quanh S xq hình trụ và thể tích V
* Gọi ,M Ntheo thứ tự là trung điểm củaABvàCD Khi đó: OM ⊥ AB vàO N' ⊥DC
Giả sử I là giao điểm của MNvàOO ' Khi đó góc giữa mp(ABCD) và đáy của hình trụ bằng góc
Câu 38 Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O R và ; ) (O R′; ) AB là một dây cung của đường tròn
(O R sao cho tam giác O AB; ) ′ đều và mặt phẳng (O AB′ ) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn
(O R m; ) ột góc 60° Tính theo R thể tích V của khối trụ đã cho.
A
3
77
Trang 27B A
O'
O
Đặt độ dài cạnh AB x= (x>0) và M là trung điểm AB
Vì tam giác O AB′ đều nên O A O B AB x′ = ′ = = 3
2
OM x
Câu 39 Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R= đặt trong một khung hình hộp chữ 10
nhật (như hình vẽ 1) Trong chậu chứa sẵn một khối nước hình chỏm cẩu có chiều cao h= 2Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên
bi (như hình vẽ 2) Cho biết công thức tính thể tích của khối chỏm cầu hình cầu (O R có chi; ) ều
Trang 28Ta có thể tích phần nước dâng lên chính bằng thể tích của viên bi bỏ vào
Thể tích nước ban đầu: 2
Gọi r là bán kính của viên bi
Khi đó thể tích nước sau khi bỏ viên bi vào sẽ là 3 2 3
Khi đó thay các giá trị mà đề đã cho vào phương trình bấm máy tính giải ta được r≈1.019450
(ch ọn A) Bấm máy tính ta thấy có 2 nghiệm, tuy nhiên việc bán kính của viên bi r ≈9.90486xấp
xỉ bằng chậu nước là điều vô lí
Câu 40 Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì khối trụ có thể tích lớn nhất khi bán
Trang 30PH ẦN II:
I KI ẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Kh ối nón
Cho hình nón có bán kính đáy r , đường cao h và đường sinh l
Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: S xq =πrl
Công thức tính diện tích toàn phần của hình nón: 2
Định lý sin trong tam giác (ABC): 2
sin sin sin
Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r
Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq =2πrh
II CÁC D ẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Thiết diện qua trục của hình nón, hình trụ
Thiết diện không qua trục của hình nón, hình trụ
Thiết diện của mặt cầu
DẠNG TOÁN 44: THIẾT DIỆN CỦA HÌNH NÓN, TRỤ, CẦU