Thể tích khối nón- trụ - cầu luyện thi THPT Quốc gia

Tailieumontoan com  Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI NÓN – TRỤ CẦU Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020 Website tailieumontoan com I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Công thức tính thể tích khối chóp 21 3 V r hπ= trong đó chiều cao h và bán kính đáy r Diện tích xung quanh xq nón ,S rl với r là bán kính đường tròn đáy, l đường sinh Diện tích toàn phần của hình nón 2 tp xq áy S S S rl r     đ 2 2 2l h r= + II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Khối Nón Trụ Cầu ( Công thức thể tích khối Nón)  Tính độ dài[.]

V = πr h trong đó chiều cao h và bán kính đáy r

Diện tích xung quanh: Sxq nón  rl, với r là bán kính đường tròn đáy, l đường sinh.

tp xq áy

2 2 2

II CÁC D ẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Khối Nón-Trụ- Cầu ( Công thức thể tích khối Nón)

 Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao

 Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần

 Tính thể tích khối nón, khối liên quan nón

 Bài toán liên quan thiết diện với khối nón

 Hình nón nội tiếp-ngoại tiếp khối chóp

 Toán Max-Min liên quan khối nón

 Toán thực tế, liên môn liên quan khối nón

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BGD 2019-2020)Cho khối nón có chiều cao h= và bán kính đáy 3 r =4 Thể tích của khối nón đã cho bằng

A 16π B 48π C 36π D 4π

Phân tích hướng dẫn giải

D ẠNG TOÁN 8: KHỐI NÓN-TRỤ- CẦU ( CÔNG THỨC THỂ TÍCH KHỐI NÓN)

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thể tích khối nón khi biết chiều cao và bán kính đáy

2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Công thức tính thể tích khối chóp:

2

13

V = πr h trong đó chiều cao h và bán kính đáy r

Thể tích của khối nón đã cho là 1 2 1 2

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay: S xq = π 2 rl

Câu 2 Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 2

3 aπ và có bán kính đáy bằng a Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng:

Diện tích xung quanh của hình nón là: S xq =πrl=4 3π

Câu 5 Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 2

3 a π và bán kính đáy bằng a Tính độ dài đường

sinh l của hình nón đã cho

Câu 7 Cho hình nón tròn xoay có độ dài đường sinh là 2a , góc ở đỉnh của hình nón bằng 60° Thể tích

V của khối nón đã cho là

V =πa B

3

33

Xét tam giác ABC vuông tại A có: sin 30 sin 30 2 1

Câu 8 Gọi l h R, , lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón Mệnh đề

nào sau đây đúng?

Câu 1 Trong không gian, cho tam giác vuông ABC tạiA,AB= vàa AC=a 3 Tính độ dài đường

sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB

A l = a B l=a 2 C l=a 3 D l=2a

Lời giải

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có BC2 = AC2+AB2 =4a2 ⇔BC=2a

Đường sinh của hình nón cũng chính là cạnh huyền của tam giác ⇔ =l BC=2a

Câu 2 Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A, AB a và =  = 30ACB o Tính thể tích V

của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC

A V = πa3 B V = 3πa3 C π

= 3 39

a

= 3 33

a V

Câu 3 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a Hình nón ( )N có đỉnh A có đáy là đường tròn

ngoại tiếp tam giác BCD Tính diện tích xung quanh S của xq ( )N

Vậy toàn bộ thể tích của khối pha lê là: 3

3

38

3

34

3

32

Câu 6 Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác

vuông cân có cạnh huyền bằng a Diện tích xung quanh của hình nón theo a

A

2

24

a

π

C π a2 D πa2 2

Gi ải

Gọi r và l lần lượt là bán kính của đường tròn đáy và đường sinh của hình nón

Ta có tam giác ABC vuông cân tại A 2 2

Gi ải

Gọi O là tâm của đường tròn đáy và ABC là tam giác thiết diện qua trục của hình nón H K,

lần lượt là hình chiếu của O C, lên AB

Câu 8 Mộthình nón có bán kính đường tròn đáy bằng 40 cm, độ dài đường sinh bằng 44 cm Thể tích V

của khối nón này có giá trị gần đúng với giá trị nào sau đây?

Ta có chiều cao hình nón 2 2 ( ) ( )2 2

L ời giải

Thể tích của khối nón là

2 3 41

Câu 1 Cho mặt cầu ( )S tâm O , bán kính R= Mặt phẳng 3 ( )P cách O một khoảng bằng 1 và cắt

( )S theo giao tuyến là đường tròn ( )C có tâm H Gọi T là giao điểm của tia HO với ( )S ,

tính thể tích V của khối nón có đỉnh T và đáy là hình tròn ( )C

Câu 2 Trong hình chóp tứ giác đều S ABCDcó cạnh đều bằng a 2 Tính thể tích V của khối nón

đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD

1

(C) R=3

T

H O

Câu 3 Cho hình nón ( )N có đường sinh tạo với đáy một góc °60 Mặt phẳng qua trục của ( )N cắt

( )N được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 Tính thể tích V

của khối nón giới hạn bởi ( )N

A V =3 3π B V =9 3π C V = π3 D V = π9

L ời giải

Hình nón ( )N có đường sinh tạo với đáy một góc °60 nên SAH = °60

Ta có DSAB cân tại S có A = °60 nên DSAB đều Do đó tâm I của đường tròn nội tiếp

Câu 4 Cho một hình nón có chiều cao =h a và bán kính đáy = 2 r a Mặt phẳng ( )P đi qua S cắt

đường tròn đáy tại A và B sao cho AB = 2 3 a Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn

L ời giải

Có ( ) (P ≡ SAB)

Ta có SO a h OA OB r= = , = = =2 ,a AB=2 3a , gọi M là hình chiếu của O lên AB suy ra

Ta tính được OM= OA MA2− 2 =a suy ra SOM là tam giác vuông cân tại O , suy ra H là

trung điểm của SM nên = = 2

Gọi O là tâm của đường tròn đáy và ABC là tam giác thiết diện qua trục của hình nón H K,

lần lượt là hình chiếu của O C, lên AB

Câu 6 Một hình nón đỉnh S đáy hình tròn tâm O và SO h= Một mặt phẳng ( )P qua đỉnh S cắt đường

tròn ( )O theo dây cung AB sao cho góc  AOB = ° , biết khoảng cách từO đến 90 ( )P bằng

Câu 7 Cho tam giác ABC có AB3, BC5,CA Tính thể tích 7 V của khối tròn xoay sinh ra do hình tam giác ABC quay quanh đường thẳng AB .

Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AB ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng hiệu

thể tích của khối nón có chiều cao h1AH, bán kính đáy CH và khối nón có đường cao

Câu 10 Một tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của một hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên

đường tròn đáy của hình nón đó Tính diện tích xung quanh của hình nón

A

2

33

Tứ diện ABCD đều cạnh a nên 6

3

a

AO = Đường tròn đáy tâm O của hình nón ngoại tiếp

tam giác đều DBCD cạnh a nên bán kính đường tròn là 3

 M ức độ 4

Câu 1 Cho mặt cầu tâm O bán kính R Xét mặt phẳng ( )P thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là

đường tròn ( )C Hình nón ( )N có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn ( )C và có

chiều cao h h( >R Tính h ) để thể tích khối nón được tạo nên bởi ( )N có giá trị lớn nhất

Câu 2 Bên trong hình vuông cạnh a , dựng hình sao 4 cánh đều như hình vẽ bên ( các kích thước cần

thiết cho như ở trong hình vẽ bên)

Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình bên quanh trục xy

A

3

548

Thể tích khối tròn xoay cần tìm bằng 2 lần thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ phần tô vàng quay quanh trục xy

2

a

3 2

Câu 3 Một hình chóp tam giác đều có đỉnh trùng với đỉnh của hình nón và các đỉnh còn lại nằm trên

đường tròn đáy của hình nón Gọi V là th1 ể tích khối chóp tam giác đều và V là th2 ể tích của khối nón Hãy xác định tỉ số 1

2

k V

Giả sử alà cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm H

Suy ra, bán kính đường tròn là: 2 2 3 3

Câu 4 Cho tam giác đều ABC có đỉnh A( )5;5 nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AA′ , M là

trung điểm BC Khi quay tam giác ABM cùng v ới nửa hình tròn đường kính AA′ xung quanh đường thẳng AM (như hình vẽ minh họa), ta được khối nón và khối cầu có thể tích lần lượt là

1

V và V2

Tỷ số

1 2

Gọi độ dài cạnh của tam giác ABC là a

Khi đó khối nón tạo thành có bán kính đáy là:

Câu 5 Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón

có chiều cao 2 dm (mô tả như hình vẽ) Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly

thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột

chất lỏng trong ly thứ nhất còn 1dm Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển (độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi như không hao hụt khi chuyển Tính gần đúng h với sai số không quá 0,01dm)

A'

B

A

A h≈1, 73dm B h≈1,89dm C h≈1, 91dm D h≈1, 41dm

L ời giải

Có chiều cao hình nón khi đựng đầy nước ở ly thứ nhất: AH =2

Chiều cao phần nước ở ly thứ nhất sau khi đổ sang ly thứ hai: AD=1

Chiều cao phần nước ở ly thứ hai sau khi đổ sang ly thứ hai: AF h=

Gọi O là trung điểm AB, M là điểm bất kì trên đường tròn ( )C

.3

Câu 7 Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều Gọi V , 1 V l2 ần lượt là thể tích của khối cầu

nội tiếp và nội tiếp hình nón đã cho Tính 1

B

M I

A

S

Giả sử cạnh của tam giác đều SAB bằng 1

Gọi thiết diện qua trục hình nón là tam giác đều SAB

Gọi I là trọng tâm tam giác đều SAB , khi đó I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón cũng là tâm

mặt cầu ngoại tiếp hình nón

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là 2 2 3 3

Câu 8 Cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt phẳng ( )α

qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc 0

60 tính tỷ số thể tích của hai phần khối nón chia bởi

−

Hướng dẫn giải

Không mất tính tổng quát ta giả sử R=1

Khi cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt phẳng ( )α qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc 0

60 thì ta được thiết diện là một đường parabol có đỉnh là gốc O( )0; 0 và đỉnh còn lại là A( )1;1 , do đó thiết diện sẽ có diện tích là 4

3

S = Xét mặt

phẳng đi qua cạnh đáy của thiết diện vuông góc với hình tròn đáy của hình nón cắt hình nón làm đôi

Gọi đa diện chứa mặt thiết diện đó là ( )H Gọi ( )K là đa diện chứa đỉnh O của hình nón

được sinh bởi khi cắt thiết diện Parabol với đa diện ( )H

Khi đó khoảng cách từ O đến mặt thiết diện là 3

3

π

πππ

Hỏi khi cắt hình quạt theo hình chữ nhật MNPQ (hình vẽ) và tạo thành hình trụ đường PN

trùng MQ (2 đáy làm riêng) thì được khối trụ có thể tích bằng bao nhiêu?

A 3( 13 1)

8π

− B 3( 13 1)

4π

− C 5( 13 1)

12π

− D ( 13 1)

3 0

2

1 132

Câu 10 Cho hình nón có đường cao và bán kính đáy bằng , gọi là điểm trên đoạn

, đặt , là thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục tại , với hình nón Tìm để thể tích khối nón đỉnh đáy là lớn nhất

L ời giải

Ta có là bán kính đường tròn

Thể tích của khối nón đỉnh đáy là là:

13

x h

33