(SKKN 2022) ứng dụng tỉ số thể tích để giải lớp các bài toán về khối đa diện

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Những năm gần đây, trong đề thi THPT Quốc gia, đề thi minh họa của BộGD&ĐT, đề thi thử, đề thi HSG của các Sở GD&ĐT, một số trường trên toàn quốcxuất hiện những bài

MỤC LỤC

PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 1

1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

1.5 Phương pháp nghiên cứu……… … 1

1.6 Đóng góp của đề tài ……… 1

PHẦN II NỘI DUNG SKKN 1

2.1 Cơ sở lí luận của SKKN 1

2.2 Giải pháp để giải quyết vấn đề

4 Dạng 1: Tỷ số thể tích của khối chóp tam giác 4

Dạng 2: Tỷ số thể tích của khối chóp tứ giác 6

Dạng 3: Tỷ số thể tích của khối lăng trụ tam giác 10

Dạng 4: Tỷ số thể tích của khối hộp 11

Dạng 5: Ứng dụng tỷ số thể tích để tính thể tích khối chóp 13

Dạng 6: Ứng dụng tỷ số thể tích để tính thể tích khối lăng trụ 16

Dạng 7: Ứng dụng tỷ số thể tích để tính các yếu tố khác 17

2.3 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục……… 18

PHẦN III KẾT LUẬN 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU

1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Những năm gần đây, trong đề thi THPT Quốc gia, đề thi minh họa của BộGD&ĐT, đề thi thử, đề thi HSG của các Sở GD&ĐT, một số trường trên toàn quốcxuất hiện những bài toán liên qua đến các bài toán về tỷ số thể tích và tính thể tíchcác khối đa diện Nó được thể hiện qua rất nhiều bài toán khác nhau, liên quan đếnnhiều dạng câu hỏi, bài tập, cùng với những hình thức hỏi rất đa dạng

Vì tính quan trọng và ứng dụng của bài toán về thể tích các khối đa diện tôithấy cần có một hệ thống lý thuyết, phương pháp và phân dạng bài tập đối với loại

toán này Do đó tôi chọn đề tài ‘Ứng dụng tỷ số thể tích để giải lớp các bài toán

về khối đa diện ’.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :

Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của tỷ số thể tích các khối đa diện vớicác vấn đề liên quan đến thể tích các khối đa diện Từ đó có thể làm tốt các dạng toánnày, mang lại kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi tốt nghiệp 2021-2022

1.3 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU :

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là: Các bài toán về tỷ số thể tích, thể tíchcác khối đa diện, đặc biệt là khối chóp và khối lăng trụ trong chương trình SGK

12, đề thi TN THPT QG 2020-2021, đề minh họa của Bộ GD&ĐT năm 2022 ,cùng đề thi thử, đề thi HSG của các Sở GD& ĐT và các trường năm học 2019-2020; 2020-2021trên toàn quốc để giải quyết các dạng toán liên quan tỷ số thể tích

và thể tích các khối đa diện

1.4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :

Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết Từ đó mô tả, phân tích và định hướng

để tìm ra biện pháp dạy cho học sinh cách vận dụng vào giải các dạng toán này

1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH :

Sử dụng các phương pháp của giải tích, hình học , đặc biệt là kiến thức , kỷnăng phương pháp tính nhanh về tỷ số thể tích và thể tích của các khối đa diện

1.6 ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

Trình bày một cách hệ thống, khoa học các dạng toán liên qua đến tỷ số thểtích và thể tích các khối đa diện với các ví dụ minh họa, cùng lời giải chi tiết

PHẦN II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1.1 Bổ đề 1  1 Cho khối chóp tam giác S ABC. Mặt phẳng  P cắt các đường thẳng SA SB SC, , lần lượt tại A B C', ', '

S ABC A SBC

và

· ' ' '

1 ' ' ' '.sin ' ' 6

Bổ đề 3 được ứng dụng rất nhiều trong bài toán tìm thiết diện cũng

như thể tích khối đa diện

Khi đó ta có tỷ số  

1 1 1

4 3

ABCMNP ABC A B C

2.2 GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

Dạng 1: Tỷ số thể tích của khối chóp tam giác.

Thí dụ 1. 3 (THPT Nguyễn Khuyến - Nam Định - 2019-2020) Cho khối chóp

.

S ABC, trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điếm A, B, C sao cho

1 3

,

1 3

,

1 3

Gọi V và V lần lượt là thể tích của các

khối chóp S ABC. và S A B C    Khi đó tỉ số

V V

Thí dụ 2  3 (Chuyên Quang Trung - Lần 01 - Năm 2019 - 2020) Cho tứ diện

MNPQ Gọi I J K; ; lần lượt là trung điểm các cạnh MN MP MQ; ; Tỉ số thể

tích

MIJK MNPQ

VìI J K; ; lần lượt là trung điểm các cạnh MN MP MQ; ; nên ta có:

Thí dụ 3. 3 (SGD Bắc Ninh - Năm 2019 - 2020) Cho khối chóp S ABC. có thể

tích V Các điểm B, C tương ứng là trung điểm các cạnh SB, SC Thểtích khối chóp S AB C   bằng.

Dạng 2: Tỷ số thể tích của khối chóp tứ giác.

Thí dụ 4  3 (GK1-K12-THPT- VIỆT ĐỨC - HÀ NỘI -2021) Cho hình chóp

.

S ABCD Gọi A B C D    lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA SB SC SD, , ,

sao cho

1 3

S A B C D

S ABCD

V V

Lời giải Chọn C

Thí dụ 5  3 (SGD Nghệ An-Lần 01-2020-2021) Cho hình chóp S ABCD. có đáy

ABCD là hình bình hành Gọi M N, lần lượt thuộc các cạnh SA SD, saocho 3SM  2SA, 3SN  2SD Mặt phẳng   chứa MN cắt cạnh SB SC, lần

lượt tại Q P, Đặt

SQ x

, V1 là thể tích của khối chóp S MNPQ. , V là thể

tích khối chóp S ABCD. Tìm x để 1

1 2

A

2 58 6

1 41 4

C

1 33 4

D

1 2

x

Lời giải Chọn A

Thí dụ 6  3 (HSG - K12 - SGD Đồng Tháp năm 2021) Cho khối chóp tứ giác

.

S ABCD, mặt phẳng   đi qua trọng tâm các tam giác SAB, SAC, SAD

chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là V1 và V2 V1 V2 Tính tỉ

lệ

1 2

SG SG

Qua P dựng đường song song với CD, cắt SD tại Q

Thiết diện của hình chóp S ABCD. khi cắt bới G G G1 2 3 là tứ giác

Ta có

.

S MNP

S ABC

V V

.

8 19

V

Thí dụ 7  3 (HSG - K12 - SGD Bắc giang - năm 2021) Cho hình chóp S ABCD.

có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K M, lần lượt là các điểm thuộc các

đoạn SB SD, sao cho

S ABCD thành hai khối đa diện Gọi V1 là thể tích khối đa diện chứa điểm

S và V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số

1 2

V

A

1 2

19 46

V

1 2

5 11

V

1 2

17 47

V

1 2

9 23

V

Lời giải Chọn A

Gọi O là giao của AC và BD

Trong SBD gọi I là giao của SO và KM

Trong SAC gọi Nlà giao của SC và AI

SN SC

Ta có

.

V V

Dạng 3: Tỷ số thể tích của khối lăng trụ tam giác

Thí dụ 8  3 (THPT Nguyễn Công Trứ - TP HCM - GHK1 - 2020) Cho lăng trụ

' ' '

ABC A B C Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BB' và CC' Tỉ số thể

tích ' ' '

ABCMN ABC A B C

V

Thí dụ 9 (SGD - BẮC GIANG - LẦN 2 - 2021 ) Cho khối lăng trụ ABC A B C   

có thể tích V Gọi M là trung điểm cạnh BC, điểm N thuộc cạnh CC

sao cho CN  2C N Tính thể tích khối chóp A CMN. theo V

A .

2 9

Thể tích phần nhỏ nhất trong 4 phần được tạo ra bằng bao nhiêu thể tích

Dạng 4: Tỷ số thể tích của khối hộp

Thí dụ 11  3 (Chuyên-Võ Nguyên Giáp- Quảng Bình -l ần 1) Kí hiệu V là thể tích

khối hộp ABCD A B C D    ; V1 là thể tích khối tứ diện BDA C  Tính tỉ số 1

V

A

1 1 3

V

1 1 2

V

Lời giải

Thí dụ 12. 3 (TDM - ĐỀ 22 - 2021) Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M N P, ,

lần lượt là trung điểm các cạnh AA A D B C', ' ', ' ' Mặt phẳng (MNP) chia khối hình hộp thành hai phần có thể tích là V V1 ; 2 trong đó V1 V2 Tỉ lệ thể

tích

1 2

Lời giải Chọn A

Dể dàng tìm được giao tuyến của (MNP) với cạnhBB'là trung điểm Q của

Thí dụ 13  4 (SGD Quảng Bình - Lần 1 ) Cho hình lập phương ABCD A B C D    

cạnh bằng 1 Gọi M là trung điểm cạnh BB Mặt phẳng MA D  cắt cạnh

BC tại K Thể tích của khối đa diện A B C D MKCD    bằng:

A

7

7

1

17 24

Lời giải Chọn D

1 1 1

B MKD B

BM BK B

Thí dụ 14  3 (HSG - K12 – SGD - Lào Cai - 2020 - 2021) Cho hình chóp tứ giác

đều S ABCD. biết AB a , góc giữa hai mặt phẳng SBC và mặt phẳng

ABCD bằng 60  Lấy các điểm M , P lần lượt thuộc các cạnh AD, SC

sao cho

1 2

AM

,

3 5

SP

Gọi N là giao điểm của SD và mặt phẳng

BMP Tính thể tích của khối đa diện S ABMNP.

Thí dụ 15. 3 (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2) Cho hình chóp S ABCD. có đáy

ABCD là hình bình hành Điểm M di động trên cạnh SC, đặt

MC k

MS 

.Mặt phẳng qua A, M song song với BD cắt SB, SD thứ tự tại N , P Thểtích khối chóp C APMN. lớn nhất khi

Lời giải

Giả sử mặt phẳng   đi qua A, M và song song với BD nên

    SBD PN BD// suy ra SD SP  SN SB  x; V V S ABCD. Gọi O là giao điểm

hai đường chéo BD và AC, I là giao điểm của SO và NP

Trong tam giác SAC với trung tuyến SO , AMSO I ta chứng minh

SA SC SO

SA SM  SI

.Trong tam giác SBD với trung tuyến SO , BD SO  I ta chứng minh

Dạng 6: Ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích của khối lăng trụ.

Thí dụ 16  3 (HSG-K12-SGD Thai Binh – Năm 2021) Cho lăng trụ đứng

a

3 3 3

Gọi H là trung điểm BC; trong BB C kẻ HK B C Dễ dàng chứng minh

được AK B C Như vậy góc giữa mặt phẳng AB C  và mặt phẳng

V

V bằng

Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AA'.

12 5

V

Dạng 7: Ứng dụng tỉ số thể tích để tính các yếu tố khác.

Thí dụ 18  3 (Chuyên đề Cực trị HHKG- Nhóm Strong năm 2021) Cho tứ

diện đều SABC có D là điểm thuộc cạnh AB sao cho BD 2AD, I là trung điểm của SD Một đường thẳng d thay đổi qua I cắt các cạnh SA,

SB lần lượt tại M , N Biết AB 2a Khi d thay đổi, thể tích khối chóp

Gọi Hlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì SABC là tứ diện đều

và AB 2a nên suy ra SH ABC, Hlà trọng tâm tam giác đều ABC và

k

 

Theo đề bài, thể tích khối chóp S MNC. nhỏ nhất bằng

3 3.

m n¥, m n,  1 nên ta có m 2,n 3, suy ra m n  5.

2.3 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục

Trong năm học 2020 - 2021, tôi được nhà trường phân công giảng dạy ở lớp12B9 là lớp học Ban KHXH có chất lượng đầu vào của học sinh không được tốt.Năm học 2021-2022 tôi dạy lớp 12A3, 12A5 Trong quá trình giảng dạy, tôi đãmạnh dạn đưa một số bài tập thuộc các dạng đã nêu trong đề tài cùng với địnhhướng phân tích tìm lời giải như đã nêu và trong một số tiết ôn tập, các buổi ôn thitốt nghiệp THPTQG, phần ôn tập đề thi tổng hợp cũng như hệ thống bài tập vềnhà

Qua thực tiễn áp dụng đề tài, tôi nhận thấy đa số học sinh nắm được cácdạng toán này và giải quyết được một cách triệt để các bài toán liên quan đến tỷ sốthể tích và thể tích các khối đa diện trong các kỳ thi Cụ thể như sau:

+ Lớp 12A3 – Không áp dụng đề tài:

Số HS Làm được Không làm được

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ III.1 Kết luận

Đề tài đã nêu được phương hướng áp dụng tỷ số thể tích các khối đa diệnvào một số dạng toán cụ thể mà tôi đã nêu ra trong đề tài Việc sử dụng phươngpháp đã nêu trên, phần nào giúp cho bản thân tôi có được một số định hướng mớitrong quá trình dạy toán cũng như góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo vàham học của học sinh

Đề tài cũng có thể được dùng làm tài liệu tham khảo ôn thi tốt nghiệpTHPT Quốcgia , ôn thi HSG cho đồng nghiệp, học sinh lớp 12

đề nghị cần chỉnh sửa phân phối chương trình toán trung học phổ thông cho hợp líhơn

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Hậu Lộc, ngày 10 tháng 05 năm 2022 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết , không sao chép nội dung của người khác

Phạm Văn Bình

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

 1

Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)  Văn Như Cương (Chủ biên)  Phạm Khắc

Ban-Lê Huy Hùng- Tạ Mân, Hình học 12 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục.

 2 Đề thi THPT Quốc gia năm 2020-2021

 3 Đề thi thử THPT Quốc gia, HSG , năm 2019-2020, năm 2020-2021 của các SởGD& ĐT và một số trường trên toàn quốc

 4 Tham khảo một số sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp

 5 Tham khảo một số nguồn tài liệu trên internet

Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng SKKN Ngành GDhuyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên

1 MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ ĐỒ THỊ HÀM ĐẠO HÀM

Đạt loại B cấp tỉnh-Năm học 2018-2019