Các bài toán liên quan đến hình nón, trụ, cầu Trần Quốc Nam26949

Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm 240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau xem hình minh họa dưới đây :  Cách 1 : Gò tấm t

BÀI TOÁN THỰC TẾ-P2

Các công thức liên quan

1 Hình nón

2 Hình trụ

3 Hình cầu

;

VD1(ĐMH) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm 240cm, người ta làm các

thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây) :

 Cách 1 : Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng

 Cách 2 : Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng

Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng

gò được theo cách 2 Tính tỉ số

VD2: Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng chiều cao của

nó Gọi lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó:

VD3 Khi thiết kế vỏ lon sữa hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí làm vỏ lon là nhỏ nhất Muốn thể tích khối trụ bằng V mà diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính R của đường tròn đáy khối trụ bằng?

A B C D

xq

tp xq day

3

2

xq

tp xq day

V  r h

2

4

3

1 2

V V

1

2

1

2

V

2 1

V

2 2

V

2 4

V

3 4

1, 2

V V

1 2

9V 8V 3V1 2V2 16V19V2 27V18V2

3

2

V

V

V



V



-Thầy Quốc Nam- TY1 ĐT: 0963069271

VD4: Một nhà sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích Biết rằng bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất có giá trị là Hỏi giá trị gần với giá trị nào nhất dưới đây?

VD5: Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:

VD6 Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính

và chu vi của hình quạt là , người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:

1 Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu

2 Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu

Gọi là thể tích của cái phễu thứ nhất, là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2 Tính ?

VD7 Huyền có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Huyền muốn biến hình tròn đó thành một hình cái phễu hình nón Khi đó Huyền phải cắt bỏ hình quạt tròn rồi dán hai bán kính và lại với nhau Gọi là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Tìm

để thể tích phễu lớn nhất ?

VD8: Một tấm vải được quấn 357 vòng quanh một lõi trụ có bán kính bằng 5,678cm, bề dày vải là 0,5234cm Khi đó chiều dài tấm vải gần số nguyên nào nhất dưới đây?

A.330 B 336 C.332 D.222

3

10000cm

5

8 10

1

1

2

V

V

1

2

21

7

V

2

2 21 7

V

2

2 6

V

2

6 2

V

AOB

x

2 6

3 

3



2



4



ThuVienDeThi.com

Đề tự luyện:

Câu 1. Cho hình trụ có bán kính đáy 5 cm chiều cao 4 cm Diện tích toàn phần của hình

trụ này là

Câu 2. Cho hình trụ có bán kính đáy 3 cm, đường cao 4cm, diện tích xung quanh của

hình trụ này là

Câu 3. Một hình trụ có bán kính đáy 6 cm, chiều cao 10 cm Thể tích của khối trụ này

là

Câu 4. Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a Diện tích xung quanh hình

nón bằng

Câu 5. Cho hình nón có bán kính đáy là 3a, chiều cao là 4a thể tích của hình nón bằng

Câu 6. Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a Diện tích toàn phần hình

nón bằng

Câu 7. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc

vuông bằng a Diện tích xung quanh của hình nón bằng

Câu 8. Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường

sinh bằng và thiết diện qua trục là tam giác đều bằng

Câu 9. Cho hình nón có đường sinh l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là

Diện tích xung quanh của hình nón này bằng

Câu 10. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a Gọi A, B lần lượt nằm

trên hai đường tròn đáy, Góc tạo bởi AB với trục của hình trụ đó

bằng: A 300 B.450 C 600 D.900

2

90 ( cm )

2

24 ( cm )

3

320 ( cm )

2

12 a 

3

18 a 

2

36 a 

2 2 2

a

2 3

a

4

a



3

3

0 30

2 3 6

l

3 4

l

3 2

l

3 8

l



2 3 3

-Thầy Quốc Nam- TY1 ĐT: 0963069271

Câu 11. Một hình trụ có bán kính 5cm và chiều cao 7cm Cắt khối trụ bằng một mặt

phẳng song song với trục và cách trục 3cm Diện tích thiết diện tạo bởi khối trụ

và mặt phẳng bằng

Câu 12. Cho mặt cầu có diện tích bằng Khi đó, bán kính mặt cầu bằng

Câu 13. Cho khối cầu có thể tích bằng Khi đó, bán kính mặt cầu bằng

Câu 14: Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, các nhà sản xuất luôn đặt chỉ tiêu sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất, tức là nguyên liệu ( sắt tây) được dùng là ít nhất Hỏi khi đó tổng diện tích toàn phần của lon sữa là bao nhiêu, khi nhà sản xuất muốn thể tích của hộp là

Câu 15 Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao bằng

40cm Người ta cắt vật N1 bằng một mặt cắt song song

với đáy của nó để được một hình nón N2 có thể tích

bằng thể tích N1 Tính chiều cao h của hình nón N2?

A 5cm B 10cm C 20cm D 40cm

Câu 16 Khi thiết kế vỏ lon sữa hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí làm vỏ lon là nhỏ nhất Muốn thể tích khối trụ bằng V mà diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính R của đường tròn đáy khối trụ bằng?

A B C D

Câu 17: Một băng giấy dài được cuộn chặt lại 60 vòng làm thành một cuộn gấy hình trụ rỗng Biết đường kính của đường tròn trong cùng bằng , đường kính của đường tròn ngoài cùng bằng 6 cm Hỏi chiều dài của băng giấy (làm tròn đến 0,1) :

A 747,7 cm B 856,4 cm C 674,6 cm D 912,3 cm

Câu 18: Cho khối gỗ hình trụ có bán kính đáy là 4 (cm) và chiều cao là 12 (cm), đáy là hai hình tròn tâm O và O’ Đục khối gỗ này tạo ra 2 mặt nón có đỉnh I nằm trên OO’ và đáy trùng với 2 đáy của khối gỗ sao cho góc ở đỉnh bằng và Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích xung quanh hai hình nón đã đục

2

2 8 3

a



6 3

3

2

3

a

3

27

a



6 2

3

3

3

a

3

V cm

2 3

3

4

tp

V

3 6 4

tp

V

3 4

tp

V

6 4

tp

V

1

8

3

2

V

V

V



V



2cm

0

60 OI x4 2  x 4 3

ThuVienDeThi.com

VD1(ĐMH) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm 240cm, người ta làm các

thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây) :

 Cách 1 : Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng

 Cách 2 : Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng

Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng

gò được theo cách 2 Tính tỉ số

Giải: Ban đầu bán kính đáy là R , sau khi cắt và gò ta được 2 khối trụ có bán kính đáy

Đường cao của các khối trụ không thay đổi

Ta có:

Khi đó:

VD2: Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng chiều cao của

nó Gọi lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó:

Giải: Gọi h là đường cao của hình trụ, r là bán kính của quả bóng, R là bán kính của chén

hình trụ

=>h=2r

1 2

V V

1

2

1

2

V

2 1

V

2 2

V

2 4

V

2

R

2

1 ; 2 2( 1 ) 2

 

  1

2

2

V

3 4

1, 2

V V

1 2

9V 8V 3V1 2V2 16V19V2 27V18V2

2

h

O

-Thầy Quốc Nam- TY1 ĐT: 0963069271

Theo giả thiết: ( vì phần bên ngoài = )

bán kính đáy của chén hình trụ là

Tỉ số thể tích là

VD3 Khi thiết kế vỏ lon sữa hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí làm vỏ lon là nhỏ nhất Muốn thể tích khối trụ bằng V mà diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính R của đường tròn đáy khối trụ bằng?

A B C D

Giải:

Đặt R=x Ta có

Lập bảng biến thiên ta có f(x) đạt min tại

VD4: Một nhà sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích Biết rằng bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất có giá trị là Hỏi giá trị gần với giá trị nào nhất dưới đây?

Ta có:

Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ phải là bé nhất

4h

4

h

3 3

1

1 2 2

2 2

4 4

8

9 3

4

h r

V

h









 

 

 

3

2

V

V

V



V



 

 

2

3

3

2

2

tp











3 2

V



3

10000cm

a

ThuVienDeThi.com

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

Thể tích của hình trụ là 10000 nên ta có:

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Vậy đáp án là D

VD5: Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:

Giải:

Giả sử bán kính của mỗi quả bóng bàn là r thì khi đó hộp đựng bóng bàn sẽ có kích thước

là 2r x 2r x 6r Khi đó tổng thể tích của ba quả bóng bàn sẽ là

Thể tích của hộp sẽ là Vậy phần không gian còn trống trong hộp sẽ là:

VD6 Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính

và chu vi của hình quạt là , người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:

3 Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu

4 Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu

d 2 2

2

2 2

tp xq

3

cm

2

2

( ) 10000

10000

.

l

R







 

2

tp



2 20000

2

2

3 3

3

20000

5000

5000

a

a

a











 

4

3 .r 4 r

3   

3

2r.2r.6r24r

1

V 24r   4 r 20 r 3

3

20 r 100% 83, 3%

24 r



5

8 10

-Thầy Quốc Nam- TY1 ĐT: 0963069271

Gọi là thể tích của cái phễu thứ nhất, là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2 Tính ?

Giải : Do chu vi của hình quạt tròn là P = độ dài cung + 2R Do đó độ dài cung tròn là

Theo cách thứ nhất: chính là chu vi đường tròn đáy của cái phễu Tức là

Khi đó

Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi của hai đường tròn đáy của hai cái phễu là  chu

vi của một đường tròn đáy là

Khi đó

Khi đó

VD7 Huyền có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Huyền muốn biến hình tròn đó thành một hình cái phễu hình nón Khi đó Huyền phải cắt bỏ hình quạt tròn rồi dán hai bán kính và lại với nhau Gọi là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Tìm

để thể tích phễu lớn nhất ?

1

1

2

V

V

1

2

21

7

V

2

2 21 7

V

2

2 6

V

2

6 2

V

8

8

2 r 8  r 4

2 1

1

.3 4

3

8

4  4  2 r  r 2

2 2

1

2 21.2

3

2 1

2

7

8 21 3

V

AOB

x

ThuVienDeThi.com

A B C D

Giải: Với bài này các em cần nhớ lại công thức tính độ dài cung tròn Độ dài cung tròn

AB dùng làm phễu là:

Thể tích cái phễu là:

Ta có

Vì đây là BT trắc nghiệm nên ta có thể kết luận luôn rằng thể tích của cái phễu lớn nhất khi Vì ta đang xét trên mà

tại duy nhất một điểm thì ta có thể làm nhanh mà không vẽ BBT nữa

Chú ý: Thật cẩn thận trong tính toán, nếu thời gian gấp rút trong quá trình làm bài, bạn có thể để câu này làm cuối cùng vì tính toán và ẩn khá phức tạp

2 6

3 

3



2



4



2

Rx



2

1

4

R



  3 2 2 2

R

x









3

2 6 3

 