Bài 2 rút gọn PHÂN THỨC

LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương pháp rút gọn phân thức - Để rút gọn một phân thức ta thực hiện theo hai bước như sau:  Bước 1.. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Rút gọn phân thức Phương pháp giải

Trang 1

CHƯƠNG 2: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ BÀI 2: RÚT GỌN PHÂN THỨC Mục tiêu

 Kiến thức

+ Vận dụng được quy tắc rút gọn phân thức

 Kĩ năng

+ Biết cách rút gọn một phân thức

+ Tính được giá trị biểu thức hay phân thức

+ Biết cách tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ

nhất) của biểu thức, tìm điều kiện để phép chia hết

Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Phương pháp rút gọn phân thức

- Để rút gọn một phân thức ta thực hiện theo hai bước như sau:

 Bước 1 Phân tích tử và mẫu của phân thức thành nhân tử

để tìm nhân tử chung

 Bước 2 Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

Ví dụ:

Rút gọn phân thức

2 2

2 4

x x x



Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, ta được

2

2 2 ; 2 4 2 2

x  xx x x  x

Nhân tử chung là x 2. Khi đó, ta có

.

x x



II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Rút gọn phân thức

Phương pháp giải

Bước 1 Sử dụng các phương pháp phân tích đa

thức thành nhân tử để biến đổi cả tử và mẫu của

phân thức

Bước 2 Sử dụng các tính chất cơ bản của phân

thức đã học để rút gọn phân thức đã cho

Ví dụ: Rút gọn phân thức

2

x

 với

2

x

Hướng dẫn giải

x  x (mẫu số đã là nhị thức bậc nhất nên không cần phân tích thêm)

Khi đó 2 6 8  2 4

4

x

Vậy kết quả rút gọn

2

4

2

x x



Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Rút gọn phân thức

a)

2

4

x



 với x 2,x2.

b)

2

  với x1.

c)

2

  với x1,x4.

2

4 4

x



3

2 2

1

x



Trang 3

c)    

2

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1 Rút gọn phân thức

2 2

  (với x 1,x 2) ta được biểu thức nào sau đây?

A 1

2

x



2 3

x x



3 2

x x



1 3

x x



Câu 2 Phân thức bằng phân thức

2 3

1 1

x x



 là

A 2 1

1

x



1 1

x



1 1

x



1 1

x



 

Bài tập nâng cao

Câu 3 Rút gọn phân thức

a)

4

2

1

x

2

0

x y 

c)

Dạng 2 Chứng minh đẳng thức

Thực hiện tương tự các bước chứng minh đẳng thức đã học trong các bài cũ

Kết quả ta cần thu được là “vế trái = vế phải”

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Chứng minh đẳng thức 4 3 8 2 2   

x

1 2

x 

4x 8x   x 2 4x x2  x2

Suy ra 4 3 8 2 2 2 1 2 1 2

2x1x2 (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2 Chứng minh đẳng thức

2 2

x

  với x0,x1.

x  x x x x  x x x

Trang 4

   2

x  x x x x  x x x

2 3

2

1 2

x



2

Ta có x63x y4 23x y2 4y6

2



2

   (điều phải chứng minh)

4 3 2 2 2 2

Suy ra

2 2

2

;

x



2 2

2

x



Vậy

2

x

Câu 1 Chứng minh đẳng thức

z



   với ,y z0.

1

Câu 2 Chứng minh đẳng thức:

Trang 5

a)    



    với x 3 ,y y 3 ,x x 4 ,y y 4 x

1



3

1

x

Câu 3 Chứng minh đẳng thức

4

a b c



 với a0,bc.

12,

với , ,a b c0,ab b, c c, a

Dạng 3 Chứng minh phân thức không phụ thuộc vào biến

- Chứng minh phân thức không phụ thuộc vào biến là dạng đặc biệt của chứng minh đẳng thức: vế trái của đẳng thức là một phân thức chứa biến, vế phải của yêu cầu bài toán là một hằng số (hoặc một biểu thức) không chứa biến theo yêu cầu bài toán (bài toán yêu cầu chứng minh biểu thức không phụ thuộc

biến x chẳng hạn)

- Nhưng bài toán sẽ không cho chúng ta biết vế phải đó, chúng ta phải tự biến đổi phân thức bằng những phép tính và kỹ thuật đã có trong tay (rút gọn phân thức, phân tích đa thức thành nhân tử,…) để đi đến kết quả gọn nhất và đúng với yêu cầu bài toán

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

2 2

x M





    với x 1

2x 2 4 x1 x1  4 x1 x1 ;

2

4

M

Vậy M    4, x 1 không phụ thuộc vào biến

Trang 6

Ví dụ 2 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y

2 2

N



   với y 1,y 2,y 3.

           

2 2

1

N

Vậy N   1, y 1,y 2,y 3 không phụ thuộc vào biến

Ví dụ 3 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

2

P

x



 với x 2.

Ta có xy2x2y 4 x y 2 2 y2  x2y2 

2

Vậy P    y 2, x 2 không phụ thuộc vào biến x

Câu 1 Với giá trị nào của x thì

27

3

Câu 2 Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị hằng số với mọi giá trị , ,a b c thỏa mãn

a b b c c a

3

M



Dạng 4 Tính giá trị biểu thức

Bước 1: Yêu cầu bài toán đặt ra là tính giá trị của một biểu thức có sự tham gia của phân thức

Bước 2: Để giải quyết nhanh chóng và hạn chế sai số trong những bài toán tính giá trị biểu thức, ta cần

biết đổi bài toán trở nên gọn nhẹ hơn Một trong số những hướng đi có thể làm chính là rút gọn phân thức với hai bước đã biết

Trang 7

Bước 3: Là bước cuối cùng trong bài toán tính giá trị biểu thức, là bước thế giá trị x theo yêu cầu bài toán

vào biểu thức đã rút gọn

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tính giá trị của biểu thức 3 6 2 12 8 

2 2

x

2

x



Thay x3 vào biểu thức ,P ta được  2

Vậy giá trị của biểu thức P bằng 1 tại x3

Ví dụ 2 Tính giá trị của biểu thức:

1

Q



    tại x1000.

1

Thế x1000 vào biểu thức Q ta được Q1000

Vậy giá trị của biểu thức Q bằng 1000 tại x1000

Câu 1 Chọn khẳng định sai Biểu thức

2 2

2

P

x





A Có biểu thức rút gọn bằng x44x24 B Nhận giá trị là 1 tại x1

C Nhận giá trị là 4 tại x0 D Có biểu thức rút gọn là 2

4 4

x  x

Câu 2 Biểu thức 3 3 2 3 2 3  

,

 nhận giá trị nào tại x1,y1?

Câu 3 Tính giá trị của biểu thức

A



Dạng 5 Tìm x Đưa đẳng thức về dạng ax b x ba 0 

a

Trang 8

Bước 1 Yêu cầu bài toán đặt ra là tìm giá trị x thỏa mãn một đẳng thức có sự tham gia của phân thức Bước 2 Để giải quyết nhanh chóng, ta cần biến đổi đẳng thức trở nên gọn nhẹ hơn Một trong số những

hướng đi có thể làm chính là rút gọn phân thức với hai bước đã biết

Bước 3 Là giải quyết bài toán tìm x thông thường

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm x thỏa mãn đẳng thức

0

27

3;

x

3

64

4

x

Do đó

0

x   x

2x 7 0

7

2

x

Vậy 7

2

x

Ví dụ 2 Tìm x thỏa mãn đẳng thức   

0



Ta có  4  3   2  2     2 

x x  x x  x

 2 2  2 

Trang 9

      



1

x

 

      

Vậy x 1

Câu 1 Tìm x thỏa mãn đẳng thức 2 AB với  3 2   

3

; 1

A

x



2

4

x



Câu 2 Tìm x thỏa mãn đẳng thức

2

x



Trang 10

ĐÁP ÁN BÀI 2 RÚT GỌN PHÂN THỨC

Câu 1 Chọn C

2

Câu 2 Chọn D

2

Câu 3

a)

2

4

2





   2   4 

x4x2 x 3

Câu 1

2 2



Trang 11

    



1 xy 1 

Câu 2

a) Ta có



4

b) Ta có

  

1

  

1

Trang 12

c)

Câu 3



 

4

b)  2 bc ca 2ab   2 b c a    a c b 

a b c

Các hạng tử còn lại tương tự, vậy ta có vế trái sau khi biến đổi

 2 bc ca 2ab   2 ca ab2bc   2 ab bc 2ca

Nhận thấy những nhóm hạng tử mới có dạng giống câu a) nên có thể chứng minh mỗi hạng tử đều có giá trị bằng 4, vậy tổng bằng 12

Câu 1 Chọn A

27

Câu 2

3

M

Trang 13

         

2

a b b c c a



2

a b c a

Vậy M  3 là hằng số với mọi a b b,  c c,  a

Câu 1 Chọn D

Ta có

2

Với x0 thì P4; với x1 thì P1

Vậy đáp án sai là D

Câu 2 Chọn C

2



Thay x1,y1 vào biểu thức sau khi rút gọn, ta được  2

1 1 4

Vậy giá trị của biểu thức tại x1,y1 là 4

Câu 3

Ta có

A



1

x

Thế x 2vào biểu thức A ta được A    2 1 1

Vậy biểu thức A 1 tại x 2

Trang 14

Câu 1

A

2 2

1

x

2

Ta có 2A B 2x    1 x 2 x 0.(thỏa mãn)

Vậy x0 là giá trị thỏa mãn bài toán

Câu 2

Ta có

   

2 2

1

x

2

Vậy x1 là giá trị thỏa mãn bài toán

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	1,69 MB