DẠNG TOÁN 09: RÚT GỌN BIỂU THỨC LÔGARIT ĐƠN GIẢNI.. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tính giá trị biểu thức chứa lôgarit... DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán: Rút gọn biểu thức lôgarit đơn giả
Trang 1DẠNG TOÁN 09: RÚT GỌN BIỂU THỨC LÔGARIT ĐƠN GIẢN
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Định nghĩa:
Cho hai số dương a, b
với a≠1
Số α
thỏa mãn đẳng thức aα =b
được gọi là lôgarit cơ số a của
b
và kí hiệu là
loga b
Ta viết α =loga b⇔aα =b.
2 Các tính chất: Cho a>0
, b>0
, a≠1
ta co
• loga a=1, log 1 0a =
•
loga b , log ( )
a
3 Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a, 1
b
, 2
b
với a≠1
, ta co
• log ( ) loga b b1 2 = a b1+loga b2
4 Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a, 1
b
, 2
b
với a≠1
, ta co
•
1
2
loga b loga b loga b
• Đặc biệt với a b, >0, a≠1
thì
1 loga loga b
b = −
5 Lôgarit của lũy thừa: Cho a>0
, b>0
, a≠1 , với mọi α
, ta co
• loga b = loga b
• Đặc biệt
1
n
=
6 Công thức đổi cơ sô: Cho 3 số dương a, b
, c với a≠1
, c≠1
ta co
•
log
log
log
c a
c
b b
a
=
• Đặc biệt
1 log
log
a
c
c
a
=
và
1 logaα b= loga b
α
, với α ≠0
Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên
Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10, ta viết 10
log b=logb=lgb
Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e, ta viết
loge b=lnb
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tính giá trị biểu thức chứa lôgarit
Trang 2 Các mệnh đề liên quan đến lôgarit
…
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021)Với a là số thực dương tùy ý, log 9a3( )
bằng
A
3
1
log
2 log a
3
log a
2 log a+
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán: Rút gọn biểu thức lôgarit đơn giản.
2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Áp dụng công thức loga( )b c =loga b+loga c
B2: log 9a3( ) =log 9 log a3 + 3 = +2 log a3
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải Chọn D
Áp dụng công thức loga( )b c =loga b+loga c
Do đo log 9a3( ) =log 9 log a3 + 3 = +2 log a3
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 1
Câu 1 Với a là số thực dương tùy ý, ( )2
2
log a
bằng
2 log a+
2log a
2
1 log
2
1 log
Lời giải Chọn B
Với a>0
thì ( )2
2
2
log a
= =2 log a2
Câu 2 Với a là số thực dương tùy ý, log 2a2( )
bằng
2 log a+
2log a
1 log a+
2
1 log
Lời giải Chọn C
Với a>0
thì log 2a2( ) =log 2 log a2 + 2 = +1 log a2
Câu 3 Với a là số thực dương tùy ý, ( )2
2
log 8a
bằng
2 log a+
3 2log a+
2
1 log
2
1 log
Lời giải Chọn B
Trang 3Với a>0
thì ( )2
2
log 8 log a
= + = +3 2 log a2
Câu 4 Cho 2
log
với m>0
, m≠1 Đẳng thức nào dưới đây đúng?
A
3 log 8m m a
a
+
=
C
3 log 8m m a
a
−
=
Lời giải Chọn A
Ta co
log 8m m =logm m+log 8m = +1 log 2m 3 = +1 3log 2m = +1 3a =3 a+a
Câu 5 Với a, b
là các số thực dương tùy ý, ( )2
2
log a b
bằng
A. 2 log+ 2( )a b
2 log a+log b
C. 2
log a b+
D. log ( )a b
Lời giải Chọn B
Với a>0
, b>0 thì ( )2
2
log a b ( )2
log a log b
Câu 6. Cho 2
log x m=
Tính giá trị của biểu thức
2
theo m
A 2
m
−
m
Lời giải Chọn A
Ta co
2
A= x + x + x 2log2 3log2 1log2
2
1 log
= −
= 2
m
−
Câu 7 Với a là số thực dương tùy ý,
2
16 log
a
bằng
8 log a−
2log a
4 log a−
16 log a−
Lời giải Chọn C
Với a>0
thì
2
16 log
a =log 16 log a2 − 2 = −4 log a2
Câu 8 Cho a b, là các số thực dương với a≠1
,
log a b
biểu diễn theo
loga b
là
A.
2loga b
−
1 log
2 a b
−
1 log
2 a b
2 loga b
Lời giải
Trang 4Chọn D
Với
a b>
và a≠1
, ta co
log a b=
1 log 1 2
a b=
÷
2 loga b
Câu 9 Với x>0
, y>0 , a>0 và a≠1
, cho
loga x= −1
và
loga y=4
Tính P=loga(x y2 3)
A. P=3
C. P= −14
Lời giải Chọn B
Với x>0
, y>0 , a>0
và a≠1
, ta co
P= ( 2 3)
loga x +loga y = 2loga x+3loga y=10
Câu 10 Với a, b
là các số thực dương tùy ý,
2
2 4 log a
b
bằng
A. 2a−4b
2log a−4log b
log a−2log b
D.
4 2
log a b−
Lời giải Chọn B
Với a>0
, b>0 thì
2
2 4 log a
b
= − =2 log2a−4log2b
Mức độ 2
Câu 1. Với các số thực dương a, b
bất kì Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A
3
2 log a 1 3log a log b
b
3
3
a
b
C
3
2 log a 1 3log a log b
b
3
3
a
b
Lời giải Chọn A
Ta co
3 2
2 log a
b
log 2a log b
log 2 log a log b
= + − = +1 3log2a−log2b
Câu 2. Cho a>0
, b>0 và a≠1
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A
( ) 2
1
B
( ) 2
1
C loga2( )ab = +2 2log a b
D
( ) 2
1 1
Lời giải Chọn D
Trang 5Với a>0
, b>0 và a≠1
ta co loga2( )ab 1log ( )
2 a ab
1 1
log
= +
Câu 3. Cho 6
log 9=a
Tính 3
log 2 theo a
A.
2
a a
+
2
a a
−
2 a
a
−
a a
−
Lời giải Chọn C
2 log 2.3
a
⇔ =
3
2 log 2 1
a
2
a
−
Câu 4. Cho 5
log 2 a=
, 5
log 3 b=
Khi đo giá trị của
5
4 2 log 15 tính theo a và b
là
A.
2
a b− −
2
a b− +
2
a b+ −
2
a b+ +
Lời giải Chọn A
Ta co
5
4 2 log
15 =
1
2 2
5 1 1
2 2
2 2 log
3 5
=
5 2
5 1 1
2 2
2 log
3 5
log 3 log 5
2a 2b 2
2
a b− −
=
Câu 5 Cho 2
log 3 a=
, 2
log 7 b=
Biểu diễn 2
log 2016
theo a và b
A 2
log 2016 5 3= + a+2b
log 2016 5 2a b= + +
C 2
log 2016 2 2= + a+3b
log 2016 2 3= + a+2b
Lời giải Chọn B
Ta co 2
log 2016 ( 5 2 )
2
log 2 3 7
log 2 log 3 log 7
= + + = +5 2log 3 log 72 + 2
Do đo 2
log 2016 5 2a b= + +
Câu 6. Cho Cho a>0
, b>0
, c>0
và a≠1
, b≠1
Rút gọn biểu thức 2
log ( ).log (a b ) log ( )a
bằng biểu thức nào sau đây?
A
loga c
loga b
loga bc
Lời giải
Trang 6Chọn C
Ta co
2
log ( ).log (a b ) log ( )a
A= b bc − c 2log log1 ( ) log ( )
2
1
2 log log log log
2
= + − =log 1 loga b( + b c)−loga c
loga b log loga b b c loga c
Câu 7. Cho
0
a>
, b>0 và a≠1
, b≠1 Đặt
loga b m=
, tính theo m giá trị của
2
3
loga log b
A
2
2
−
m m
2 12 2
−
m m
2−12
m m
2 3 2
−
m m
Lời giải Chọn B
Do b≠1
nên
loga b m= ≠0
Khi đo
loga b m= logb a 1
m
Ta co
2
3
loga log b
1 2
2
1 log 6 log
m m
−
Câu 8. Cho
loga c x= >0
và
logb c= >y 0
Khi đo giá trị của
logab c
theo x, y
là
A.
x+ y
1
xy
xy
x y+
Lời giải Chọn C
Ta co
1 log
log
ab
c
c
ab
logc a logc b
=
+
1
loga c logb c
=
+
1
1 1
=
x y
= +
Câu 9. Cho 2
log 5 a=
, 3
log 5 b=
Khi đo 6
log 5 tính theo a và b là
A.
ab
a b+
1
a b+
a +b
Lời giải Chọn A
Ta co 6
log 5 5
1 log 6
1 log 2.3
=
1 log 2 log 3
=
1
log 5 log 5
=
+
1
1 1
a b
=
a b
= +
Câu 10. Với 27
log 5 a=
, 3
log 7 b=
và 2
log 3 c=
, giá trị của 6
log 35
tính theo a, b
, c là
Trang 71
a b c b
+ +
1
a b c c
+ +
1
a b c a
+ +
1
b a c c
+ +
Lời giải Chọn B
Ta co 27
log 5 a= 1 3
log 5
3
log 5 3a
Khi đo 6
log 35
3 3
log 35 log 6
3
log 5 log 7 log 2 1
+
=
+
3 1 1
a b c
+
=
1
a b c c
+
= +
Mức độ 3
Câu 1. Cho a>0
, b>0 thỏa mãn
4a +9b =13ab
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A
+
1
C log 2a+3b =log a+2 log b
+
Lời giải Chọn A
Ta co
5
a + b = ab⇔ a+ b = ab⇔ + = ab
Lấy logarit thập phân
+
Câu 2. Cho a>0
, b>0 thỏa mãn
2 2 14
a +b = ab
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A
1
a b
B 2 log( 3a+log3b) =log 143( ab)
C log3(a b+ ) =2 log( 3a+log3b)
1
2
Lời giải Chọn A
Ta co
2 2 14
a +b = ab ( )2
16
2
4
a b
ab
+
Lấy logarit cơ số 3
hai vế ta được
( )
2
4
a b
ab
+
4
a b
+
1
a b
+
Trang 8
Câu 3. Cho các số dương a b c, , khác 1 thỏa mãn loga( )bc =2
, logb( )ca =4
Tính giá trị của biểu
thức logc( )ab
A
6 5
8 7
10 9
7 6
Lời giải Chọn B
Ta co
( )
loga bc =2 log ( )
2 log
c c
bc a
log
c c
b a
+
2 logc a logc b 1
(1)
và logb( )ca =4 log ( )
4 log
c c
ca b
log
c c
a b
+
logc a 4logc b 1
(2)
Từ (1) và (2) ta co
5 log
7 3 log
7
c
c
a b
⇒logc( )ab =logc a+logc b = +5 37 7 =87
log 5=a; log 7=b
, 2
log 3 c=
Giá trị của 12
log 35
bằng
A
3
b ac c
+ +
2
b ac c
+ +
1
b ac c
+ +
2
b ac c
+ +
Lời giải Chọn D
log 5= ⇒a log 5 3= a
8
log 7 b= ⇒log 7 3b2 =
log 5 log 3.log 5 3ac= =
Ta co 12
log 35
2 2
log 35 log 12
log 7 log 5 log 4 log 3
+
=
+ =3b c++32ac
Câu 5. Cho 3
log 5
a=
log 7
b=
log 3
c=
Tính
log log log log
theo a, b
, c
A.
1 2
c ac I
c b
+ +
=
2
1 2
c ac I
c b
+
=
1 2
c ac I
c b
=
D.
1 2
c ac I
c b
+ −
=
Lời giải Chọn A
Từ giả thiết suy ra 2
log 5=log 3log 52 3 =a c.
Trang 9
Ta co
log log log log
.log
log150 log126
=
126 log 150
log 150 log 126
1 log 3 2log 5
1 2log 3 log 7
= + + =11 2+ ++c c b2+ac.
Câu 6. Đặt 3
log 4
a=
log 4
b=
Hãy biểu diễn 12
log 80
theo a và b
A
12
2
ab b
+
= +
2 12
ab
−
=
C
2 12
ab b
−
= +
12
2
ab
+
=
Lời giải Chọn A
Ta co
4 12
4
log 80 log 80
log 12
4
log 80 log 12
=
( )
( )
2 4
4
log 4 5 log 4.3
4
2 log 5
1 log 3
+
= +
1 2 1 1
b a
+
=
ab b
+
= +
Câu 7. Cho x y z, , là các số thực dương tùy ý khác 1 và xyz≠1
Đặt
logx
, logz
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
( 3 2) 3 2
log
1
xyz
ab a
y z
a b
+
= + +
( 3 2) 3 2 logxyz y z ab b
ab a b
+
= + +
C.
( 3 2) 3 2 logxyz y z ab a
ab a b
+
= + +
( 3 2) 3 2
log
1
xyz
ab b
y z
a b
+
= + +
Lời giải Chọn C
Do
logx
, logz
nên
1 logy z
b
= ,
logx z log logx y y z a
b
Ta co
( )
( )
3 2
log log
log
x xyz
x
y z xyz
+
=
1
a a b a a b
+
=
ab a b
+
= + +
Câu 8. Tính
5 5 5 5
5 5 log log 5
(n dấu căn) theo n
A −n.
B 3 n
C −3 n
D 2 n
Lời giải Chọn A
Ta co
5 5 5 55 515
n
÷
=
1 5
log log 5
n C
÷
⇒ =
1 log 5
n
= −n
Trang 10
Câu 9. Cho a, b
, c là các số thực thỏa c b a> > >1
và
6loga b logb c loga c 2logb c 1
Mệnh đề
nào sau đây đúng?
A.
logb c=2loga b+1
B
logb c=2loga b−1
C.
3loga b+logb c=1
D.
3loga b−logb c=1
Lời giải Chọn A
Ta co
6loga b logb c loga c 2 logb c 1
− = − − ⇔6log2a b−log2b c=loga c log b− a −2logb c+1
6 loga b logb c loga b logb c log b a 2 logb c 1
Đặt
loga
, logb
Ta co 6x2−y2 =xy x− −2y+ ⇔1 6x2+ −(1 y x y) − 2+2y− =1 0
1 y 24 y 2y 1 25y 50y 25 25 y 1
Suy ra
3 12
1
2 12
x
y
x
Vì c b a> > >1
nên
loga loga 1
và
logb logb 1
Suy ra 3x y+ >1
nên nhận y−2x=1⇔ logb c−2loga b=1⇔logb c=2loga b+1
Câu 10 Cho n>1
là một số nguyên Giá trị của biểu thức 2 3
log n! log+ n!+ +logn n!
bằng
A 0
D 1
Lời giải Chọn D
Vì n>1
, n∈¢
log n! log ! log+ n + n!+ +logn n!
log 2 log 3 log 4 logn n n n n
= + + + + =logn!(2.3.4 n) =logn!n! 1=
Mức độ 4
Câu 1. Co tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức
log a+log a+log a=log log loga a a
Lời giải Chọn A
Trang 11Ta co
log a+log a+log a=log log loga a a
log a log 2.log a log 2.log a log log 5.log loga a a
log 1 log 2 log 2a log log 5.loga a
log 1 log 2 log 2 log 5.loga a 0
2
2
1 log 2 log 2 log 5.log 0
a
a
=
5
3
1
1 log 2 log 2 log
log 5
a a
=
= ±
1 log 2 log 2 log 5
1 5
a a
±
=
⇔
=
Vậy co 3 số dương a thỏa mãn đẳng thức 2 3 5 2 3 5
log a+log a+log a=log log loga a a
Câu 2. Cho a>0
, a≠1 , tìm số nguyên dương n sao cho
3
log 2021 2 log 2021 3 log 2021 a + a + a + +n log 2021 1010n a = ×2021 log 2021a
A 1010
Lời giải Chọn C
Ta co
2log 2021n a
n =n n2 .log 2021a =n3log 2021a
, suy ra
3
log 2021 2 log 2021 3 log 2021 a + a + a + +n log 2021n a =(13+ + +23 n3).log 2021a
2
( 1)
.log 2021
n n+
=
Do đo
3
log 2021 2 log 2021 3 log 2021 a + a + a + +n log 2021 1010n a = ×2021 log 2021a
2
( 1)
.log 2021 1010 2021 log 2021
n n+
2
( 1)
1010 2021 2
n n+
2( 1)2 20202 20212
n n
(với n là số nguyên dương)
Câu 3. Cho a,b
là các số dương thỏa mãn b>1
và a b a≤ <
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
loga 2log b
b
a
b
A 6
Lời giải Chọn C
Trang 12Ta co:
log
4 log 1 log
b
b b
a
a b
log
4 log 1
b
b b
a
a a
−
Đặt
logb
, khi đo do a b a≤ < ⇒logb( )a ≤ ≤1 logb a 1
2
t t
⇒ < < ⇔ < <1 t 2
Ta co
1
t
t
−
, với t∈( )1; 2
Xét hàm số
1
t
t
−
với t∈( )1; 2
, với ( )2
1
1
f t
t
−
−
Ta co f t′ =( ) 0 ( )2 1
1 4
t
3 2 1 2
t t
=
⇔
=
Bảng biến thiên của hàm số
1
t
t
−
với t∈( )1; 2
Từ bảng biến thiên suy ra
2
f t = f =
÷
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 5
Câu 4 Cho a, b
, x là các số dương, khác 1 và thỏa mãn
4 loga x+3logb x=8log loga x b x
(*) Khi
đo mệnh đề (*) tương đương với mệnh đề nào sau đây?
A.
3 2
a =b
B x ab=
2
a b=
3 2
a =b
hoặc
2
a b=
Lời giải Chọn D
Đặt
loga
, logb
; khi đo do x≠1
nên m≠0
, n≠0
Trang 13Ta co
4 loga x+3logb x=8log loga x b x
trở thành
4m +3n =8mn
2
1 2 3 2
m n m n
=
⇔
=
hoặc
2
3 2
m n
=
⇔
=
Ta co 2m n=
1
2
a b
⇔ =
Ta co
3m=2n 1log 1log
Câu 5. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn
ln x+9 ln y=6 ln lnx y
Giá trị của biểu thức
( 3)
1 log 3log
M
=
bằng
A.
1 2
M = −
1 4
M =
1 2
M =
Lời giải Chọn D
Ta co
ln x+9ln y=6ln lnx y ⇔ln2 x−6ln lnx y+9 ln2 y=0 ( )2
lnx 3lny 0
lnx 3lny 0
⇔ − = ⇔lnx−3lny=0 ⇔lnx=3lny ⇔lnx=lny3 ⇔ =x y3
Ta co
( 3)
1 log 3log
M
=
3
3
1 log log
2 4log 9
=
− + + 1 log2 4log( log9 )
=
− + + 2 4log 101 2log( )
x x
+
=
− +
1 2log
2 4 4log
x x
+
=
− + +
1 2 log
2 4 log
x x
+
= +
1 2
=
Câu 6. Cho a>1
, b>0
, c>0
và thỏa mãn
4
bc
bc + b c + + + −c =
Số bộ
(a b c, , )
thỏa mãn điều kiện đã cho là
A 0
Lời giải Chọn B
Ta co
4
bc
4
bc b c bc
2
1 0 2
bc bc
nên
4
bc
b c + ≥b c
,
Trang 14mà a>1
do đo
4
bc
bc + b c + + + −c ≥ bc + b c + + −c
nên co
4
bc
Mặt khác
4
bc
bc + b c + + + −c =
nên
4
bc
bc + b c + + + −c =
( )
2
1 2
a bc c bc
= −
=
2 1 4 2
a b c
=
⇒ =
=
Co 1 bộ số (a b c, , )
thỏa mãn bài toán
Câu 7. Cho x>1
và thỏa mãn log log2( 8x)=log log8( 2x)
Khi đo giá trị của ( )2
2
log x
bằng
A
1 3
Lời giải Chọn C
Ta co log log2( 8x) =log log8( 2x) (3 )
1
1
3
1
log x 27 log x
2
log x 27
(do 2
log x>0
)
Vậy ( )2
2
log x =27
Câu 8. Cho hàm số
2 2
( ) log
Tính giá trị của biểu thức
T = f + f + + f
A.
2021 2
T =
B. T =2021
C. T =2020
D. T =1010
Lời giải Chọn C
Ta co f (1−x) ( ) (2 )
2
2 2
log
, nên
Trang 15( ) (1 )
f x + f −x
2
log
Do đo
T = f + f + + f
Câu 9. Cho các số thực a, b
thỏa mãn a b> >1
và
2020 logb a+loga b =
Giá trị của biểu thức
logab logab
P
bằng
Lời giải Chọn B
Do a b> >1
nên
loga b>0
,
logb a>0
và
logb a>loga b
Ta co
2020 logb a+loga b =
logb a loga b 2020
⇔ + = ⇔log2b a+log2a b+ =2 2020
logb a loga b 2018
Khi đo
logb loga
P= ab− ab =logb a+logb b−loga a−loga b =logb a−loga b
logb loga
P = a− b =log2b a+log2a b−2 =2018 2 2016− = ⇒ =P 2016
Câu 10. Cho x= 2021!
Tính giá trị của
A
A. A=2021
B. A=4042
C. A=2020
D. A=1010
Lời giải Chọn B
A
log 2x log 3x log 2020x log 2021x
2021.log 2 2021.log 3 2021.log 2020 2021.log 2021x x x x
Trang 16( )
2021 log 2 log 3 log 2020 log 2020x x x x
2021!
2021.log 2021!