NW359 360 DẠNG 09 rút gọn BIỂU THỨC LÔGARIT đơn GIẢN GV

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1.. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tính giá trị biểu thức chứa lôgarit... Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Định nghĩa:

Cho hai số dương a , b với a�1 Số  thỏa mãn đẳng thức a b

được gọi là lôgarit cơ số a của

bvà kí hiệu là loga b Ta viết  loga b�a b

2 Các tính chất: Cho a0, b0 , a�1 ta co

 loga a1, log 1 0a 

 loga b , log ( )

a

a b a 



3 Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a , b , 1 b với 2 a�1, ta co

 log ( ) loga b b1 2  a b1loga b2.

4 Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a , b , 1 b với 2 a�1, ta co



1

2

loga b loga b loga b

 Đặc biệt với a b, 0, a�1 thì

1 loga loga b

b  

5 Lôgarit của lũy thừa: Cho a0, b0 , a�1, với mọi , ta co

 loga b loga b.

 Đặc biệt

1

a b a b

n



6 Công thức đổi cơ sô: Cho 3 số dương a , b , c với a�1, c�1 ta co



log

log

log

c a

c

b b

a



 Đặc biệt

1 log

log

a

c

c

a



và

1 loga b loga b

 , với  �0.

Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên

 Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10, ta viết log10blogblgb

 Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e , ta viết log e blnb.

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Tính giá trị biểu thức chứa lôgarit

 Các mệnh đề liên quan đến lôgarit

 …

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021)Với a là số thực dương tùy ý, log 9a3 

bằng

1

log

3

Phân tích hướng dẫn giải

DẠNG TOÁN 09: RÚT GỌN BIỂU THỨC LÔGARIT ĐƠN GIẢN

B1: Áp dụng công thức loga b c loga bloga c.

B2: log 9a3  log 9 log a3  3  2 log a3 .

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Áp dụng công thức loga b c loga bloga c.

Do đo log 9a3  log 9 log a3  3  2 log a3 .

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1 Với a là số thực dương tùy ý,  2

2

log a

bằng

A 2 log a 2 . B 2log a 2 C 2

1 log

1 log

Lời giải

Chọn B

Với a0 thì  2

2

2

log a

 2 log a2 .

Câu 2 Với a là số thực dương tùy ý, log 2a2 

bằng

A 2 log a 2 . B 2log a 2 C 1 log a 2 . D 2

1 log

Lời giải

Chọn C

Với a0 thì log 2a2  log 2 log a2  2  1 log a2 .

Câu 3 Với a là số thực dương tùy ý,  2

2

log 8a

bằng

A 2 log a 2 . B 3 2log a 2 . C 2

1 log

1 log

Lời giải

Chọn B

Với a0 thì  2

2

log 8 log a

   3 2 log a2

Câu 4 Cho alog2m với m0, m�1 Đẳng thức nào dưới đây đúng?

A

3 log 8m m a

a





C

3 log 8m m a

a





Lời giải Chọn A

Ta co log 8m m logm mlog 8m  1 log 2m 3  1 3log 2m  1 3a 3 aa .

Câu 5 Với a , b là các số thực dương tùy ý,  2

2

log a b

bằng

A 2 log 2 a b . B 2 log2alog2b. C log a b2  D log  a b

Lời giải

Chọn B

Với a0, b0 thì  2

2

log a b  2

Câu 6. Cho log x m2  Tính giá trị của biểu thức 2 2 1 3 4

2

A x  x  x

theo m

A 2

m



m

Lời giải Chọn A

Ta co

2

A x  x  x 2log2 3log2 1log2

2

 

= 2

m



Câu 7 Với a là số thực dương tùy ý, 2

16 log

a bằng

A 8 log a 2 . B 2log a 2 C 4 log a 2 . D 16 log a 2 .

Lời giải

Chọn C

Với a0 thì 2

16 log

a log 16 log a2  2  4 log a2 .

Câu 8 Cho a b, là các số thực dương với a�1, log a b

biểu diễn theo loga b là

A 2log a b. B 12loga b

1 log

2 a b

D 2 loga b

Lời giải Chọn D

Với a b, 0và a�1, ta co log a b

1 log 1 2

a b

� �

� �

� � 2 loga b

Câu 9 Với x0, y0, a0 và a�1, cho loga x  và log1 a y Tính 4 Plogax y2 3

A P3. B P10. C P 14. D P65.

Lời giải Chọn B

Với x0, y0, a0 và a�1, ta co

Plogax y2 3  loga x2loga y3  2loga x3loga y10.

Câu 10 Với a , b là các số thực dương tùy ý,

2

log a

b

� �

� �

� � bằng

A 2a4b. B 2log2a4log2b. C log2a2log2b. D 4

2

log a b . Lời giải

Chọn B

Với a0, b0 thì

2

log a

b

� �

� �

 Mức độ 2

Câu 1. Với các số thực dương a , b bất kì Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

3

2 log a 1 3log a log b

b

3

3

a

b

C

3

2 log a 1 3log a log b

b

3

3

a

b

Lời giải Chọn A

Ta co

3 2

2 log a

b

log 2a log b

log 2 log a log b

    1 3log2alog2b.

Câu 2. Cho a0, b0 và a�1 Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A 2 

1

a ab  b

B 2 

1

a ab  b

C loga2 ab  2 2log a b D 2 

1 1

a ab   b

Lời giải Chọn D

Với a0, b0 và a�1 ta co loga2 ab 1log  

1 1

log

 

Câu 3. Cho log 96  Tính a log 2 theo a 3

A.

2

a a



2

a a



2 a a



a a

 .

Lời giải Chọn C

Ta co log 9 2log6   2.3 3 3 

2 log 2.3

a

�

3

2 log 2 1

a

 

a





�

Câu 4. Cho log 2 a5  , log 3 b5  Khi đo giá trị của 5

4 2 log

15 tính theo a và b là

A.

2

a b 

2

a b 

2

a b 

2

a b 

Lời giải Chọn A

Ta co 5

4 2 log

15 

1

2 2

2 2

2 2 log

3 5



5 2

2 2

2 log

3 5

log 3 log 5

2a 2b 2

2

a b 



Câu 5 Cho log 3 a2  , log 7 b2  Biểu diễn log 2016 theo a và 2 b.

A log 2016 5 32   a2b. B log 2016 5 2a b2   

C log 2016 2 22   a3b. D log 2016 2 32   a2b.

Lời giải

Chọn B

Ta co log 20162  5 2 

2

log 2 3 7

log 2 log 3 log 7

    5 2 log 3 log 72  2

Do đo log 2016 5 2a b2   

Câu 6. Cho Cho a0, b0, c0 và a�1, b�1 Rút gọn biểu thức

2

log ( ).log (a b ) log ( )a

A b bc  c bằng biểu thức nào sau đây?

A loga c B 1 C loga b D loga bc

Lời giải Chọn C

Ta co Alog ( ).log (a b2 b bc) log ( ) a c 2log log1   log  

2

a b b bc a c

1 2log log log log

2

a b b b b c a c

loga b log loga b b c loga c

   loga bloga cloga c log a b.

Câu 7. Cho a0, b0 và a�1, b�1 Đặt loga b m  , tính theo m giá trị của 2

3

loga log b

P b a

A

2

2



m

2



m

212

m

2



m

m

Lời giải Chọn B

Do b�1 nên loga b m � Khi đo log0 a b m logb a 1

m



�

3

loga log b

P b a

1 2

2

a b b a

1

m m



Câu 8. Cho loga c x  và log0 b c  Khi đo giá trị của logy 0 ab c theo x , y là

A.

x y

1

xy

x y . D. x y .

Lời giải Chọn C

Ta co

1 log

log

ab

c

c

ab

logc a logc b





1

loga c logb c





1

1 1

x y



x y



 .

Câu 9. Cholog 5 a2  , log 5 b3  Khi đo log 5 tính theo 6 a và b là

A.

ab

1

a b C. a2b2. D. a b .

Lời giải Chọn A

Ta co log 56 5

1 log 6

1 log 2.3



1 log 2 log 3



1

log 5 log 5





1

1 1

a b



a b



 .

Câu 10. Với log 5 a27  , log 7 b3  và log 3 c2  , giá trị của log 35 tính theo a , 6 b , c là

A.

1

a b c b



1

a b c c



1

a b c a



1

b a c c



Lời giải Chọn B

Ta co log 5 a27  1 3

log 5

�

3

log 5 3a

Khi đo log 356

3 3

log 35 log 6

3

log 5 log 7 log 2 1







3

1 1

a b c





1

a b c c





 Mức độ 3

Câu 1. Cho a0, b0 thỏa mãn 4a29b2 13ab Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A log 2 3 1log log 

a b



C log 2a3b log a2 log b . D log 2 3 1log log 

a b



Lời giải Chọn A

5

a b

a  b  ab� a b  ab�   ab

Lấy logarit thập phân log 2 3 log  1log log 

a b



Câu 2. Cho a0, b0 thỏa mãn a2b2 14ab Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

1

a b

B 2 log 3alog3b log 143 ab.

C log3a b  2 log 3alog3b. D 3   3 3 

1

2

Lời giải Chọn A

Ta co a2b2 14ab  2

16

a b  ab

�

2

4

a b

ab



� �� ��

Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được log3 2 log3 

4

a b

ab



4

a b

�

1

a b

�

Câu 3. Cho các số dương a b c, , khác 1 thỏa mãn loga bc 2, logb ca 4 Tính giá trị của biểu

thức logc ab

A

6

8

10

7

6.

Lời giải Chọn B

Ta co

 

loga bc 2 log  

2 log

c

c

bc

a 

log

c

c

b a

�

2logc alogc b1

và logb ca 4 log  

4 log

c

c

ca

b 

log

c

c

a b

�

logc a4logc b 1

Từ (1) và (2) ta co

5 log

7 3 log

7

c

c

a b

�

�

� �logc ab

log c alogc b  5 37 7 87.

Câu 4. Cho log 527 a; log 78  , b log 3 c2  Giá trị của log 35 bằng12

A

3

b ac c



2

b ac c



1

b ac c



2

b ac c



Lời giải Chọn D

Ta co log 527 a�log 5 33  a

8

log 7 b �log 7 3b2  .

log 5 log 3.log 5 3ac 

Ta co log 35 12

2 2

log 35 log 12

log 7 log 5 log 4 log 3





 3b c32ac

Câu 5. Cho alog 53 , blog 72 , clog 32 Tính

theo a , b , c

A.

1 2

c ac I

c b

 



2

1 2

c ac I

c b





1 2

c ac I

c b



1 2

c ac I

c b

 



Lời giải Chọn A

Từ giả thiết suy ra log 52 log 3log 52 3 a c.

Ta co

.log

log150 log126



126

log 150

log 150 log 126

1 log 3 2log 5

1 2log 3 log 7



  11 2 c c b2ac.

Câu 6. Đặt alog 43 , blog 45 Hãy biểu diễn log 80 theo a và 12 b.

A. 12

2

ab b





2 12

ab





C.

2 12

ab b





2

ab





Lời giải Chọn A

Ta co

4 12

4

log 80 log 80

log 12

4

log 80 log 12



 

 

2 4

4

log 4 5 log 4.3

4

2 log 5

1 log 3







1 2 1 1

b a





ab b





Câu 7. Cho x y z, , là các số thực dương tùy ý khác 1 và xyz�1 Đặt alogx y, blogz y Mệnh đề

nào sau đây đúng?

log

1

xyz

ab a

y z

a b





ab a b





ab a b





log

1

xyz

ab b

y z

a b





Lời giải Chọn C

Do alogx y, blogz y nên logy z 1

b

 , logx log logx y

a

b

Ta co

 

 

3 2

log log

log

x xyz

x

y z xyz





1

a a b a a b





ab a b





Câu 8. Tính Clog log5 5 5 5 5 55 ( n dấu căn) theo n

Lời giải Chọn A

Ta co 5 5 5 55

1 5

5

n

� �

� �



1 5

log log 5

n C

� �

� �



�

1 log 5

n

� �

� �  n

Câu 9. Cho a , b , c là các số thực thỏa c b a  1 và 6log2a log2b loga 2logb 1

Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A logb c2loga b1 B logb c2loga b1

C 3loga blogb c1 D. 3loga blogb c1

Lời giải Chọn A

Ta co

6loga b logb c loga c 2logb c 1

    �6 log2a blog2b cloga c log b a 2logb c1

6 loga blogb cloga b logb c log b a 2 logb c1

Đặt xloga b, ylogb c.

Ta co 6x2y2 xy x 2y1�6x2 1 y x y  22y 1 0

1 y 24 y 2y 1 25y 50y 25 25 y 1

Suy ra

3 12

1

2 12

x

y x y

x

�  



Vì c b a  1 nên xloga bloga a và log1 y b clogb b 1

Suy ra 3x y 1 nên nhận y2x1� logb c2loga b1�logb c2loga b1.

Câu 10 Cho n1 là một số nguyên Giá trị của biểu thức 2 3

log n! log ! n  logn n!

bằng

Lời giải Chọn D

Vì n1, n�� nên 2 3 4

log n! log ! log n  n! logn n!

log 2 log 3 log 4 logn n n n n

     logn!2.3.4 n logn!n! 1 .

 Mức độ 4

Câu 1. Co tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức

log alog alog alog log loga a a

Lời giải Chọn A

Ta co

log alog alog alog log loga a a

log alog 2.log alog 2.log alog log 5.log loga a a

�

log 1 log 2 log 2a   log log 5.loga a

�

log 1 log 2 log 2 log 5.loga    a 0

�

2

2

1 log 2 log 2 log 5.log 0

a

a



�

� �

�

5

3

1

1 log 2 log 2 log

log 5

a a



�

�

�

�

3 5 3

1 log 2 log 2 log 5

1 5

a a

�



�

�

�

� 

Vậy co 3 số dương a thỏa mãn đẳng thức log2alog3alog5alog log log2a 3a 5a.

Câu 2. Cho a0, a�1, tìm số nguyên dương n sao cho

3

log 2021 2 log 2021 3 log 2021 a  a  a  n log 2021 1010n a  �2021 log 2021a

Lời giải Chọn C

Ta co

2log 2021n a

n n n2 .log 2021a n3log 2021a , suy ra

3

log 2021 2 log 2021 3 log 2021 a  a  a  n log 2021n a 13  23 n3.log 2021a

2

( 1)

.log 2021

n n

log 2021 2 log 2021 3 log 2021 a  a  a  n log 2021 1010n a  �2021 log 2021a

( 1)

.log 2021 1010 2021 log 2021

n n

2

( 1)

1010 2021 2

n n

n n 

� � �n2020 (với n là số nguyên dương).

Câu 3. Cho a , b là các số dương thỏa mãn b1 và a b a�  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

loga 2log b

b

a

b

� �

� �

Lời giải Chọn C

Ta co:

log

4 log 1 log

b

b b

a

a b

log

4 log 1

b

b b

a

a a

 Đặt tlogb a , khi đo do a b a�  �logb a 1 logb a� 2t  1 t

1 t 2

Ta co 4 1

1

t

t

 , với t� 1; 2 . Xét hàm số ( ) 4 1

1

t

t

 với t� 1; 2 , với  2

1

1

f t

t



Ta co f t�( ) 0  2 1

1 4

t 

�

3 2 1 2

t t

�

�

� �

�

Bảng biến thiên của hàm số ( ) 4 1

1

t

t

 với t� 1; 2

Từ bảng biến thiên suy ra min 1;2   3 5

2

f t  f � �� �

� � Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 5.

Câu 4 Cho a , b , x là các số dương, khác 1 và thỏa mãn 4log2a x3log2b x8log loga x b x (*) Khi

đo mệnh đề (*) tương đương với mệnh đề nào sau đây?

A. a3 b2. B x ab . C a b 2. D a3 b2hoặc a b 2.

Lời giải Chọn D

Đặt mloga x, nlogb x; khi đo do x�1 nên m�0, n�0.

Ta co 4 log2a x3log2b x8log loga x b x trở thành 4m23n2 8mn

2

� � �� � 1

2 3 2

m n m n

� 

�

� �

� 

� hoặc

2

3 2

m n

m n



�

�

�

� 

Ta co 2m n

1

2

a x b x

a b

�

Ta co

3m2n 1log 1log

3 a x2 b x

a b

Câu 5. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn ln2x9ln2 y6 ln lnx y Giá trị của biểu thức

 3

1 log 3log

M

x y



A

1 2

M  

1 4

M 

1 2

M 

Lời giải Chọn D

Ta co ln2 x9ln2 y6ln lnx y �ln2 x6ln lnx y9ln2 y0  2

lnx3lny 0

�

lnx3lny 0

� �lnx3lny0 �lnx3lny �lnxlny3 � x y3.

1 log 3log

M

x y



3 3

1 log log

2 4log 9

x y



   1 log2 4log log9 

x x



   2 4log 101 2log 

x x





 

1 2log

2 4 4log

x x





  

1 2 log

2 4 log

x x





Câu 6. Cho a1, b0, c0 và thỏa mãn 2  3 3 2 2

4

bc

bc  ��b c  ��  c 

a b c, , 

thỏa mãn điều kiện đã cho là

Lời giải Chọn B

Ta co

4

bc

b c  b c 2 2 1

4

bc b c� bc �

2

1 0 2

bc bc� �

4

bc

b c  �b c

, mà a1 do đo log2  log 3 3 2 4 4 2 log2  log 4 4 4 4 2

4

bc

bc  ��b c  ��  c � bc  b c   c

4

bc

bc  ��b c  ��  c � bc   c �

Mặt khác log2  log 3 3 2 4 4 2 0

4

bc

bc  ��b c  ��  c 

nên 2  3 3 2 2

4

bc

bc  ��b c  ��  c 

 

2

1 2

a bc c bc

�

 

�

�  

� �

�

� 

�

2 1 4 2

a b c

� 

�

� 

� �

�



�

Co 1 bộ số a b c, , 

thỏa mãn bài toán

Câu 7 Cho x1 và thỏa mãn log log2 8xlog log8 2x Khi đo giá trị của  2

2

log x bằng

A

1

Lời giải Chọn C

Ta co log log2 8x log log8 2x 3 

1

1

�

3

1

log x27 log x

2

log x27

� (do log2 x )0 Vậy  2

2

log x 27

Câu 8. Cho hàm số

2 2

( ) log

� � Tính giá trị của biểu thức

T  f �� � �� � f ��  f �� ��

A.

2021 2

T 

B. T 2021. C. T 2020. D. T 1010.

Lời giải Chọn C

2

2 2

log

f x  f x

2

log

 ���     ����   � ����

Do đo

T  f �� � �� � f ��  f �� ��

f � � �f � �f � �f � f � � �f �

Câu 9. Cho các số thực a , b thỏa mãn a b 1 và

2020 logb aloga b 

Giá trị của biểu thức

logab logab

P

bằng

A 2014 B 2016 C 2018 D 2020

Lời giải Chọn B

Do a b 1 nên loga b , log0 b a và log0 b aloga b.

Ta co

2020 logb aloga b 

logb aloga b 2020

logb aloga b2018

Khi đo Plogb abloga ab log b alogb bloga aloga b log b aloga b.

logb loga

P  a b log2b alog2a b2 2018 2 2016  �P 2016.

Câu 10. Cho x 2021! Tính giá trị của 2 2021 3 2021 2020 2021 2021 2021

A

A. A2021. B. A4042. C. A2020. D. A1010.

Lời giải Chọn B

A

log 2x log 3x log 2020x log 2021x

2021.log 2 2021.log 3 2021.log 2020 2021.log 2021x x x x

2021 log 2 log 3 log 2020 log 2020x x x x

2021!

2021.log 2021!