Bài 1 bất ĐẲNG THỨC nhóm ĐHSPHN image marked

BẤT ĐẲNG THỨC Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu được khái niệm bất đẳng thức.. + Nắm được các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, hệ quả của bất đẳng thức Cô-si và bất đẳn

CHƯƠNG 4: BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BÀI 1 BẤT ĐẲNG THỨC Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu được khái niệm bất đẳng thức

+ Nắm được các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, hệ quả của bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

 Kĩ năng

+ Biết cách giải các bài toán về chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất và định nghĩa

+ Biết cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương, sử dụng bất đẳng thức Cô-si

+ Vận dụng được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong các bài toán về cực trị

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Khái niệm bất đẳng thức

- Các mệnh đề dạng "a b " hoặc "a b " được gọi là bất đẳng

thức

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương.

- Nếu mệnh đề "a b  c d" đúng thì ta nói bất đẳng thức

là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức và

cũng viết là a b  c d

- Nếu bất đẳng thức a b là hệ quả của bất đẳng thức c d và

ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau

và viết là a b  c d

Tính chất của bất đẳng thức

Tính chất Điều

kiện

Nội dung

Tên gọi

a b    a c b c Cộng hai vế của bất

đẳng thức với một số 0

c a b ac bc

0

c a b ac bc

Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số

a b

a c b d

c d

    



 

Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

Ví dụ:

3 5  2

1 0

a  a2 2 0

Ví dụ:

Từ 3 6 2.3 2.6  6 12

Bất đẳng thức 6 12 là bất đẳng thức

hệ quả của bất đẳng thức 3 6

Chứng minh tương tự, ta thu được kết quả hai bất đẳng thức 3 6 và 6 12

tương đương với nhau.

, 0

a

0

c

a b

ac bd

c d

 



 

Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều

*

n a b a2n1 b2n1

,

*

n

0

a

2n 2n

a b a b

Nhân hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa

a b  a b

0

a

a b  a b

Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

Bất đẳng thức Cô-si

- Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm

2

a b

ab



 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b

- Hệ quả:

Tổng của một số dương và nghịch đảo của nó luôn lớn hơn

hoặc bằng 2

1 2

a a

   a 0

 Nếu , cùng dương và có tổng không đổi thì tích x y

đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

 Nếu , cùng dương và có tích không đổi thì tổng x y

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất sau

0

x  x x x  x

x     a a x a

0

a

x a

x a

x a





    



a    b a b a  b

Ví dụ:

- Cho hai số thực x, y thỏa

mãn xy9 Khi đó, ta có

x y  x y  xy 

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi

3 9

x y

x y

x y xy

 



Chứng minh: a   b a b  1

- Nếu a  b thì  1 đúng.

- Nếu a  b , bình phương hai

vế, ta được

a  ab b a b  ab

(bất đẳng thức này luôn

ab ab

đúng).

Suy ra điều phải chứng minh.

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi ab0

Chứng minh tương tự với bất đẳng thức a b  a  b

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Phương pháp giải

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

A B A B 

1 Chứng minh A B 0A B 0 hoặc

dùng các phép biến đổi tương đương để

chứng minh A B A B    tương đương

với một bất đẳng thức đúng

2 Xuất phát từ một bất đẳng thức đúng

3 Biến đổi một vế của bất đẳng thức

4 Sử dụng tính chất bắc cầu A C A B

C B



 



Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức

với mọi ,

a b a b ab a0 b0

Hướng dẫn giải Cách 1 Xét hiệu

a  b a b ab  a a b  ab b

a a b b a b

Mà  2 với mọi , và , nên

0

a b  a b a0 b0

0

a b a b  Dấu " " xảy ra khi a b Vậy a3b3 a b ab2  2 với mọi a0, b0

Cách 2 Biến đổi tương đương

a3b3  a b ab2  2

a3 a b2  ab2 b3 0

a a b b a b

a b a  2 b2 0

0

a b a b

     *

Lập luận tương tự như Cách 1, ta suy ra bất đẳng

thức  * là một bất đẳng thức đúng với a0, Vì vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh 0

b

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho , là hai số thực thỏa mãn a b ab1

Chứng minh rằng 1 2 1 2 2

1 a 1 b 1 ab

Hướng dẫn giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

       

 2    2    0

           

2

1

b a



Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ab1

Dấu " " xảy ra khi a b hoặc ab1

Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh

bất đẳng thức dạng A B

ta nên chỉ ra trường hợp dấu đẳng thức (dấu " " ) xảy ra.

Ví dụ 2 Cho , thỏa mãn a b a b 0

a b a b a b 

Hướng dẫn giải

Ta có

a b a ab b

a b a b a b     a b a b 

a ab b

0 4

a b a b 

0

a b  Dấu " " xảy ra khi a b hoặc a b

a b a b a b 

Ví dụ 3 Cho , , a b c0 thỏa mãn 2 2 2 35

33

a b c 

Chứng minh 1 1 1 1

a b c   abc

Hướng dẫn giải

0 a b c  a b  c 2 ab ac bc 

 2 2 2

1 2

ac bc ab a b c

35 1 66

ac bc ab

     ac bc ab  1

Vì abc0 nên chia cả hai vế cho abc, ta được ac bc ab 1

   (điều phải chứng minh)

 1 1 1 1

a b c   abc

Ví dụ 4 Chứng minh rằng với mọi , , a b c0 ta có 1 a b c 2

a b b c c a

Hướng dẫn giải

a b a b c a b a b c

       1

b c  a b c

    2 c c

c a  a b c

    3 Cộng theo vế các bất đẳng thức  1 ,  2 ,  3 ta được

1

a b b c c a  

Ta có a a b c   a2ab ac a  2ab ac bc  a b a c   

a b a b c



    4

Tương tự ta có

b c a b c





    5

c a a b c





    6

Cộng theo vế các bất đẳng thức  4 ,  5 ,  6 ta được

2

a b b c c a  

Từ  * và  ** ta được 1 a b c 2 (điều phải chứng minh)

a b b c c a

Ví dụ 5 Cho , , là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a b c 3

bc ca ab

a bc b ca c ab 

Hướng dẫn giải

Ta có

1

a

x

bc



b y ca



c z ab



 Suy ra , , x y z0 và thỏa mãn x y z  3

x y z 

x  x y z

y  y x z

z  z x y

    Cộng vế với vế các bất đẳng thức, ta được

3

 

      x y z  3

Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh

Dấu " " xảy ra khi trong 3 số , , có một số bằng 3 và hai số còn lại cùng bằng 0.a b c

Ví dụ 6 Cho , , là các số thực dương thỏa mãn x y z x y z 

Chứng minh rằng y 1 1 1x z 1 1 x z

       

Hướng dẫn giải

Bắt đẳng thức đã cho tương đương với

x z y x z x z

1 0

x z y

xz xz y



    x z 0

xy yz y xz

x y z y y z

x y y z  0

Bất đẳng thức này luôn đúng vì 0 x y z  

Vây bất đẳng thức ban đầu được chứng minh

Dấu " " xảy ra khi xy hoặc y z

Ví dụ 7 Cho abc1 và a3 36 Chứng minh rằng 2 2 2

3

a

b c ab bc ca

    

Hướng dẫn giải

Xét hiệu

 

b c ab bc ca  b c ab ca bc bc

a

36

b c

a



    

Ta có a3 36 a 336 0 và a336 0 nên 3 36 0;

12

a a

 

2

0 2

a

b c

    

36 0

b c

a



Ví dụ 8 Cho hai số thực dương , Bất đẳng thức nào sau đây đúng?a b

2

4

1

1 2

a



1

1 2

ab

ab 



2

2

1 1

2 2

a

a







Hướng dẫn giải

, Do đó A sai, D sai.

2 2

1

0

a



 

, Do đó B sai.

2

1

0

ab



 

, Do đó C đúng.

2 2

1 1

0

a

 

Chọn C.

Ví dụ 9 Nếu 0 a 1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?

a



Hướng dẫn giải

, Do đó A đúng.

0

a a



, Do đó B sai.

0

a



       a  0;1

, Do đó C sai.

a a  a a   a a  a  0;1

, Do đó D sai.

a a a a  a a  a  0;1

Chọn A.

Ví dụ 10 Cho a b 0 và 1 2 ; Mệnh đề nào sau đây đúng?

1

a x

a a





1 1

b y

b b





 

Hướng dẫn giải

1 b b a ab ab 1 a a b ab a b

b ab a a b a b ab a b

luôn đúng với mọi

a b a b ab  0

Do đó x y

Chọn B.

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Hai số , thỏa mãn bất đẳng thức a b thì

2

a b a b 

  

Câu 2: Với , m n0, bất đẳng thức mn m n  m3n3 tương đương với bất đẳng thức

A m n m   2n20 B m n m   2n2mn0

0

m n m n   m n m   22n20

Câu 3: Cho , x y0 Bất đẳng thức nào sau đây sai?

4

x y x y



xy  x y

2

x y  x y

Câu 4: Với mỗi x2, trong các biểu thức 2, 2 , 2 , 1, giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất?

1 1 2 2

x x x



x

2 1

x

2 1

x

Câu 5: Cho các mệnh đề sau

(I): a2b2 2ab, a b,

(II): ab a b  a3b3, a b,

(III): ab 4 4 ab, a b,

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ (I) B Chỉ (II) C (I) và (III) D (I), (II) và (III).

Câu 6: Cho các mệnh đề

1 2

a



1

1 2

ab

ab 



2 2

1 1

2 2

a a

 



2

1

ab

a b 



Số mệnh đề đúng là

Câu 7: Giá trị lớn nhất của hàm số y  x2 5x6 trên đoạn  2;3 là

2

1 4

3 4

Câu 8: Cho hàm số   21 Mệnh đề nào sau đây đúng?

1

f x

x





A f x  có giá trị nhỏ nhất là 0, giá trị lớn nhất bằng 1

B f x  không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1

C f x  có giá trị nhỏ nhất là 1, giá trị lớn nhất bằng 2

D f x  không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

Câu 9: Cho , , , là các số dương Mệnh đề nào sau đây đúng?a b c d

b d a b c d

b d a b c d

  

C a b c   ab bc ca D 2 ab a b2ab a b 

Câu 10: Cho , , , là các số thực trong đó , a b c d a c0 Nghiệm của phương trình ax b 0 nhỏ hơn nghiệm của phương trình cx d 0 khi và chỉ khi

a  c

Bài tập nâng cao

Câu 11: Với giá trị nào của thì hệ phương trình a 1 có nghiệm với lớn nhất?

x y

x y a

 



   

A 1 B C D

4

2

2

Câu 12: Cho a2b2c2 1 Hãy chọn mệnh đề đúng

2

ab bc ca   

C ab bc ca  1 D ab bc ca  1

Câu 13: Bất đẳng thức a2 b2 c2 d2e2 a b c d e    , a b c d e, , , , tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?

0

            

0

            

0

            

D   2  2  2 2

0

a b  a c  a d  a e 

Câu 14: Cho 3 số a b c, , bất đẳng thức nào sau đây đúng?

2 3 14

a b c  a b c

C ab bc ca a   2b2c2 D 1 1 4

a b  a b



Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x23x với x là

4

2

2

ĐÁP ÁN

Dạng 1 Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất

11 - A 12 - B 13 - B 14 - C 15 - C

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 11 Chọn B.

Hệ phương trình có nghiệm là

1

x a





  



xy a a  a a  a  a    a   

Đẳng thức xảy ra khi 1

2

a 1

Câu 12 Chọn B.

Ta có a2b2 2ab; b2c2 2bc; c2a2 2ac

Cộng vế theo vế ta có 2a2 b2c22ab bc ca  ab bc ca  1

2

a b c   a b  c ab bc ca   ab bc ca   

Câu 13 Chọn B.

a b  c d e a b c d e  

0

            

Câu 14 Chọn C.

0

ab bc ca a   b c  a b  b c  c a 

Câu 15 Chọn C.

Ta có x2 0; x  0 x23x 0,  x 

Vây giá trị nhỏ nhất là 0 đạt được khi x0

Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cô-si

Phương pháp giải

1 Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số

không âm:

Với a b, 0, ta luôn có

2

a b

ab

  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

Các dạng tương đương của bất đẳng thức trên

4

a b

ab 

2

a b

2 Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho ba số

không âm:

Với a b c, , 0, ta luôn có 3

3

a b c

abc

  

Ví dụ 1 Cho a b c, , 0 Chứng minh

a b b c c a     8abc

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

; 2

a b  ab

; 2

b c  bc

2

c a  ca

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

a b b c c a     8 a b c2 2 2 8abc

Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Ví dụ 2 Cho a b c, , 0 Chứng minh

3

a b c

b c a  

Hướng dẫn giải

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Dạng tương đương của bất đẳng thức trên

27

a b c abc  



3 Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho số n

không âm

Với a a1, , ,2 a n 0, ta luôn có

1 2

n

a a a n

    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1a2   a n

3

3 3

a b c a b c

b c a   b c a  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b, ta có 1 1 4

a b  a b



Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có a b 2 ab, 1 1 2

a b  ab

Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

      



Đẳng thức xảy ra khi a b

Ví dụ 2 Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn 3 Chứng minh rằng

4

a b c  

3 a3b3b3c3c3a3

Hướng dẫn giải

Cách 1

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

a b  a b   a b

3

      1

Chứng minh tương tự ta cũng có

,

3

b c  b c  2

3

c a  c a  3

Cộng từng vế các bất đẳng thức  1 ,  2 ,  3 , ta được

3

a b b c c a  a b c   

3 4

         

3

1 4

4

a b c

a b c

   



      



Cách 2

Đặt x 3a3b, y3b3c, z3 c3a ta có x3y3z3 4a b c  3

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x y z  3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có x3  1 1 33 x3.1.1 3 x

Chứng minh tương tự, ta được y3  1 1 3y, z3  1 1 3z

Cộng từng vế các bất đẳng thức tương tự, ta được

9 3 x y z     x y z 3

4

x      y z a b c

Ví dụ 3 (Đề thi đại học khối D – 2005).

Cho các số dương x y z, , thỏa mãn xyz1 Chứng minh rằng

3 3

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có

1x y 3 1 .x y 3xy

Chứng minh tương tự ta được

;

 

Cộng từng vế các bất đẳng thức  1 ,  2 và  3 , ta được

3 3 3 3 3 3

xy yz zx

Đẳng thức xảy ra khi x  y z 1

2

b c a c a b a b c

 

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được

Tương tự, ta chứng minh được

c a b   

a b c   

 Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được

2

b c a c a b a b c

 

Đẳng thức xảy ra khi a b c 

Ví dụ 5 Cho x y z, , là các số dương và xyz1 Chứng minh rằng 2 2 2 3

y z x

Hướng dẫn giải

y

z   

z

x   

Cộng theo vế các bất đẳng thức  1 ,  2 ,  3 ta được

x y z

 

4 x y z 4 xyz

3 1

Đẳng thức xảy ra khi x  y z 1

Mẹo ta cần quan tâm dấu

xảy ra khi nào để

" "

thêm bớt cho phù hợp.

Ví dụ 6 (Đề thi đại học khối A – 2005)

Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4 Chứng minh rằng

x  y z

1

2x y zx 2y z x y 2z 

Hướng dẫn giải

Trước hết với a b, 0, ta có  2 1 1 1 1 1

4

a b

ab a b

Đẳng thức xảy ra khi a b

Sử dụng kết quả trên, ta có

2x y z 4 2x y z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z

Tương tự

2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z

Đẳng thức xảy ra khi 3

4

x  y z

Ví dụ 7 Giá trị lớn nhất M của hàm số f x   6x3 5 2  x, với 1 5; là

2 2

x   

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si:  2 , ta được

4

a b

ab 



4

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi

1

2 1 5 2

x

x

  



   

 Vậy M 27

Chọn C.

Ví dụ 8 Giá trị lớn nhất M của hàm số f x  x 1 với là

x



A M 0 B 1.

2

M 

Hướng dẫn giải

f x

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có  2  2

x   x  x Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x2

2

x

f x

x



 Vậy 1

2

M 

Chọn B

Ví dụ 9 Giá trị lớn nhất M của hàm số   , với là

1

x

f x

x



4

M 

2

Hướng dẫn giải

f x

x x x



Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có x2 1 2 x2.1 2 x

2 1 4

4 4

x

x

Dấu " " xảy ra khi x1

Vậy 1

4

M 

Chọn B.

Ví dụ 10 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất m M của hàm số f x  x 3 6x lần lượt là

A m 2; M 3 B m3; M 3 2

C m 2; M 3 2 D m 3; M 3

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định khi   3 x 6 Tập xác định D  3;6

Ta có f2 x  9 2 x3 6 x

Vì x3 6 x0,   x  3;6 nên f2 x  9 f x 3.

Dấu " " xảy ra khi x 3 hoặc x6 Vậy m3

Lại có 2 x3 6 x     3 x 6 x 9 f2 x 18 f x 3 2

Dấu " " xảy ra khi 3 6 3 Vậy

2

x    x x M 3 2

Chọn B.

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho x y, là hai số thực bất kì thỏa mãn xy2 Giá trị nhỏ nhất của A x 2y2 là

Câu 2: Cho các bất đẳng thức a b 2 (I); (II); (III) (với

b a  a b c 3

b c a   1 1 1 9

a b c   a b c

  a b c, , 0 ) Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng?

A Chỉ (I) đúng B Chỉ (II) đúng C Chỉ (III) đúng D (I), (II), (III) đều đúng Câu 3: Cho x2y2 1 Gọi S  x y, khi đó ta có

A S 2 B S 2 C  2 S 2 D   1 S 1

Câu 4: Cho x y, là hai số thực thay đổi sao cho x y 2 Gọi m x 2y2, khi đó ta có

A Giá trị nhỏ nhất của là 2.m B Giá trị nhỏ nhất của là 4.m

C Giá trị lớn nhất của là 2.m D Giá trị nhỏ lớn của là 4.m

Câu 5: Giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 với là

x

f x

x

 

 x1

Câu 6: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x  2x 1 với là

x

  x0

Câu 7: Cho a b c, , 0 Bất đẳng thức nào đúng?

      

      

      

    a b b c c a     6abc

Câu 8: Cho x3 Giá trị lớn nhất của hàm số f x  x 3 bằng

x





2 3

2 3

3 2

1 3