Bài 1 đại CƯƠNG về PHƯƠNG TRÌNH nhóm ĐHSPHN image marked

+ Hiểu được định nghĩa hai phương trình tương đương và các phép biến đổi tương đương phương trình..  Kĩ năng + Biết cách tìm điều kiện xác định tập xác định của phương trình.. + Vận dụn

Trang 1

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH BÀI 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững khái niệm phương trình và nghiệm của phương trình

+ Hiểu được định nghĩa hai phương trình tương đương và các phép biến đổi tương đương phương trình

+ Nắm vững khái niệm phương trình hệ quả

 Kĩ năng

+ Biết cách tìm điều kiện xác định (tập xác định) của phương trình

+ Nhận biết một số cho trước có là nghiệm của phương trình hay không

+ Nhận biết hai phương trình tương đương, hai phương trình hệ quả.

+ Vận dụng các phép biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả để giải một số phương trình đơn giản

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Phương trình một ẩn

Phương trình một ẩn số x là một mệnh đề chứa biến dạng

   

f x g x  1

trong đó f x g x   ; là các biểu thức cùng biến số x.

Ta gọi f x  là vế trái, g x  là vế phải của phương trình

Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện của

biến x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa.

Nếu số thỏa mãn ĐKXĐ và x0 f x 0 g x 0 là mệnh đề đúng

thì ta nói là nghiệm của phương trình x0  1

Phương trình tương đương

Hai phương trình

   

f x g x  1

   

f x g x  2

được gọi là tương đương, kí hiệu f x1 g x1  f x2 g x2 

nếu  1 và  2 có cùng tập nghiệm

Một phương trình có thể có nghiệm hoặc

vô nghiệm

Trang 2

Định lí

Nếu hai phương trình là biểu thức thỏa mãn ĐKXĐ của



phương trình f x g x  thì

f x   h x g x   h x  f x g x 

Nếu thỏa mãn ĐKXĐ và khác 0 với mọi x thì



b h x 

f x h x    g x h x     f x g x 

 

         .

f x g x

h x  h x  

Phương trình hệ quả

Phương trình f x2 g x2  là phương trình hệ quả của phương

trình f x1 g x1 , kí hiệu f x1 g x1  f x2 g x2 

Nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất là tập con của tập

nghiệm phương trình thứ hai

Chú ý: Nếu h x  không xác định hoặc

tại các giá trị không là nghiệm

  0

h x 

của phương trình thì các biến đổi bên vẫn cho phương trình tương đương.

Hai phương trình tương đương là hai phương trình hệ quả của nhau nhưng ngược lại không đúng.

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Tìm tập xác định của phương trình

Phương pháp giải

Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều

kiện để giá trị của f x g x   ; cùng được xác định và

các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

Điều kiện để biểu thức

xác định là

 f x 

xác định là

  f x1

xác định là



 

1

f x

Ví dụ:

Tìm tập xác định D của phương trình:

2019 2

x x



Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định của phương trình là

2   x 0 x 2

Vậy D\ 2  

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm tập xác định của phương trình 25 1

4

x x



Điều kiện xác định của phương trình 2 2 2

2

x







Trang 3

Vậy tập xác định của phương trình là D\ 2

Ví dụ 2 Tìm điều kiện xác định của phương trình 1 3 x x2

Điều kiện xác định của phương trình là 3 0 3 2 3

x

Ví dụ 3 Tìm tập xác định của phương trình 4 2 3 1

x x



3

x

2

1

1 2

x

x x











    

 Vậy tập xác định của phương trình là D  ; 2 \ 2;1 

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Tập xác định của phương trình là

A Tập tất cả các giá trị của ẩn để phương trình có nghĩa.

B Tập tất cả các giá trị của ẩn để phương trình có nghiệm.

C Điều kiện của ẩn để phương trình có nghĩa.

D Điều kiện của ẩn để phương trình có nghiệm.

Câu 2: Tập xác định của phương trình 3 5 12 5 là

x

A \ 4   B 4; C 4; D 

Câu 3: Tập xác định của phương trình 22 5 23 là

x

A D\ 1   B D\ 1 C D\ 1 D D

Câu 4: Tập xác định của phương trình 1 3 24 là

A 2; B \2; 2  C 2; D 



A 3; B 3; C \ 1;3;2 D



Câu 6: Tập xác định của phương trình 2 4 23 5 2 9 1 là

Trang 4

A 4; B \ 2;3; 4   C  D \ 4  

Câu 7: Tập xác định của phương trình 2x 1 4x1 là

2



Câu 8: Tập xác định của phương trình 3x 2 4 3 x 1 là

3

 

2 4

;

3 3

2 4

3 3

Câu 9: Tập xác định của phương trình x 1 x 2 x3 là

A 3; B 2; C 1; D 3;

Câu 10: Tập xác định của phương trình 21 3 là



A  3;  B  3;   \ 1 C 1; D  3;   \ 1

Câu 11: Tập xác định của phương trình 2 2 5 0

7

x x

x





A 2; B 7; C 2;7  D  2;7

Câu 12: Điều kiện xác định của phương trình 1 5 2 là

2 1

x x x







A x1 và x2 B x1 và x2 C 1 5 D và

2

x

2

x

  x2

x



2



  D 2;72 \ 3  



 

Câu 14: Tập xác định của phương trình là

 2 

15 2

2

x

2





2





Câu 15: Cho phương trình 1 x x m  2 2x3

Tìm tất cả giá trị của tham số m để tập xác định phương trình trên có dạng  a b;

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Trang 5

Câu 6: Chọn B.

2 2 2

4

7 12 0

x



\ 2;3; 4

D

Câu 9: Chọn D.

Điều kiện của phương trình là

3

3 0

x x

 

     



Điều kiện

1

2

2 0

x

x x

 



Điều kiện 2

2

3

2

x

x x

x





Câu 14: Chọn C.

Điều kiện 2

15

x x



 







       



Câu 15: Chọn A.



Để tập xác định là một đoạn thì m    2 1 m 1

Dạng 2 Xác định hai phương trình tương đương, hai phương trình hệ quả

Để xác định được hai phương trình tương đương hay

hai phương trình hệ quả ta làm như sau:

Ví dụ: Cho hai phương trình:

và

 

2 1

x

  x2  x 2 0 2  

Trang 6

Bước 1 Tìm tập nghiệm của từng phương trình.

Bước 2 Tập nghiệm của phương trình nào chứa

nghiệm phương trình còn lại thì đó là phương trình hệ

quả Các phương trình có cùng tập nghiệm thì tương

đương

- Giải phương trình  1 :

Điều kiện: x    1 0 x 1

(thỏa mãn)

 1  x 2

Vậy tập nghiệm của  1 là S1 2

- Giải phương trình  2 :

 2 1

2

x x

 



  

 Vậy tập nghiệm của  2 là S2   1; 2 

Do đó S2 S1 Vậy phương trình  2 là phương trình hệ quả của phương trình  1

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Khi giải phương trình  3 4  , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

0 1 2

x





Bước 1    3    

2

x x x



Bước 2

 3

0 2

4 0

x x x









  



Bước 3 3

4

x x





  



Bước 4 Vậy phương tình có tập nghiệm là T  3; 4

Cách giải trên sai từ bước nào?

Sai ở bước 2

Ta có phương trình  1 chỉ có nghiệm x3, tuy nhiên phương trình ở bước 2, có hai nghiệm x3

hoặc x4 nên phép biến đổi tương đương này sai

Chọn A.

Ví dụ 2 Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình x 1 1?

x

 

Trang 7

A 7 6x  1 18 B 2x 1 2x 1 0.

Giải phương trình x 1 1

x

 

Điều kiện: x0

1

x

Vì x2    x 1 0, x  nên phương trình vô nghiệm

Dễ thấy đáp án C có hai nghiệm x0;x5

Suy ra phương trình x x 5 0 không tương đương với phương trình x 1 1

x

 

Câu 1: Cách viết nào sau đây sai?

A x x    1 0 x 0;x1 B x x  1 0 có hai nghiệm là x0 và x1

1

x

x x

x





1

x

x x

x





    



Câu 2: Cho phương trình x21 x1x 1 0

Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho?

A x 1 0 B x 1 0 C x2 1 0 D x1x 1 0

Câu 3: Phương trình x2 3x tương đương với phương trình

A x2 x 3 3x x3 B x2 x2 1 3x x21

Câu 4: Cho hai phương trình x x 2 3 x2 1   và  2  

3 2 2

x x x







Khẳng định nào sau đây đúng?

A Phương trình  1 và  2 là hai phương trình tương đương

B Phương trình  2 là hệ quả của phương trình  1

C Phương trình  1 là hệ quả của phương trình  2

D Cả A, B, C đều sai.

Câu 5: Khi giải phương trình x 2 2x3 1 ,  một học sinh tiến hành theo các bước sau

Bước 1 Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được x24x 4 4x212x9 2  

Bước 2 Khai triển và rút gọn  2 ta được 3x28x 5 0 3 

Trang 8

Bước 3  3 15.

3

x x









 

 Bước 4 Vậy phương trình có nghiệm là x1 và 5

3

x

Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước 1 B Sai ở bước 2 C Sai ở bước 3 D Sai ở bước 4.

Câu 6: Khi giải phương trình  5 4   một học sinh tiến hành theo các bước sau

0 1 , 3

x





Bước 1    5    

3

x

x x



Bước 2

 5

0 3

4 0

x x x









  



Bước 3 5

4

x





  



Bước 4 Vậy phương trình có tập nghiệm T  5; 4

Cách giải trên sai ở bước nào?

A Sai ở bước 3 B Sai ở bước 2 C Sai ở bước 1 D Sai ở bước 4.

Câu 7: Cho phương trình 2x2 x 0 1   Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình  1 ?

1

x



3

2x x 0 x22x 1 0

Câu 8: Phép biến đổi nào sau đây đúng?

A 5x x 3 x2 x25x x3 B x    2 x x 2 x2

C 3x x 1 x2 x 1 3x x 2 D

 31 3 2 1 2 2 0.

Câu 9: Giá trị của tham số m để cặp phương trình x 2 0 và m x 23x 2 m x2  2 0 tương đương là

A m2 B m 1 C m1;m 1 D m1

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình mx22m1x m  2 0 và

tương đương

m2x23x m 215 0

A m 5 B m 5;m4 C m4 D m5

Trang 9

    1 2 3 0 2

3

x







có điều kiện: , khi đó

   2

3

x





 Kết hợp với điều kiện: phương trình  2 có nghiệm là x3

Vậy  1 là phương trình hệ quả của  2

Vì phương trình  2 là phương trình hệ quả của phương trình  1 nên sau bước 3, ta cần kiểm tra xem nghiệm có thỏa mãn phương trình  1 hay không Do đó lời giải sai ở bước 4

Câu 6: Chọn B

Sai ở bước 2 vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiện

Ta có  1 01

2

x x









 



Lại có x0 không là nghiệm của phương trình x22x 1 0 nên x22x 1 0 không là phương trình

hệ quả của phương trình  1

Phương trình x 2 0 và m x 23x 2 m x2  2 0 tương đương khi phương trình

có nghiệm

 2 3 2 2 2 0 * 

Thay x 2 vào  * ta tìm được m1;m 1

Thay m 1 ta có x23x   2 x 2 0 có hai nghiệm x0;x2

Với m0, hai phương trình không tương đương

Với m0, ta có phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt

1 2

x m x m





 



Để hai phương trình tương đương thì  2 phải có hai nghiệm trên

có nghiệm là nên

5

m





 Thay giá trị m4 và m 5 vào  2 thì chỉ có m4, hai phương trình có cùng tập nghiệm

Trang 10

Dạng 3: Giải phương trình đơn giản

Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến

đổi để đưa về phương trình tương đương với

phương trình đã cho Một số phép biến đổi

thường sử dụng:

Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà

 

không làm thay đổi điều kiện xác định của

phương trình ta thu được phương trình tương

đương phương trình đã cho

Nhân (chia) hai vế với một biểu thức khác

 

không và không làm thay đổi điều kiện xác định

của phương trình ta thu được phương trình tương

đương với phương trình đã cho

Bình phương hai vế của phương trình ta thu

 

được phương trình hệ quả của phương trình đã

cho

Bình phương hai vế của phương trình (hai vế

 

luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương

đương với phương trình đã cho

Ví dụ: Giải phương trình x x 2x24

x x 2x24 x22x x 24  2x 4

 x 2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

 2

S

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Giá trị nào sau đây là nghiệm của phương trình x x 3 3 x 3?

x

Thử x3 vào phương trình, ta thấy thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm x3

Chọn C.

Ví dụ 2 Giải phương trình x x  x1

Điều kiện: x0

Trang 11

Ta có x x  x   1 x 1 (không thỏa mãn).

Vậy phương trình vô nghiệm

Ví dụ 3 Giải phương trình x2x23x20

2

x







Kết hợp với điều kiện x2, ta được x2 là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x2

Ví dụ 4 Giải phương trình x1x2 x 20

1

1 0

x x

x





Với điều kiện đó phương trình tương đương với

2

1

1 0

1

x x

x





   

Đối chiếu với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là S 1; 2

Câu 1: Phương trình x  x có bao nhiêu nghiệm?

Câu 2: Phương trình x  x có bao nhiêu nghiệm?

Câu 3: Phương trình x  2 2 x có bao nhiêu nghiệm?

Câu 4: Giá trị nào sau đây của x là nghiệm của phương trình 2 x   5 2x 5 ?

2

x

1

Câu 5: Tập nghiệm của phương trình x22x  2x x 2 là

A T  0 B T   C T  0; 2 D T  2

Câu 6: Cho phương trình  x2 10x25 0. Kết luận nào sau đây đúng?

A Phương trình vô nghiệm B Phương trình có vô số nghiệm.

C Mọi x đều là nghiệm. D Phương trình có nghiệm duy nhất.

Trang 12

Câu 7: Tập nghiệm của phương trình x x là

A T  0 B T   C T  1 D T   1

Câu 8: Tập nghiệm của phương trình x2x23x20 là

A S   B S  1 C S  2 D S 1; 2

Câu 4: Chọn A.

Điều kiện

5

2

x x

x



 



 



2

x    x x    x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 5

2

x 

2

2 2

2

x

x x

 Thay x0 và x2 vào phương trình thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là T  0; 2

Phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 7: Chọn B.

Điều kiện Vậy hệ phương trình vô nghiệm

0 0

0

x





 



 



Vậy tập nghiệm là T  

Trang 13

 2 

2

1

x

Kết hợp với điều kiện thì ta được S  2

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	222,28 KB