Bài giảng Đại số 10 - Bài 1: Bất đẳng thức

Bài giảng Đại số 10 - Bài 1: Bất đẳng thức thông tin đến các bạn những kiến thức về ôn tập bất đẳng thức, khái niệm bất đẳng thức, bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương, tính chất của bất đẳng thức, bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cô-si).

Ti t 27: ế B t đ ng  ấ ẳ

th c ứ

S  GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Ở Ụ Ạ

TR ƯỜ NG THPT QUANG TRUNG

Chương trình chu nẩ Môn: Đ i s  10 ạ ố

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

(Sai)

b) a)

c)

4

<

325 4

− 2 3

(Đúng)

(Đúng)

I. ÔN T P B T Đ NG TH CẬ Ấ Ẳ Ứ

Chọn dấu thích hợp (=, <, >) để khi điền vào ô vuông ta được một mệnh đề đúng

a) 2 2      3

3        3

c) +       (1+ 2)2

3 2 2

d) a 2 +1      0 Với a là một số đã cho

<

>

=

>

I. ÔN T P B T Đ NG TH CẬ Ấ Ẳ Ứ

I. ÔN T P B T Đ NG TH CẬ Ấ Ẳ Ứ

1 Khái niệm bất đẳng thức:

Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b"

được gọi là bất đẳng thức

2 Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

- Ngược lại a<b là bất đẳng thức hệ quả của c<d thì 2 bất đẳng thức tương đương với nhau

KH:

- Nếu mệnh đề đúng thì ta nói

bất đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ quả của

bất đẳng thức a<b

KH:

"a b< � c d"<

a b< � c d<

"a b< � c d"<

I. ÔN T P B T Đ NG TH CẬ Ấ Ẳ Ứ

I. ÔN T P B T Đ NG TH CẬ Ấ Ẳ Ứ

2 Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Các bất đẳng thức đã học:

  và  

< <

Hãy chứng minh

a b < � a b − < 0

I. ÔN T P B T Đ NG TH CẬ Ấ Ẳ Ứ

2 Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Chứng minh a b< � a b− < 0

cộng -b vào hai vế bđt a<b ta được bđt hệ quả

a-b<0

cộng b vào 2 vế của bđt a-b<0 ta được bấ ẳt đ ng 

th cứ hệ quả a<b

Vì vậy a b < � a b 0 − <

Đảo lại:

Để chứng minh một bất đẳng thức ta chỉ cần xét dấu của hiệu hai vế bất đẳng thức đó.

Nh  v yư ậ

I. ÔN T P B T Đ NG TH CẬ Ấ Ẳ Ứ

3 Tính chất của bất đẳng thức:

Tính chất

Tên gọi Điều kiện Nội dung

Cộng hai vế của bđt với

một số

c>0 Nhân hai vế của bđt với

một số

c<0

Cộng hai bđt cùng chiều

a>0, c>0 Nhân hai bđt cùng chiều

n nguyên

dương Nâng hai vế của bđt lên một luỹ thừa

a>0 khai căn hai vế của một

bđt

a b < � a c b c + < +

a b < � ac bc <

a b < � ac bc >

 và c

< < � + < +

a b d a c b d

 và c

< < � <

n n

a b < � a 2 1+ < b 2 1+

n n

a b a b

< < � 2 < 2

0

a b < � a < b

a b < � 3 a < 3 b

a < b hoặc a > b : gọi là bất đẳng thức ngặt

a b

Các mệnh đề hoặc cũng được gọi là bất đẳng thức

a b

a b hoặc a b : gọi là bất đẳng thức không ngặt

Chú ý:

!

II Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và

trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

1 Bất đẳng thức Cô-si

Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn

hoặc bằng trung bình cộng của chúng

a b

2

2 xảy ra khi và chỉ khi a = b

II Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

Hãy ch ng minh b t đ ng th c cô­ ứ ấ ẳ ứ

siNh c l i:ắ ạ

Để chứng minh một bất đẳng thức ta chỉ cần xét dấu của hiệu hai vế bất đẳng thức đó.

Nh  v y đ  ch ng minh b t đ ng th c  ư ậ ể ứ ấ ẳ ứ ab a b+2

Ta c n ch ng minh ầ ứ ab − a b+ 0

2

1 Bất đẳng thức Cô-si

II Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

1 Bất đẳng thức Cô-si

Th t v y ậ ậ

a b

ab − + = − 1 (a b+ − ab) = − 1 ( a − b) 2

Ta có:

2

Đ ng th c x y ra khi và ch  khiẳ ứ ả ỉ

T c là khi a = b ứ

( a − b ) 2 = 0

II Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và

trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

Cho m t s  d ộ ố ươ ng a và s  ngh ch đ o c a nó  ố ị ả ủ

1

Hãy áp d ng b t đ ng th c cô­ si cho 2 s  dụ ấ ẳ ứ ố ương 

Ta có

v y ậ

T ng c a m t s  d ổ ủ ộ ố ươ ng v i  ớ ngh ch đ o c a nó l n h n ho c  ị ả ủ ớ ơ ặ

b ng 2  ằ

II Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

H  qu  1ệ ả

T ng c a m t s  d ổ ủ ộ ố ươ ng v i ngh ch đ o c a  ớ ị ả ủ

nó l n h n ho c b ng 2  ớ ơ ặ ằ

a

II Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

H  qu  2ệ ả

N u x, y cùng d ế ươ ng và có t ng không đ i  ổ ổ thì tích xy l n nh t khi và ch  khi x=y  ớ ấ ỉ

Ch ng minh: ứ Đ t S = x + y. Áp d ng bđt cô­si ta có:ặ ụ

x y S

xy + =

S xy

2

4

Đ ng th c x y ra khi và ch  khi  ẳ ứ ả ỉ x y= = S

2

V y tích xy đ t giá tr  Max b ng  ậ ạ ị ằ S2

4 Khi và ch  khiỉ

S

x y= =

2

II Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và

trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

H  qu  2ệ ả

Trong t t c  các hình ch  nh t có cùng chu vi, hình  ấ ả ữ ậ

vuông có di n tích l n nh t ệ ớ ấ

2

cm

1

II Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và

trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)

H  qu  3ệ ả

N u x, y cùng d ế ươ ng và có t ng không đ i  ổ ổ thì tích xy l n nh t khi và ch  khi x=y  ớ ấ ỉ

Trong t t c  các hình ch  nh t có cùng chu vi, hình  ấ ả ữ ậ

vuông có di n tích l n nh t ệ ớ ấ

Hãy ch ng minh t ứ ươ ng t ự

C ng c  bài h c ủ ố ọ

Tính ch t c a b t đ ng th c.  ấ ủ ấ ẳ ứ

Đ nh lý cô­si và các h  qu  c a đ nh lý cô­si  ị ệ ả ủ ị

Ý nghĩa hình h c c a chúng  ọ ủ Làm các bài t p trong sách giáo khoa  ậ