Bài giảng Đại số 10 - Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức với các nội dung khái niệm và tính chất của bất đẳng thức, bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối, bất đẳng thức Cauchy.
Trang 1TR ƯỜ NG THPT NGUY N DU Ễ
MÔN TOÁN L P 10 Ớ
Giáo viên Đ Th Bích Th y ỗ ị ủ
Trang 21. Khái ni m và tính ch t c a b t đ ng th c ệ ấ ủ ấ ẳ ứ
a) Khái ni m b t đ ng th c ệ ấ ẳ ứ
Gi s a, b là hai s th c. ả ử ố ự
Các m nh đ ệ ề
“a > b”; ”a < b”; “a ≥ b”; ”a ≤ b” được g i là ọ
b t đ ng th c. ấ ẳ ứ
Ch ng minh m t b t đ ng th c là ch ng minh ứ ộ ấ ẳ ứ ứ
b t đ ng th c đó đúng.ấ ẳ ứ
Trang 3b) Tính ch t c a b t đ ng th c ấ ủ ấ ẳ ứ
Tính ch t ấ b c c u ắ ầ : a > b và b > c a > c.
C ng ộ hai v c a b t đ ng th c v i cùng m t s : ế ủ ấ ẳ ứ ớ ộ ố
a > b a + c > b + c, c.
Nhân hai v c a b t đ ng th c v i cùng m t s :ế ủ ấ ẳ ứ ớ ộ ố
a > b ac > bc, c > 0.
a > b ac < bc, c < 0.
Trang 4C ng v v i v ộ ế ớ ế c a hai b t đ ng th c cùng chi u:ủ ấ ẳ ứ ề
a > b và c > d a + c > b + d
Chuy n v ể ế: a + c > b a > b − c
Nhân v v i v ế ớ ế c a hai bđt dủ ương cùng chi u:ề
a > b ≥ 0 và c > d ≥ 0 ac > bd
Lũy th a b c ch n ừ ậ ẵ hai v c a b t đ ng th c:ế ủ ấ ẳ ứ
a ≥ 0, b ≥ 0 và n *, ta có a > b a2n > b2n
Khai căn hai v c a b t đ ng th c:ế ủ ấ ẳ ứ
a > b 0 a > b
a > b a > b
Trang 5Ví d 1: ụ Ch ng minh v i m i x ta có: ứ ớ ọ
x2 > 2(x – 1)
Ví d 2: ụ Ch ng minh n u a, b, c là đ dài ba c nh c a ứ ế ộ ạ ủ
tam giác thì:
(b + c – a)(c + a – b)(a + b – c) ≤ abc
Trang 62. B t đ ng th c v giá tr tuy t đ i. ấ ẳ ứ ề ị ệ ố
V i m i aớ ọ , ta có: –|a| ≤ a ≤ |a|
V i aớ > 0, ta có: |x| < a –a < x < a
V i aớ > 0, ta có: |x| > a x < –a x > a
V i a, bớ , ta có:
|a| − |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|
Trang 7Ví d 3: ụ Cho x, y , ch ng minh ứ
|3 – x + y| + |y| + |8 – x| ≥ 5
Gi i ả
|3 – x + y| + |y| + |8 – x| ≥ |3 – x + y| + |
y + 8 – x|
≥ |3 – x + y| + |x – 8 – y|
≥ |3 – x + y + x – 8 – y|
≥ | – 5| = 5
Trang 83. B t đ ng th c Cauchy. ấ ẳ ứ
Cho a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có:
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b.ẳ ứ ả ỉ
+
a b
ab 2
Hãy ch ng minh ứ
b t đ ng th c ấ ẳ ứ
trên.
Phát bi u b ng l i ể ằ ờ
b t đ ng th c ấ ẳ ứ
trên.
Trang 9Ví d 4: ụ Cho a, b, c là ba s dố ương b t k , ch ng ấ ỳ ứ
minh a + b b + c+ + c + a 6
Gi i ả
a + b b + c+ + c + a = + + + + +a b b c c a
2 + 2 + 2 = 6
Trang 103. B t đ ng th c Cauchy. ấ ẳ ứ
H qu :ệ ả
N u hai s dế ố ương thay đ i nh ng có ổ ư t ng ổ không đ i ổ thì tích c a chúng l n nh t ủ ớ ấ khi
và ch khi hai s đó b ng nhau.ỉ ố ằ
N u hai s dế ố ương thay đ i nh ng có ổ ư tích không đ i ổ thì t ng c a chúng nh nh t ổ ủ ỏ ấ khi
và ch khi hai s đó b ng nhau. ỉ ố ằ
Trang 11N u hai s d ng thay đ i nh ng có t ng ế ố ươ ổ ư ổ không đ i thì tích c a chúng l n nh t khi và ch khi ổ ủ ớ ấ ỉ hai s đó b ng nhau ố ằ
Ch ng minh: ứ
Gi s hai s dả ử ố ương x, y có t ng x + y = S không đ i.ổ ổ
S = x + y xy nên xy S
Do đó, tích xy đ t giá tr l n nh t b ngạ ị ớ ấ ằ
khi và ch khi x = y. ỉ
2 S 4
Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y.ẳ ứ ả ỉ
Trang 12N u hai s d ng thay đ i nh ng có tích ế ố ươ ổ ư không đ i thì t ng c a chúng nh nh t khi và ch ổ ổ ủ ỏ ấ ỉ khi hai s đó b ng nhau ố ằ
Ch ng minh: ứ
Gi s hai s dả ử ố ương x, y có tích xy = P không đ i.ổ Khi đó:
x + y xy P nên x + y 2 P
Do đó, t ng x + y đ t giá tr nh nh t b ngổ ạ ị ỏ ấ ằ
khi và ch khi x = y. ỉ
2 P
Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y.ẳ ứ ả ỉ
Trang 13Gi i ả
Do x > 0 nên ta có f x = x + 2 x = 2 3
Ví d 5: ụ Tìm giá tr nh nh t c a hàm s ị ỏ ấ ủ ố
f x = x + ( ) 3
x v i x > 0.ớ
và f x = 2 3 x = x = 3
x
V y giá tr nh nh t c a hàm s đã cho là ậ ị ỏ ấ ủ ố f ( )3 = 2 3
Trang 143. B t đ ng th c Cauchy. ấ ẳ ứ
M r ng, cho ba s aở ộ ố ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, ta có:
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c.ẳ ứ ả ỉ
a b c
abc 3
Trang 15Gi i. ả Vì a, b, c là ba s dố ương nên: 3
3
a + b + c 3 abc
1 1 1+ + 3 1
Ví d 6: ụ Ch ng minh n u a, b, c là ba s dứ ế ố ương thì
( a + b + c) 1 1 1+ + 9
a b c
� � Khi nào x y ra đ ng th c.ả ẳ ứ
Do đó a + b + c + + 3 abc.3 = 9
Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳ ứ ả ỉ
a = b = c
a = b = c
1 = 1 = 1
a b c
Trang 16Làm bài t p trong sách ậ
Đ i s 10 nâng cao ạ ố
trang 109 và 110