Bài 1 hàm số nhóm ĐHSPHN image marked

+ Tính toán được giá trị của hàm số tại một điểm cho trước, tìm tập xác định.. Tìm tập giá trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đơn giản, khoảng cách giữa hai điểm trên mặt

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI

BÀI 1: HÀM SỐ Mục tiêu

+ Phát biểu và vận dụng được đièu kiện để điểm M x y 0; 0 thuộc đồ thị hàm số y f x  ; điều

kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập X; điều kiện để hàm số là hàm chẵn (hàm lẻ) trên tập D.

 Kĩ năng

+ Biểu diễn được các điểm trên mặt phẳng tọa độ

+ Tính toán được giá trị của hàm số tại một điểm cho trước, tìm tập xác định Tìm tập giá trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đơn giản, khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ

+ Xét được sự đồng biến, nghịch biến, tính chẵn – lẻ của một số hàm số đơn giản.

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Khái niệm về hàm số

- Cho hai đại lượng biến thiên x và y, trong đó x

nhận giá trị thuộc tập số D Khi đó, đại lượng y

được gọi là hàm số của đại lượng x nếu

Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi.

Với mỗi giá trị của x D ta luôn xác định được một

và chỉ một giá trị tương ứng của y

- Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc công thức

- Khi hàm số được cho bởi công thức y f x   thì

biến số x chỉ lấy những giá trị làm cho f x  xác

Đồ thị hàm số lẻ y x   1 x 1 nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Ví dụ 3: Một chất điểm chuyển động biến đổi đều với vận tốc v 5 3t cm s/ , thời gian t 0 đo bằng

giây Khi đó vận tốc v là hàm số theo biến t.

a) Hãy tính các giá trị của v theo các giá trị của t rồi hoàn thành bảng sau

A f 1 B f 0 C    D

 

1.2

3.4

3.4

Ta có thể chứng minh được rằng với mọi giá trị x thì f x   g x

Ví dụ 5 Cho hàm số      Giá trị của tại điểm bằng

Cộng hai đẳng thức (1) và (2) vế với vế, ta thu được 8 2f 3.

Nhận xét: Về bản chất, cả hai cách làm tương tự nhau Tuy nhiên cách 1 chỉ tính được giá trị của hàm số

tại điểm x 2, trong khi cách 2 tìm được biểu thức của f x  với mọi x 0

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Biểu đồ dưới đây (trích từ báo Khoa học và Đời sống số 47 ngày 8-11-2002) mô tả số công trình

khoa học kĩ thuật đăng kí dự giải thưởng Sáng tạo Khoa học Công nghệ Việt Nam và số công trình đoạt giải hằng năm từ 1995 đến 2001 Gọi f x  là tỉ số giữa số công trình đoạt giải thưởng trên tổng số công

trình tham dự giải thưởng của năm x Ta có hàm số y f x   với tập xác định là

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

 1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001

D

Câu 6: Một chất điểm chuyển động chậm dần đều với vận tốc v16 2 t cm s / , thời gian t đo bằng

giây Tại thời điểm nào chất điểm đạt vận tốc 6cm s/ ?

A t 10 s B t 4 s C t 5 s D t 2 s

Bài tập nâng cao

Câu 7: Cho hàm số      Giá trị của bằng

7.6

Dạng 2: Đồ thị của hàm số

nên điểm M không thuộc đồ thị hàm số y3x21.

- Với điểm N 1;2 , ta có f  1 3.1 1 22  nên

2

a) Biểu diễn các điểm M, N, P trên mặt phẳng tọa độ.

b) Trong các điểm M, N, P điểm nào thuộc đồ thị hàm số 

 .1

x y

x

Hướng dẫn giải

a) Biểu diễn lần lượt các điểm đã cho trên mặt phẳng tọa độ ta được hình vẽ dưới đây

b) Vì x 1 không thuộc tập xác định của hàm số  nên điểm không thuộc đồ thị hàm số

1

x y

x y x

 .1

x y x

Ví dụ 2: Đồ thị hàm số y 1 x3 cắt trục hoành tại điểm A và cắt trục tung tại điểm B Tính diện tích tam giác OAB.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình 1 x  3 0 x       3 1 x 3 1 x 2

Đồ thị hàm số y 1 x3 cắt trục hoành tại điểm A2;0 

Với x 0 thì y 1 3 nên đồ thị hàm số y 1 x3 cắt trục tung tại điểm B0;1 3 

Ta có OA2,OB 3 1 , tam giác OAB vuông tại đỉnh O nên có diện tích là

- Nếu số 0 thuộc tập xác định của hàm số y f x   thì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm N0;f 0 

- Hai đồ thị của hàm số y f x   và y g x   có k điểm chung phân biệt khi và chỉ khi phương trình

có k nghiệm phân biệt.

   

f x g x

Độ dài đoạn thẳng AB được tính theo công thức AB x Bx A 2 y By A2

Ví dụ 3 Cho hàm số ym1x2m1 ẩn x và m là tham số Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số

đi qua điểm M2; 1 ?

Ví dụ 4 Cho hai hàm số y mx 3,y2x1, biến x và m là tham số, có đồ thị lần lượt là    d1 , d2

Với điều kiện nào của m thì hai đồ thị    d1 , d2 có điểm chung?

A m2,m 3 B m 2 C m 0 D m 2

Hướng dẫn giải

Ví dụ 5 Cho hàm số ym1x2m1 biến x và tham số m Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn

đi qua với mọi giá trị của m.

- Điểm M x y 0; 0 thuộc đồ thị hàm số y f x   khi và chỉ khi y0  f x 0

- Điểm M x y 0; 0 thuộc đồ thị hàm số y f x m  , với mọi m khi và chỉ khi y0 f x m 0, , m 

x y

26;2 , ;2

3

26;2 , ;2

Câu 9: Đồ thị hàm số y x 2 x 6 cắt trục hoành tại hai điểm A và B, cắt trục tung tại điểm C Diện tích tam giác ABC bằng

A 30 (đvdt) B 15 (đvdt) C 9 (đvdt) D 24 (đvdt).

Câu 10: Cho hàm số y ax b  (với a, b là các hằng số) có đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm

, Khẳng định nào sau đây sai?

Bài tập nâng cao

Câu 11: Đồ thị hàm số y 3 m x m  1 (với x là biến, m là tham số) luôn đi qua một điểm cố định

với mọi m Hỏi điểm thuộc góc phần tư thứ mấy?

 0; 0

A Góc phần tư thứ nhất B Góc phần tư thứ hai.

C Góc phần tư thứ ba D Góc phần tư thứ tư.

Câu 12: Cho hàm số y2m1x m 4 với x là biến số, m là tham số Biết rằng với mọi m đồ thị hàm

số luôn đi qua một điểm cố định A x y 0; 0 Giá trị 2 2 bằng

Xét hàm số cho bởi công thức y f x   Tập xác

định của hàm số là tập các giá trị của biến x để biểu

x khi x y

khi x x

2) f x  xác định khi f x  xác định và nhận giá trị không âm

3) xác định khi xác định và nhận giá trị dương

a) Biểu thức 2 1 xác định khi

3

x x

x x





  

Vậy hàm số 2 2011 có tập xác định là hay

x

 



c)

x

 



 D   1;   \ 2 , D  1; 2  2;.c) Biểu thức xác định khi

- Nếu m0 thì (1) trở thành 5 0 (luôn đúng) Khi đó tập xác định của hàm số là D.

- Nếu m0 thì  1 mx 5 x 5 Khi đó tập xác định của hàm số là



0

1

m y





với mọi ,

Tức là phương trình mx22mx m  3 0 (1) vô nghiệm

- Nếu m0 thì (1) trở thành 3 0 (vô nghiệm)

Do đó m0 là một giá trị cần tìm

- Nếu m0 thì (1) là phương trình bậc hai ẩn x có biệt thức thu gọn   m2m m   3 3m, nên (1)

vô nghiệm khi và chỉ khi 3m  0 m 0 (thỏa mãn m0)

Từ hai trường hợp trên suy ra m0 thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Chú ý: Ở ví dụ này, học sinh thường bị thiếu trường hợp m0





Bài tập nâng cao

Câu 5: Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2 1 2 có tập xác định là

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số ta

thực hiện theo một trong các cách sau đây:

x x





mọi x x1, 2 thuộc X x, 1x2

Ví dụ: Xét hàm số f x  x1 trên  1;  Với mọi x1 x2  1, ta có hiệu

a) Để tính các giá trị của y ta lần lượt thay những giá trị đã cho của x vào hàm số y  2x 3.

Cũng có thể sử dụng chức năng TABLE trong máy tính Casio fx-570ES để tính.

Vậy hàm số đã cho là hàm số nghịch biến trên 

Chú ý: Bảng biến thiên của hàm số y  2x 3 như sau

Ví dụ 2: Cho hàm số 1 với Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

x y x

a) Chứng minh hàm số f x  đồng biến trên 2; và nghịch biến trên ; 2 

b) Chứng minh rằng trên hàm số  f x  không phải hàm đồng biến, cũng không phải hàm nghịch biến

Hướng dẫn giải

a) Với mọi x x1, 2,x1 x2, ta xét thương

Vậy f x  đồng biến trên 2;

- Nếu x x1, 22,x1x2 thì trong hai số x x1, 2 có ít nhất một số nhỏ hơn 2 và

1 2 4 0, 1, 2 ; 2 , 1 2

x x    T x x   x x

Vậy f x  nghịch biến trên ; 2 

b) Giả sử f x  đồng biến trên Khi đó, với mọi  x x1, 2,x1x2, thì f x 1  f x 2

Suy ra f  1  f  0 Tuy nhiên, điều này không xảy ra vì f  1  2, f  0 1

Vậy hàm số f x  không phải hàm đồng biến trên 

Giả sử f x  nghịch biến trên  Khi đó, với mọi x x1, 2,x1x2, thì f x 1  f x 2

Suy ra f  3  f  2 Tuy nhiên, điều này không xảy ra vì f  3  2, f  2  3

Vậy hàm số f x  không phải hàm nghịch biến trên 

Chú ý: Bảng biến thiên của hàm số y f x x24x1 như sau

Bài tập tự luyện dạng 4

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho hàm số f x  xác định trên . Khẳng định nào sau đây sai?

A Nếu hàm số f x  đồng biến trên thì  x x1, 2,x1 x2 ta có f x 1  f x 2

B Nếu hàm số f x  đồng biến trên thì  x x1, 2,x1 x2 ta có f x 1  f x 2

C Nếu hàm số f x  nghịch biến trên thì  x x1, 2, x1x2 ta có f x 1  f x 2

D Nếu hàm số f x  nghịch biến trên thì  x x1, 2,x1 x2 ta có f x 1  f x 2

Câu 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?

A y  2x 3 B y  2x 2 C y 4 x D y  6x 1

Câu 3: Giá trị của m để hàm số y3m2x2020 nghịch biến trên là

Câu 4: Cho hàm số f x  xác định trên  Xét các khẳng định sau:

(1) Nếu hàm f x  đồng biến trên thì  f a  f b   a b  0, a b, 

(2) Nếu f a  f b  0, , , thì hàm đồng biến trên

(3) Nếu f a  f b   a b  0, a b, ,a b thì hàm f x  nghịch biến trên 

(4) Nếu hàm f x  nghịch biến trên thì  f a  f b  f c ,a b c, , ,a b c 

Số khẳng định đúng là

Câu 5: Cho hàm số f x  xác định trên đoạn  a b a b; ,  Xét các khẳng định sau:

(1) Nếu hàm f x  nghịch biến trên  a b; thì f x 1  f x 2  x1x2 0, x x1, 2 a b x; , 1x2

(2) Nếu f x 1  f x 2  x1x2 0, x x1, 2 a b x, , 1x2, thì hàm số f x  nghịch biến trên  a b; (3) Nếu f a  f c  f b , c  a b; , thì hàm f x  đồng biến trên  a b;

(4) Nếu hàm f x  đồng biến trên thì  f a  f c  f b , c  a b;

Những khẳng định sai là

Câu 6: Cho hàm số y x m 22019m với x là biến số, m là tham số Khẳng định nào sau đây đúng?

A Nếu m0 thì hàm số đồng biến trên , nếu  m0 thì hàm số nghịch biến trên 

B Nếu m0 thì hàm số nghịch biến trên , nếu  m0 thì hàm số đồng biến trên 

C Với mọi m hàm số luôn nghịch biến trên 

D Với mọi m hàm số luôn đồng biến trên 

Câu 7: Cho hàm số f x  xác định và đồng biến trên , thỏa mãn f f f   3  3 Giá trị của f  3bằng

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y2m7x1 nghịch biến trên ?

Bài tập nâng cao

Câu 9: Cho hai hàm số f x g x   , xác định trên  Những khẳng định nào sau đây đúng?

(1) Nếu f x  và g x  đồng biến trên thì hàm  f g x    cũng đồng biến trên 

(2) Nếu f x  và g x  nghịch biến trên thì hàm  f g x    cũng nghịch biến trên 

(3) Nếu f x  đồng biến và g x  nghịch biến trên thì hàm  f g x    nghịch biến trên 

A (1), (3) B (2), (3) C (1), (2) D (1), (2), (3).

Câu 10: Cho hai hàm số f x g x   , xác định trên . Khẳng định nào sau đây sai?

A Nếu các hàm f x g x   , đồng biến trên thì hàm  f x g x  cũng đồng biến trên .

B Nếu các hàm f x g x   , nghịch biến trên thì hàm  f x g x  cũng nghịch biến trên 

C Nếu hàm f x  đồng biến trên , hàm g x  nghịch biến trên  thì hàm f x   g x đồng biến trên 

D Nếu hàm f x  nghịch biến trên , hàm g x  đồng biến trên  thì hàm số f x   g x đồng biến trên 

Dạng 5: Xét tính chẵn – lẻ của hàm số

Phương pháp giải

Xét tính chẵn – lẻ của hàm số y f x  xác định

trên tập D.

- Nếu tồn tại x0D để  x0 D thì kết luận hàm

không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm

 

f x

lẻ trên D.

- Trường hợp  x D ta đều có  x D (ta gọi tập

D trong trường hợp này là tập đối xứng)

Hướng dẫn giải

a) Hàm số 4 có tập xác định là Ta thấy nhưng nên hàm số

1

x y





không phải là hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên D\ 1

b) Hàm số y f x 4x1 có tập xác định là D và  x  đều có  x 

Vì f x 4x1 và f     x 4x 1 nên f   x f x , x 0, đồng thời f    x f x , x .Vậy hàm số y f x 4x1 không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên D

 Nếu hàm số y f x  là hàm chẵn trên D thì đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

 Nếu hàm số y f x  là hàm lẻ trên D thì đồ thị của hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

 Nếu hàm số y f x  vừa là hàm chẵn vừa là hàm lẻ trên D thì f x   0, x D

Ví dụ 2: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y f x   2m1x m 3 (ẩn x) là hàm chẵn, hàm

Vậy với m 3 thì hàm số y f 2m 1 2m1x m 3là hàm lẻ trên .

Chú ý: Hàm đa thức n 1 0 là hàm chẵn trên khi mọi hệ số bậc lẻ bằng 0.

Bài tập nâng cao

Câu 5: Cho hàm số trên 

C Hàm số không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên 

D Hàm số vừa là hàm chẵn, vừa là hàm lẻ trên 

Dạng 6: Tìm tập giá trị của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Phương pháp giải

- Để tìm tập giá trị của hàm số y f x  với tập

tập con khác rỗng của D Số m1 được gọi là giá trị

lớn nhất của hàm số y f x  trên X, kí hiệu là

tập con khác rỗng của D Số m2 được gọi là giá trị

nhỏ nhất của hàm số y f x  trên X, kí hiệu là

Vậy min f x  4 đạt được khi x2

Phương trình bậc hai (1) có biệt thức   1 8y  1 9 8 y

Điều kiện để (1) có nghiệm là 0 9 8 0 9

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x   2x 1 trên đoạn 3; 4 

(2) Hàm số đồng biến trên khoảng 2;0 và nghịch biến trên khoảng  0; 2

(3) Tập giá trị của hàm số là đoạn  0; 2

(4) Hàm số không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên tập xác định

Số khẳng định sai là

Câu 2: Tập giá trị của hàm số y  x2 4x là

A  B ; 2  C ; 4  D 0;

Bài tập nâng cao

Câu 3: Cho hàm số có tập xác định là và tập giá trị G Trong G có bao nhiêu phần tử là

2 2

Câu 4: Cho hàm số 42 3 xác định trên Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

1

x y x

Câu 6: Nhà ông Minh có 50 phòng trọ cho thuê Biết rằng nếu cho thuê mỗi phòng với giá 2 000 000

đồng/tháng thì cả 50 phòng đều có người thuê Cứ mỗi lần tăng giá mỗi phòng thêm 50 000 đồng một tháng thì có thêm một phòng bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì ông Minh phải cho thuê mỗi phòng giá bao nhiêu đồng một tháng?

Đáp án và lời giải Dạng 1 Tính giá trị của hàm số tại một điểm

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 9 Chọn A.

Khẳng định (2) sai

Thật vậy, với mọi a b, ,a b , thì g a g b  (do hàm g x  nghịch biến), suy ra

(do hàm nghịch biến), chứng tỏ là hàm đồng biến trên

Vậy hàm số đã cho là hàm lẻ trên .

Dạng 6 Tìm tập giá trị của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

- Nếu y3 thì (1) là phương trình bậc hai với biệt thức   3y218y11

Lúc này (1) có nghiệm khi

Tổng thu nhập mỗi tháng của ông Minh từ việc cho thuê phòng trọ là