Bài 3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC nhóm ĐHSPHN image marked

CHƯƠNG 6 BÀI 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững các công thức lượng giác gồm: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng

Trang 1

CHƯƠNG 6 BÀI 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững các công thức lượng giác gồm: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng

 Kĩ năng

+ Vận dụng được các công thức lượng giác đã học vào các bài toán về tính giá trị lượng giác của các góc đặc biệt; tính giá trị của các biểu thức lượng giác

+ Xác định được tính chất của một tam giác thỏa mãn các điều kiện về góc, cạnh, diện tích… cho trước bằng cách đưa về các biểu thức lượng giác

Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Công thức cộng

 cosa b cos cosa bsin sina b

 cosa b cos cosa bsin sina b

 sina b sin cosa bcos sina b

 sina b sin cosa bcos sina b

 tan  tan tan

1 tan tan

a b



 



 tan  tan tan

1 tan tan

a b



 



Công thức nhân đôi

 sin 2a2sin cosa a

 cos 2acos2asin2a2cos2a  1 1 2sin2a

 tan 2 2 tan2

1 tan

a a

a





Công thức biến đổi tích thành tổng

 cos cos 1 cos  cos 

2

a b  a b  a b 

 sin sin 1 cos  cos 

2

a b  a b  a b 

 sin cos 1 sin  sin 

2

a b  a b  a b 

Công thức biến đổi tổng thành tích

 cos cos 2cos cos

 cos cos 2sin sin

 sin sin 2sin cos

 sin sin 2cos sin

Ví dụ:

cos cos cos sin sin

;

2 cos sin

sin sin cos cos sin

;

2 sin cos

tan tan

4 tan

4 1 tan tan

4

x x

x







  

tan 1 tan 1

x x







Ví dụ:

1 cos cos 3 cos 2 cos 4

2

x x   x  x

;

1 cos 2 cos 4

1 sin sin 5 cos 4 cos 6

2

x x   x  x

1 cos 4 cos 6

Ví dụ:

; cosxcos 3x2cos 2 cosx x

; cos 5xcos 3x 2sin 4 sinx x

; sin 2xsin 4x2sin 3 cosx x

sin 3xsinx2cos 2 sinx x

Trang 3

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Công thức cộng

Phương pháp giải

Các bài toán thường gặp:

- Tính các giá trị lượng giác

- Tính giá trị của một biểu thức lượng giác

- Rút gọn hoặc đơn giản một đẳng thức

- Chứng minh một đẳng thức bằng cách biến đổi vế

này thành vế kia, biến đổi hai vế cùng bằng một đại

lượng hoặc biến đổi tương đương dẫn đến một đẳng

thức đúng

- Chú ý giá trị lượng giác của các cung lượng giác

đặc biệt đã biết: 30 , 45 ,60 ,90   

Ví dụ: Biết sin 1,0 Hãy tính giá trị

x  x 

lượng giác cos

4

x 

  

Hướng dẫn giải

Vì 0 nên điểm ngọn cung thuộc góc phần

2

 

tư thứ I cos 0 cos 3

2

Ta có cos cos cos sin sin



Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Biết cos 12, 3 Giá trị lượng giác là

x    x 

sin

3 x



  

26

 

Vì 3 nên điểm ngọn cung thuộc góc phần tư thứ III

2

Ta có sin sin cos cos sin 3 12 1 5 5 12 3

Chọn A.

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

ta được kết quả là

2

Trang 4

Ta có Asin 14  x cos 16  x sin 76  x sin 16 x

sin 14 x cos 16 x cos 14 x sin 16 x

sin 14 16 sin 30

2

x x

Chọn C.

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sin  sin  sin  ta được kết

cos cos cos cos cos cos

A

quả là

A Atana B Atanb C Atanc D A0

Ta có

sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos

A

sin cosa b



cos cosa b

sin cosb a



cos a

sin cos cos

b cos cosb c

sin cosc b



cos b

sin cos cos

c cos cosc a

sin cosa c



cos c cos a

tan a

  tan b  tan b  tan c  tan c  tan a 0

Chọn D.

Ví dụ 4*: Cho các góc nhọn thỏa mãn sin2xsin2 y1 Chứng minh rằng

sin xsin ysin x y

2

x x  x x

sin xsin y1

(vì x, y đều là góc nhọn) nên



  

Mà sin2x y sin2xcos2 ysin2 ycos2x2sin sin cos cosx y x y

Do đó sin2 xsin2 ysin2x y 

sin x sin y sin cosx y sin y.cos x 2sin sin cos cosx y x y

sin x sin y sin x 1 sin y sin y 1 sin x 2sin sin cos cosx y x y

2sin sinx y 2sin sin cos cosx y x y

sin sinx y cos cosx y

sin sinx y cos cosx y 0

(hiển nhiên đúng do )

cos x y 0

2

  

Phân tích bài toán

Sử dụng dữ kiện bài toán để chỉ ra

.

0

2

  

Từ đây ta thấy các giá trị lượng giác của góc x y đều dương.

Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi vế phải của bất đẳng thức rồi dùng biến đổi tương đương, dùng các công thức lượng giác để dẫn tới điều luôn đúng.

Trang 5

Suy ra điều phải chứng minh

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Rút gọn biểu thức Acos 25 cos 5  cos 65 cos85  thu được kết quả là

A Acos 60 B Acot 60 C Atan 60 D Asin 60

Câu 2: Rút gọn biểu thức Asinx 17 cos x  13  sinx 13 cos x 17  thu được kết quả là

2

13

0

2

y 

52

 

Câu 4: Cho cotx 3; coty1, biết rằng cả x, y đều là góc nhọn và dương Giá trị của x y là

12



Câu 5: Cho   A B C, , là 4 góc của một tam giác Khẳng định nào sau đây sai?

B C  B C  A tanAtanBtanCtan tan tanA B C

C cotAcotBcotCcot cot cotA B C D tan tan tan tan tan tan 1

Câu 6: Cho biểu thức Asin2x y sin2xsin2 y Khẳng định nào sau đây đúng?

A A2sin cos cosx y x y  B A2cos sin sinx y x y 

C A2cos cos cosx y x y  D A2sin sin cosx y x y 

Câu 7: Cho A, B, C là ba góc của một tam giác Khẳng định nào sau đây đúng?

A cos2 Acos2Bcos2C 1 cos cos cosA B C

B cos2 Acos2Bcos2C 1 cos cos cosA B C

C cos2 Acos2Bcos2C 1 2cos cos cosA B C

D cos2 Acos2Bcos2C 1 2cos cos cosA B C

Câu 8: Cho tan , 1 Khẳng định nào sau đây đúng?

4

x  t t

    

1

t x

t







1 tan

1

t x t







1 tan

1

t x

t





 

2 tan

1

t x t





Câu 9: Cho cos2 xcos2 y m Khi đó giá trị của biể thức Acosx y  cos x y  là

A A m 1 B A m 1 C A  m 1 D A  m 1

Bài tập nâng cao

Trang 6

Câu 10: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Asin4 x2cos4x lần lượt là M và m Giá trị biểu

thức P M là

m



Câu 11: Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 3sin 1 là

1 tan

x



8

33 8

17 4

Câu 12: Cho A, B, C là 3 góc của ABC Biết rằng 3 cos B2cosC 4 sinB2sinC15 Khi đó

là tam giác gì?

ABC



A Tam giác cân B Tam giác vuông C Tam giác đều D Tam giác vuông cân.

Dạng 2: Công thức nhân đôi

Áp dụng công thức nhân đôi để tính hoặc rút gọn các giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Giá trị của cos4 sin4 là

2

3

2

1 2

Ta có

A              

Chọn C.

Ví dụ 2: Giá trị của biểu thức Asin6xcos6x bằng a b cos 4x Giá trị của

là

2

a b

8

11 8

13 8

15 8

Ta có Asin6 xcos6xsin2xcos2xsin4xsin cos2 x 2xcos4x

sin cos 3sin cos 1 sin 2 1

x

Vậy 2 5 2.3 11

Công thức hạ bậc:

2 1 cos 2 cos

2

x



2 1 cos 2 sin

2

x



Trang 7

Chọn B.

Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây đúng?

2 cos

x

x x

  

1

2 cos

x

x x

  

x

  

1

2 cos

x

x x

  

Hưỡng dẫn giải

Ta có

sin 1 2cos 1 sin 2cos



2cos sin

2

2 cos cos

x

Chọn A.

Ví dụ 4: Cho 0 , ; 3sin2 2sin2 1 và Tính

2

cos x2y

A 6sin cos2x x B 6sin2 y.cosy C 0 D 1

Ta có 3sin2 x2sin2 y 1 3sin2x 1 2sin2 ycos 2y

3sin 2x2sin 2y 0 2sin 2y3sin 2xsin 2y3sin cosx x

Do đó:

cos x2y cos cos 2x ysin sin 2x ycos 3sinx xsin 3sin cosx x x0

cos x 2y 0

Chọn C.

Câu 1: Cho cos 4 thì có giá trị là

5

6 5

7 5

2 2 5

Câu 2: Cho cotx15 thì sin 2x có giá trị là

113

11 113

15 113

17 113

Trang 8

Câu 3: Cho x, y là 2 góc nhọn dương và sin 1, sin 1 thì giá trị đúng của là

18

Câu 4: Cho tan 1 thì giá trị của biểu thức là

2

2 3cos 2

x A

x





Câu 5: Nếu sin cos 2 thì giá trị của biểu thức là

2

2

Câu 6: Cho biểu thức sau Acotxtanx2 tan 2x4 tan 4x Khẳng định nào sau đây đúng?

A A2cot 2x B A4cot 4x C A6cot 6x D A8cot 8x

Câu 7: Cho biểu thức sau sin 2 sin Khẳng định nào sau đây đúng?

1 cos cos 2

A





A Atanx B Asinx C Acotx D Atan 2x

Câu 8: Cho biểu thức 2sin 222 3 sin 4 1 Khẳng định nào sau đây đúng?

2cos 2 3 sin 4 1

A



sin 4 30

x A

x

 



 

sin 4 30 sin 4 30

x A

x

 



 

cos 4 30 cos 4 30

x A

x

 



 

cos 4 30 cos 4 30

x A

x

 



 

Câu 9: Giá trị lớn nhất của biểu thức Acos 2x4sinx3 là

Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Asin6 xcos6 x là

3

1 4

1 5

1 6

Câu 11: Cho P2cosx3sinx3cosx2sinx1 Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P Giá trị của A là

B

11



Dạng 3: Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

Áp dụng công thức biến tổng thành tích và tích

thành tổng để biến đổi, tính giá trị lượng giác, biểu

thức lượng giác, rút gọn hoặc chứng minh

Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau

2sin cos cos 3 cos 5

Ta có

Trang 9

2sin cos 2sin cos 3 2sin cos 5

sin 2x sin 4x sin 2x sin 6x sin 4x

sin 6x



Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức Acos 75 sin15 

4

 

Ta có cos 75 sin15 1 sin 75 15  sin 75 15 

2

A            

sin 90 sin 60



Chọn A.

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

được kết quả là

sin sin sin sin sin sin

A a b c  b c a  c a b

A 1 B 0 C sin sin sina b c D cos cos cosa b c

Ta có Asinasin cosb xsin cosc bsinbsin cosc asin cosa c

sin sin cosc a b sin cosb a

sin sin cosa b c sin sin cosa c b sin sin cosb c a sin sin cosb a c

sin sin cosc a b sin sin cosc b a 0

Chọn B.

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức 4cos cos cos được kết quả là

A x x x

A cos x B cos 2x C cos 3x D cos 4x

2

A x x x x  x

cosx 2cos cos 2x x cosx

     cos 3x cosx cos 3x

Chọn C.

Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức:

2 sin 4

2sin sin 2 2cos cos 3 cos 5

x

Trang 10

   

2cos cos 3 cos 5 cos cos 3 cos cos 5

VT

4sin 2 cos 2 2sin 2 cos 2

2cos cos 2 2cos 2 cos 3 cos cos 3

2sin 2 cos 2 4sin cos

2cos cos 2 cos

2

4sin cosx x 2sin sin 2x x VP

Suy ra điều phải chứng minh

Câu 1: Cho 2 Rút gọn biểu thức ta được kết quả là

2

A



2

x

cot 2

x

cot

4

y 

   



  

Câu 2: Giá trị biểu thức Acosx 45 cos x 45  là

1 sin 2

1 cos 2



Câu 3: Giá trị biểu thức Asinx 30 cos x 30  là

x

Câu 4: Rút gọn biểu thức sin2 sin2 ta được

2

Câu 5: Đẳng thức nào sau đây là sai?

A cos cosx ysin sinx ycosx y  13  B 4sin cos cos 2x x xsin 4x

C cos 22 xsin2xcos 3 cosx x D 2sinx y .sinx y cos 2xcos 2y

Câu 6: Cho A, B, C lần lượt là 3 góc tam giác ABC; R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của

tam giác ABC Khẳng định nào trong số các khẳng định sau đúng?

r R

r R

Trang 11

ĐÁP ÁN Dạng 1 Công thức cộng

1 - D 2 - B 3 - B 4 - A 5 - C 6 - D 7 - C 8 - B 9 - A 10 - B

11 - C 12 - A

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 10 Chọn B.

Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2

3

Ta lại có A3cos4 x2cos2x 1 3cos4 x2cos2 x  1 2 cos2x1 3cos 2x 1 2

Vì 0 cos 2x1 nên cos2x1 3cos 2x   1 0 A cos2x1 3cos 2 x  1 2 2

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2.

2 3

3

M  m  P 

Câu 11 Chọn C.

2

1

1 tan

cos

x



2 1 sin x 3sinx 1 2sin x 3sinx 3

2 sin sin

Vậy giá trị lớn nhất của A là 33

8

Câu 12 Chọn A.

Ta có 3 cos B2cosC 4 sinB2sinC  3cosB4sinB  6cosC8sinC







3 cosB 2cosC 4 sinB 2sinC 15

Trang 12

Mà theo giả thiết 3 cos B2sinC 4 sinB2cosC15 nên 3cos 4sin 5

6cos 8sin 10





tan

B

C

 , 180

B C 

Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A.

Dạng 2 Công thức nhân đôi

1 - C 2 - C 3 - A 4 - D 5 - D 6 - D 7 - A 8 - A 9 - D 10 - B

11 - D

Câu 9 Chọn D.

Ta có Acos 2x4sinx  3 1 2sin2x4sinx  3 2sin2x4sinx4

2 sin x 2sinx 2 2 sin x 2sinx 1 3 2 sinx 1 6 6

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 6 khi sinx1

Câu 10 Chọn B.

Sử dụng hằng đẳng thức: a3b3 a b a   2ab b 2

sin cos sin cos sin sin cos cos

sin cos 3sin cos 1 3 sin cos 1 sin 2

4

x   x    A  x  

Câu 11 Chọn D.

Ta có P6cos2x4sin cosx x9sin cosx x6sin2x1

6 cos sin 5sin cos 1 6cos 2 sin 2 1

2

6

 

  

 



cos 2 sin 2 1 sin cos 2 cos sin 2 1 sin 2 1

Vì  1 sin 2x1 nên min 13 1 11 và

P     max 13 1 15

Trang 13

Do đó 15; 11 15.

A

B



Dạng 3 Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

1 - C 2 - C 3 - A 4 - A 5 - D 6 - A

Câu 6 Chọn A.

Gọi p là nửa chu vi của tam giác Ta có 2

sin sin sin

R

2 sin 2 sin 2 sin

sin sin sin

sin sin sin sin sin sin cos sin cos

sin 1 cos sin 1 cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2cos

4 cos cos sin cos sin cos 4 cos cos sin

4 cos cos cos

R



2

sin 2 sin 2 sin 2 8 sin sin sin

.2sin 2sin cos 2.sin cos

2cos cos cos

Vậy 4 sin sin sin

r R

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	238,84 KB