Toán 10 Bài 3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG 6 BÀI 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững các công thức lượng giác gồm: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng

Trang 1

CHƯƠNG 6 BÀI 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững các công thức lượng giác gồm: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng

 Kĩ năng

+ Vận dụng được các công thức lượng giác đã học vào các bài toán về tính giá trị lượng giác của các góc đặc biệt; tính giá trị của các biểu thức lượng giác

+ Xác định được tính chất của một tam giác thỏa mãn các điều kiện về góc, cạnh, diện tích… cho trước bằng cách đưa về các biểu thức lượng giác

Trang 2

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Công thức cộng

 cosa b cos cosa bsin sina b

 cosa b  cos cosa b sin sina b

 sina b  sin cosa b cos sina b

 sina b  sin cosa bcos sina b

 tan  tan tan

1 tan tan

a b





 tan  tan tan

1 tan tan

a b





Công thức nhân đôi

 sin 2a2sin cosa a

 cos 2acos2a sin2a2 cos2a  1 1 2sin2a

 tan 2 2 tan2

1 tan

a a

a





Công thức biến đổi tích thành tổng

 cos cos 1 cos  cos 

2

a b  a b  a b 

 sin sin 1 cos  cos 

2

a b  a b  a b 

 sin cos 1 sin  sin 

2

a b  a b  a b 

Công thức biến đổi tổng thành tích

 cos cos 2cos cos

 cos cos 2sin sin

 sin sin 2sin cos

 sin sin 2cos sin

Ví dụ:

cos cos cos sin sin

2 cos sin

2 sin cos

tan tan

4 tan

4 1 tan tan

4

x x

x







tan 1 tan 1

x x







Ví dụ:

 

1 cos cos3 cos 2 cos 4

2

x x   x  x

1 cos 2 cos 4

 

1 sin sin 5 cos 4 cos 6

2

x x   x  x

1 cos 4 cos 6

Ví dụ:

cosxcos3x2cos 2 cosx x;

cos5x cos3x2sin 4 sinx x;

sin 2xsin 4x2sin 3 cosx x;

sin 3x sinx2 cos 2 sinx x

Trang 3

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Công thức cộng

Phương pháp giải

Các bài toán thường gặp:

- Tính các giá trị lượng giác

- Tính giá trị của một biểu thức lượng giác

- Rút gọn hoặc đơn giản một đẳng thức

- Chứng minh một đẳng thức bằng cách biến đổi vế

này thành vế kia, biến đổi hai vế cùng bằng một đại

lượng hoặc biến đổi tương đương dẫn đến một đẳng

thức đúng

- Chú ý giá trị lượng giác của các cung lượng giác

đặc biệt đã biết: 30 , 45 ,60 ,90   

Ví dụ: Biết sin 1, 0

x x Hãy tính giá trị

lượng giác cos

4

x 



Hướng dẫn giải

Vì 0

2

x 

  nên điểm ngọn cung thuộc góc phần

tư thứ I cos 0 cos 3

2

Ta có cos cos cos sin sin



Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Biết cos 12, 3

x  x  Giá trị lượng giác sin

3 x





  là

A 5 12 3

26

 

2

   nên điểm ngọn cung thuộc góc phần tư thứ III  sinx0

2

Ta có sin sin cos cos sin 3 12 1 5 5 12 3

Chọn A.

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

A x  x   x  x  ta được kết quả là

2

A  D Acos 2x

Trang 4

Ta có Asin 14  xcos 16   xsin 76   xsin 16   x

sin 14 x cos 16 x cos 14 x sin 16 x

2

x x

Chọn C.

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sin  sin  sin 

cos cos cos cos cos cos

A

quả là

A Atana B Atanb C Atanc D A 0

Ta có

sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos

A

sin cosa b



cos cosa b

sin cosb a



cos a

sin cos cos

bcos cosb c

sin cosc b



cos b

sin cos cos

ccos cosc a

sin cosa c



cos c cos a tan a

  tan b tan b tan c tan c  tan a  0

Chọn D.

Ví dụ 4*: Cho các góc nhọn thỏa mãn sin2xsin2 y1 Chứng minh rằng

sin xsin ysin x y

Ta có sin2 cos2 1 sin2 sin2 1

2

x x  x  x

sin xsin y1, suy ra

  (vì x, y đều là góc nhọn) nên 0

2

Mà sin2x y  sin2xcos2 ysin2 ycos2x2sin sin cos cosx y x y

Do đó sin2 xsin2 ysin2x y 

sin x sin y sin cosx y sin y.cos x 2sin sin cos cosx y x y

sin x sin y sin x 1 sin y sin y 1 sin x 2sin sin cos cosx y x y

2sin sinx y 2sin sin cos cosx y x y

sin sinx y cos cosx y

sin sinx y cos cosx y 0

cos x y 0

   (hiển nhiên đúng do 0

2

   )

Suy ra điều phải chứng minh

Phân tích bài toán

Sử dụng dữ kiện bài toán để chỉ ra

0

2

Từ đây ta thấy các giá trị lượng giác của góc x y đều dương.

Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi vế phải của bất đẳng thức rồi dùng biến đổi tương đương, dùng các công thức lượng giác để dẫn tới điều luôn đúng.

Trang 5

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Rút gọn biểu thức A cos 25 cos5   cos 65 cos85  thu được kết quả là

Câu 2: Rút gọn biểu thức Asinx17 cos x13  sinx13 cos x17 thu được kết quả là

2

Câu 3: Cho sin 4

13



    với 0

2

y 

  Giá trị của cos x y   là

A 12 3 119

52



B 12 3 119

52



C 12 3 119

52

 

D 12 3 119

52

Câu 4: Cho cotx 3; coty  , biết rằng cả x, y đều là góc nhọn và dương Giá trị của 1 x y là

A 5

12



B 17

12



C 7

12



D 11

12



Câu 5: Cho A B C là 4 góc của một tam giác Khẳng định nào sau đây sai?,  , 

A cos cos sin sin sin

Câu 6: Cho biểu thức Asin2x y  sin2x sin2 y Khẳng định nào sau đây đúng?

A A2sin cos cosx y x y  B A2cos sin sinx y x y 

C A2cos cos cosx y x y  D A2sin sin cosx y x y 

Câu 7: Cho A, B, C là ba góc của một tam giác Khẳng định nào sau đây đúng?

cos Acos Bcos C 1 cos cos cosA B C

B cos2 Acos2Bcos2C 1 cos cos cosA B C

C cos2 Acos2Bcos2C 1 2cos cos cosA B C

cos Acos Bcos C 1 2cos cos cosA B C

4

x  t t

  Khẳng định nào sau đây đúng?

A tan 1

1

t x

t





1

t x t





1

t x

t





1

t x t





Câu 9: Cho cos2 xcos2 y m Khi đó giá trị của biể thức Acosx y cosx y  là

A A m 1 B A m 1 C Am1 D Am1

Bài tập nâng cao

Câu 10: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Asin4 x2cos4 x lần lượt là M và m Giá trị biểu

thức P M

m

 là

Trang 6

A 4 B 3 C 2 D 1

Câu 11: Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 3sin 1

1 tan

x

A 31

33

17 4

Câu 12: Cho A, B, C là 3 góc của ABC Biết rằng 3 cos B2cosC4 sin B2sinC15 Khi đó

ABC

 là tam giác gì?

A Tam giác cân B Tam giác vuông C Tam giác đều D Tam giác vuông cân.

Dạng 2: Công thức nhân đôi

Phương pháp giải

Áp dụng công thức nhân đôi để tính hoặc rút gọn các giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Giá trị của cos4 sin4

A 3

2



B 2

3

1 2

Ta có

A                

Chọn C.

Ví dụ 2: Giá trị của biểu thức Asin6xcos6x bằng a b cos 4x Giá trị của

2

a b là

A 9

11

13

15 8

Ta có Asin6 xcos6 xsin2xcos2x sin4x sin cos2x 2 xcos4x

x

Vậy 2 5 2.3 11

a b  

Chọn B.

Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây đúng?

Công thức hạ bậc:

2 1 cos 2 cos

2

x

x 

2 1 cos 2 sin

2

x

x 

Trang 7

A tan 1 1 tan

2 cos

x

x x

2 cos

x

x x

C tan 1 1 tan

x

2 cos

x

x x

Hưỡng dẫn giải

Ta có

sin 1 2cos 1 sin 2cos



2cos sin

2

x

Chọn A.

Ví dụ 4: Cho 0 , ; 3sin2 2sin2 1

2

    và 3sin 2x 2sin 2y0 Tính

cos x2y

A 6sin cos2x x B 6sin2 y.cosy C 0 D 1

Ta có 3sin2x2sin2 y 1 3sin2x 1 2sin2 ycos 2y

3sin 2x 2sin 2y 0 2sin 2y3sin 2x sin 2y3sin cosx x

Do đó:

cos x2y cos cos 2x y sin sin 2x ycos 3sinx x sin 3sin cosx x x0

cos x 2y 0

Chọn C.

Câu 1: Cho cos 4

5

x  thì cos 2x có giá trị là

A 2

6

7

2 2 5

Câu 2: Cho cotx 15 thì sin 2x có giá trị là

A 13

11

15

17 113

Câu 3: Cho x, y là 2 góc nhọn dương và sin 1, sin 1

x y thì giá trị đúng của sin 2 x y   là

Trang 8

A 7 3 4 2

18



B 7 3 4 2

18



C 7 3 4 2

18

D 7 3 4 2

18

Câu 4: Cho tan 1

2

x  thì giá trị của biểu thức 2sin 2

2 3cos 2

x A

x



Câu 5: Nếu sin cos 2

2

x x thì giá trị của biểu thức P3sin 2x2cos 2x là

A 3 3

3 3 2

Câu 6: Cho biểu thức sau Acotx tanx 2 tan 2x 4 tan 4x Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 7: Cho biểu thức sau sin 2 sin

1 cos cos 2

A





  Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 8: Cho biểu thức

2

2sin 2 3 sin 4 1 2cos 2 3 sin 4 1

A



  Khẳng định nào sau đây đúng?

sin 4 30

x A

x

 



sin 4 30 sin 4 30

x A

x

 



cos 4 30 cos 4 30

x A

x

 



cos 4 30 cos 4 30

x A

x

 



 

Câu 9: Giá trị lớn nhất của biểu thức Acos 2x4sinx3 là

Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Asin6 xcos6 x là

A 1

1

1 6

Câu 11: Cho P2cosx 3sinx 3cosx2sinx1 Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của biểu thức P Giá trị của A

B là

A 12

11



B 13

11



C 14

11



D 15

11



Dạng 3: Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

Phương pháp giải

Áp dụng công thức biến tổng thành tích và tích

thành tổng để biến đổi, tính giá trị lượng giác, biểu

thức lượng giác, rút gọn hoặc chứng minh

Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau

2sin cos cos3 cos5

Ta có

Trang 9

    sin 2x sin 4x sin 2x sin 6x sin 4x

sin 6x

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức A cos 75 sin15 

A 2 3

4



B 2 3

4



C 2 3

4

 

D 2 3

4

 

Ta có cos 75 sin15 1 sin 75 15  sin 75 15 

2

sin 90 sin 60



Chọn A.

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

sin sin sin sin sin sin

A a b c  b c a  c a b được kết quả là

Ta có Asinasin cosb x sin cosc bsinbsin cosc a sin cosa c

sin sin cosc a b sin cosb a

sin sin cosa b c sin sin cosa c b sin sin cosb c a sin sin cosb a c

sin sin cosc a b sin sin cosc b a 0

Chọn B.

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức 4cos cos cos

A x  x x

    được kết quả là

2

A x  x x x  x

cosx 2cos cos 2x x cosx

Chọn C.

Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức:

2

sin 4

2sin sin 2 2cos cos3 cos5

x

2cos cos3 cos5 cos cos3 cos cos5

VT

Trang 10

2 2 2

4sin 2 cos 2 2sin 2 cos 2

2cos cos 2 2cos 2 cos3 cos cos3

2sin 2 cos 2 4sin cos

2cos cos 2 cos

2

4sin cosx x 2sin sin 2x x VP

Suy ra điều phải chứng minh

Câu 1: Cho 2

2

x y Rút gọn biểu thức  

A

 



  ta được kết quả là

A tan

2

x

B cot

2

x

C cot

4

y 

4

y 



Câu 2: Giá trị biểu thức Acosx45 cos x 45 là

A 1sin 2



Câu 3: Giá trị biểu thức Asinx30 cos x 30 là

A sin 2 3

x

Câu 4: Rút gọn biểu thức sin2 sin2

A    

A 2sin

2

Câu 5: Đẳng thức nào sau đây là sai?

A  cos cosx ysin sinx ycosx y 13 B 4sin cos cos 2x x xsin 4x

C cos 22 x sin2xcos3 cosx x D 2sinx y .sinx y cos 2x cos 2y

Câu 6: Cho A, B, C lần lượt là 3 góc tam giác ABC; R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của

tam giác ABC Khẳng định nào trong số các khẳng định sau đúng?

A 4 sin sin sin

r R

C 2 sin sin sin

r R

Trang 11

ĐÁP ÁN

Dạng 1 Công thức cộng

11 - C 12 - A

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 10 Chọn B.

Ta có Asin4x2cos4x2cos4x1 cos 2 x23cos4x 2cos2x1

Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2

3.

Ta lại có A3cos4x 2cos2x 1 3cos4 x 2cos2x1 2 cos2x1 3cos  2x12

cos x1 3cos x1  0 A cos x1 3cos x1  2 2

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2.

Vậy

2 3

3

M  m  P 

Câu 11 Chọn C.

Ta có

2 2

2

1

1 tan

cos

x



2 1 sin x 3sinx 1 2sin x 3sinx 3

Vậy giá trị lớn nhất của A là 33

8 .

Câu 12 Chọn A.

Ta có 3 cos B2cosC4 sin B2sinC  3cosB4sinB  6cosC8sinC







3 cosB 2cosC 4 sinB 2sinC 15

Trang 12

Mà theo giả thiết 3 cos B2sinC4 sin B2cosC 15 nên 3cos 4sin 5

6cos 8sin 10





Do đó dấu “=” xảy ra khi

tan

B

C

(do B C ,  180 )

Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A.

Dạng 2 Công thức nhân đôi

11 - D

Câu 9 Chọn D.

Ta có Acos 2x4sinx  3 1 2sin2x4sinx 3 2sin2x4sinx4

2 sin x 2sinx 2 2 sin x 2sinx 1 3 2 sinx 1 6 6

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 6 khi sinx 1

Câu 10 Chọn B.

Sử dụng hằng đẳng thức: a3b3 a b a   2 ab b 2

4

x   x  A  x  

A  A 

Câu 11 Chọn D.

Ta có P6cos2x4sin cosx x 9sin cosx x 6sin2x1

6 cos sin 5sin cos 1 6cos 2 sin 2 1

2

Tới đây ta rút

2

6

 

  

 

ra ngoài và đặt sin 12; cos 5 ; 0



      

P  x x   x  x     x 

Vì  1 sin  2x 1 nên min 13 1 11

P    và max 13 1 15

Trang 13

Do đó 15; 11 15

A

B



Dạng 3 Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

1 - C 2 - C 3 - A 4 - A 5 - D 6 - A

Câu 6 Chọn A.

Gọi p là nửa chu vi của tam giác Ta có 2

R

2 sin 2 sin 2 sin

sin sin sin

sin 1 cos sin 1 cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2cos

4 cos cos sin cos sin cos 4 cos cos sin

4 cos cos cos

R

Ta lại có

3

2

sin 2 sin 2 sin 2 8 sin sin sin

.2sin 2sin cos 2.sin cos

2cos cos cos

Vậy 4 sin sin sin

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	1,01 MB