LƯỢNG GIÁC một số CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

Công thức biến đổi tích thành tổng... Công thức biển đổi tổng thành tích..  DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.. Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt

1 tan tantan tantan( )

+

2 Công thức nhân đôi, hạ bậc:

a) Công thức nhân đôi

sin2a= 2sin cosa a

1 cos 2sin

2

1 cos 2cos

2

1 cos 2tan

1 cos 2

a a

a a

a a

a

-=+

=-

=+

3 Công thức biến đổi tích thành tổng

1cos cos cos( ) cos( )

21

21sin cos sin( ) sin( )

2

4 Công thức biển đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Phương pháp giải

Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt

b)Tính giá trị lượng giác sau: sin18 0

c)Tính các giá trị lượng giác sau: tan7

12

p

b)Vì 540+360= 900nên sin 540= cos 360

Màcos 360 = cos 2.18( 0)= 1 2 sin 18- 2 0

2cos cos

a) Cách 1: Ta có cos 202 30'0 = cos 180( 0+ 22 30'0 )= - cos 22 30'0

Do đó sin 22 30'cos 22 30'0 0 1sin 450 2

-

sin 9 cos 81 sin 81 cos 9 sin 27 cos 63 sin 63 cos 27

cos 9 cos 81 cos 27 cos 63

8

Lưu ý: Biến đổi sau thường xuyên được sử dụng

• sin 3 cos 2 1sin 3cos 2 sin( )

Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

a) sin cos cos cos

b) B = sin10 sin 30 sin 50 sin70o o o o

4 sin 40 cos 40 cos 80

2 sin 80 cos 80 sin160

p p

11

b) Tính giá trị lượng giác sau sin

-Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau:

a) A = 4sin 45 cos12 cos 30 0 0- sin 540- sin 360

d) sin10 sin 50 sin70 0 0 0

Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = cos 732 0+ cos 472 0+cos73 cos 470 0

b) B = sin6 sin 42 sin66 sin780 0 0 0

c) cos cos4 cos5

sin12 sin 24 sin 48 sin 96 1

m - n

2 2

22

n

+-

m - n

2 2

22

n

+-

m - n

2 2

22

n

+-

Lời giải:

Bài 6.30: + Ta có (sina + sinb)2+(cosa+ cosb)2 = m2+ n2

Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin sin7 sin13 sin19 sin25

Bài 6.32: Tính giá trị của biểu thức sau:

a) cos cos4 cos5

c) C = sin6 sin 42 sin66 sin78o o o o

d) cos2 cos4 cos8 cos16 cos32

e) F = sin 5 sin15 sin 25 sin75 sin85o o o o o

2 sin 2 sin 4 sin1998

(sin 2 sin 4 sin 998 ) sin 2 1002 sin 2 1998

sin cos 1 7 sin cos

sin cos 2 sin cos 1 7 sin cos

b)Tính cos x

A. 1

15

25-

-Bài 6.36: Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

a) sin(a b- ), cos(a b+ ), tan(a b+ ) khi sina 8 , tan 5

= = và a, b là các góc nhọn

Lời giải:

Bài 6.36: a) 21 ; 140; 21

221 221 220 b)

(5 12 3)26

-c) Cho tan(a + b)= m và tan(a- b)= n Tính tan2a

+

1

m n mn

+

2

m n mn

+-

biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác

Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái

có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn

2 2 1 cos 1 cos 1 1 cos

֍

Ví dụ 5: Đơn giản biểu thức sau:

a) cos 2 cos 2 cos 3

sin sin 2 sin 3

sin 3 1 cos

2sin2

sin 4 1 cos

2sin2

2 sin 2 cos 2 sin 2

2 sin 2 2 sin 2 4 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2

Ta có sin 2a+ sin 2b= 2 sin(a+ b)cos(a b- )

Mà sin(a+ b)= 2 cos(a b- )Þ sin2(a+ b)= 4 cos2(a b- ) nên

2 sin cos cos 2 sin

2 sin 1 sin 1 2 sin sin

sin 3 3sin 4 sin sin

Lưu ý: Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được 3

cos 3a= 4cos a- 3cosa,

a a

4 cos asina- sin acosa = sin 4a

Lời giải:

Bài 6.42: a) VT= 4 sin cosa a(cos2a- sin2a)= 2 sin 2 cos 2a a = sin 4a = VP

b) 2 sin cos( sin cos )

c) cos cos 3 cos 5 cos7

sin sin 3 sin 5 sin 7

-40

d)

2

2

2 cos 2 sin 2 sin

6 2 cos 4 sin cos

Bài 6.45: Chứng minh các hệ thức sau:

a) Nếu 2 tana= tan(a+ b) thì sinb= sin cos(a a+ b)

b) Nếu 2 tana= tan(a+ b) thì 3 sinb= sin(2a+ b)

c) Nếu tan(a+ b).tanb= - 3 thì cos(a+ 2 )b + 2 cosa= 0

d) Nếu 3 sin(a+ b)= cos(a b- ) thì 8 sin2(a+ b)= cos 2 cos 2a b

Lời giải:

Bài 6.45: a) 2 tana= tan(a+ b)Þ tana= tan(a+ b) tan- a

sintan

cos( )cos

b a

Theo câu a) ta có sinb= sin cos(a a+ b) suy ra 3 sinb= sin(2a+ b)

c) tan(a+ b).tanb= - 3Þ sin(a+ b)sinb= - 3 cos(a+ b)cosb

16 sin 2 cos 2 cos 2

8 sin a+ b = cos 2 cos 2a b ĐPCM

Bài 6.46: Chứng minh rằng sin sin2 sin4 cos cos5 cos7 3

Bài 6.49: Chứng minh rằng a) tanx= cotx- 2cot 2x

b) 1.tan 12.tan 2 1 tan 1 cot cot

44

0

0 0

0 0

sin1 sin 2 + sin 2 sin 3 + + sin(n- 1) sinn = - n

Bài 6.52: Chứng minh rằng 2sin 20+4sin 40+ 178sin178+ 0= 90cot10

cos1 cos 3 2 cos 3 cos 5 89 cos177 cos179

cos1 cos 3 cos177 89 cos179

cos1 cos 3 cos177 cos 89 cos 91 89 cos1

45

- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết

- Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc

- Sử dụng kết quả sina £ 1, cosa £ 1 với mọi số thực a

2 Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với 0

2

p a

b) Bất đẳng thức tương đương với

cos sin 2 cos 2 cos sin 2 cos 2

a p

< < Chứng minh rằng sin 1 cos 1 2

Bất đẳng thức tương đương với

(2 cos 2 1)2 2 1 cos 2 3 2 cos 2( ) 2 sin 3 2 1 2 sin( 2 )

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:

A maxA = 2 và minA = - 2 B maxA = 3 và minA = - 3 C

maxA = 2 2 và minA = - 2 2 D maxA = 2 và minA = - 2

a) Ta có A2= (sinx+ cosx)2 = sin2x+ cos2x+ 2 sin cosx x= 1 sin 2+ x

Vì sin 2x £ nên 1 A2= +1 sin 2x£ + =1 1 2 suy ra - 2£ A£ 2

49

1

12

Từ bảng biến thiên suy ra maxA = 5 khi t = - 1 hay sinx = 1

x x

Theo bất đẳng thức Côsi ta có tanx+ cotx³ 2 tan cotx x= 2

Bài 6.54: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức B= cos 2x+ 1 2sin+ 2x

A maxB = 3,minA = 3- 1 B maxB = 2,minA = 3- 2

C maxB = 2,minA = 3- 1 D maxB = 3,minA = 3- 3

Lời giải:

Bài 6.54: Ta có B= cos 2x+ 1 1 cos 2+ - x= cos 2x+ 2 cos 2- x

Từ bảng biến thiên suy ra maxB = 2 khi t = hay cos 21 x = 1

minA = 3- 1 khi t = 3 hay cos 2x = - 1

Bài 6.55: Chứng minh rằng cos (sinx x+ sin2x+ 2)£ 3

Lời giải:

Bài 6.55: Ta

có:

b) sin2 A+ sin2B+ sin2C= 2(1 cos+ Acos cos )B C

c) sin2A+sin2B+ sin2C= 4sin sin sinA B C

= +2 cos 2 cosC AcosB= 2(1 cos+ Acos cos )B C = VPÞ ĐPCM

c) VT= 2 sin(A+ B)cos(A- B)+ 2 sin cosC C

Vì A+ B C+ = pÞ cosC= - cos(A+ B), sin(A+ B)= sinC nên

54

2 sin C é 2 sinAsin B ù 4 sinAsin sinB C VP

Ví dụ 2: Chứng minh trong mọi tam giác ABC không vuông ta đều có:

a) tanA+tanB+tanC= tan tan tanA B C

b) cot cotA B+ cot cotB C+cot cotC A= 1

Ví dụ 3: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

c) Vì ABC là tam giác nhọn nên tan A> 0, tanB> 0, tanC> 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có tanA+ tanB+ tanC³ 3 tan tan tan3 A B C

Theo ví dụ 2 ta có tanA+ tanB+ tanC= tan tan tanA B C nên

Ví dụ 4: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) sin sin sin cos cos cos

Công vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta được

sin sin sin cos cos cos

suy ra cosA< 0, cosB> 0, cosC> 0

cos cos cosA B C < Mà sin0 sin sin 0

Vì cos(A+ B)= - cosC và cos(A- B)£ 1 nên 1( ) 2

58

Do các vế đều không âm nên nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta được

(cos cos )(cos cos )(cos cos ) sin2 sin2 sin2

C C

Công vế với vế và rút gọn ta được

Nhận xét:

+ Để chứng minh x+ + ³y z a b c+ + ta có thể đi chứng minh x+ ³y 2a (hoặc 2 , 2b c )

rồi xây dựng bất đẳng thức tương tự Cộng vế với vế suy ra đpcm

+ Để chứng minh xyz³ abc với x y z a b c không âm ta đi chứng minh , , , , , xy³ a2(hoặc

2, 2

b c ) rồi xây dựng bất đẳng thức tương tự nhân vế với vế suy ra đpcm

Ví dụ 5: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

ç + ÷ç

ç + ÷ç

Bài 6.58: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) sinC= sin cosA B+sin cosB A

tan tan ( , 90 )cos cos

C

Bài 6.59: Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) tanA+ tanB+ tanC ³ 3 3, " DABC nhọn

b) tan2A+tan2B+ tan2C ³ 9," DABC nhọn

c) tan6A+tan6B+tan6C³ 81," DABC nhọn

d) tan2 tan2 tan2 1

Bài 6.59: a, b, c) Sử dụng tanA+tanB+ tanC= tan tan tanA B C và BĐT Cô–si

d) Sử dụng a2+ b2+ c2³ ab+ bc+ ca và tan tan tan tan tan tan 1

Bài 6.70: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

1 cos+ Acos cosB C³ 3 sinAsin sinB C

(sin A+sin B+sin C)(sinA+sinB+sin )C ³ 3 sin Asin Bsin C.3 sinAsin sinB C

hay (sin2 A+ sin2B+ sin2C)(sinA+ sinB+ sin )C ³ 9 sinAsin sinB C

Mặt khác: sin sin sin 3 3

2

Do đó 1 cos+ Acos cosB C³ 3 sinAsin sinB C ĐPCM

Cách 2: Theo ví dụ 1 ta có sin2A+sin2B+sin2C= 4sin sin sinA B C và

cos 2A+ cos 2B+ cos 2C= 3 2 sin- A+ sin B+ sin C

3 4(1 cosAcos cos )B C 1 4 cosAcos cosB C

-Do đó bất đẳng thức tương đương với

4 1 (cos 2- - A+cos 2B+cos 2 )C ³ 3(sin 2A+sin 2B+ sin 2 )C

xy yz zx xyz xy yz zx æç + + ö÷

Bài 6.71: Cho ABCD Chứng minh rằng

2 sin 3sin 4 sin 5cos 3cos cos

Bài 6.72: Cho ABCD Chứng minh rằng x2- 2(cosB+ cos )C x+ -2 2 cosA³ 0 "x

Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Lời giải:

Bài 6.72: Ta thấy VT của BĐT là một tam thức bậc hai có hệ số a = > Do đó để 1 0

chứng minh ta chỉ cần chứng minh: D £ 0 Ta có:

2

' (cosB cos )C 2(1 cos )A