Bài 5 dấu của TAM THỨC bậc HAI nhóm ĐHSPHN image marked

+ Hiểu được khái niệm về bất phương trình bậc hai một ẩn, cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn..  Kĩ năng + Có kĩ năng thành thạo trong việc xét dấu tam thức bậc hai, lấy nghiệm củ

CHUYÊN ĐỀ 4 BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BÀI 5 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững các định lý về dấu của tam thức bậc hai và ý nghĩa hình học của nó

+ Hiểu được khái niệm về bất phương trình bậc hai một ẩn, cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn

 Kĩ năng

+ Có kĩ năng thành thạo trong việc xét dấu tam thức bậc hai, lấy nghiệm của bất phương trình có chứa tam thức bậc hai

+ Biết cách giải và biện luận bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu có tam thức bậc hai

+ Biết cách giải và biện luận bất phương trình bậc hai một ẩn

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Dấu của tam thức bậc hai

- Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng

, trong đó là những hệ số,

  2

f x ax bx c a b c, , a0

- Cho f x ax2bx c (a0),  b24ac

Nếu thì luôn cùng dấu với hệ số với

Nếu thì luôn cùng dấu với hệ số trừ điểm

2

b

x

a

 

Nếu thì cùng dấu với hệ số khi hoặc

, trái dấu với hệ số khi , trong đó (

2

x x a x1 x x2 x x1, 2

) là hai nghiệm của

1 2

Chú ý: Có thể thay biệt thức  b24ac bằng biệt thức thu

2

b

b ac b 

Minh họa hình học dấu của tam thức bậc hai:

- Trường hợp a0.

Bất phương trình bậc hai một ẩn

- Bất phương trình bậc hai ẩn là bất phương trình dạng x

ax bx c  ax2bx c 0 ax2bx c 0

), trong đó là những số thực đã cho,

ax bx c  a b c, ,

0

a

- Giải bất phương trình bậc hai ax2bx c 0, thực chất là

tìm các khoảng mà trong đó f x ax2bx c cùng dấu với

hệ số ( trường hợp a a0) hay trái dấu với hệ số (trường a

hợp a0)

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc hai

Phương pháp giải

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng

sau

, ( )

  2

f x ax bx c a0

0

  a f x    0, x 

0

2

b

a f x x

a



a f x    x x  x 

0

 

   1 2

a f x   x x x

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai f x ax2bx c

0,

0

a

       





0,

0

a

       





0,

0

a

       





0,

0

a

       





Ví dụ: Xét dấu các tam thức bậc hai sau

a) 3x26x9 b) 3x26x3 c) 3x26x9

Hướng dẫn giải

a) Ta có 3x26x9 0 3

1

x x

 



   

 Bảng xét dấu

2

3x 6x9 + 0  0 +

b) 3x26x3

Ta có   0,a0 Suy ra 3x26x3   0, x 1 c) 3x26x9

Ta có    72 0,a 3 0 Suy ra 3x26x9   0, x 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Xét dấu các tam thức sau

a) 3x22x8 b)  x2 4x5

Hướng dẫn giải

a) Ta có 3x22x8

2

3

x x







 

  

 Bảng xét dấu

3

2

Suy ra 3x22x8 0 ; 4 2;  và

3

      

2

3x 2x8 0 4; 2

3

    

b) Ta có  x2 4x5 0 1

5

x x

 



   

 Bảng xét dấu

Suy ra  x2 4x5   0 x  1;5 và

        0 x  ; 1 5;

Ví dụ 2: Xét dấu các tam thức sau

a) 25x210x1 b) 4x212x9

Hướng dẫn giải

a) Ta có   0,a0 suy ra 25x210x1 0 \ 1

5

    



b) Ta có   0,a0 suy ra 4x212x9 0 \ 3

2

x  

 



Ví dụ 3: Xét dấu các tam thức sau

a) 3x22x1 b) 2x26x5

Hướng dẫn giải

a) Ta có     2 0,a 3 0suy ra 3x22x1  0 x 

b) Ta có     1 0,a0suy ra 2x26x5   0 x 

Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau

a) 3x25x 8 0 b) 2x23x 1 0

c) 3x24x0

Hướng dẫn giải

a) Tam thức f x 3x25x8có hai nghiệm 1; 8

3

x x  Bảng xét dấu

3

 

Nghiệm của bất phương trình là 8 1 hay

3 x

3

S   

b) Tam thức f x 2x23x1 có hai nghiệm 1; 1

2

x  x 

Bảng xét dấu

2

 

Nghiệm của bất phương trình là x 1 hoặc 1 hay

2

x 

 ; 1 1;

2

S     



c) Tam thức f x 3x24x có hai nghiệm 0; 4

3

x x Bảng xét dấu

 

Nghiệm của bất phương trình là x0 hoặc 4

3

x

Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau

a) 4x22x 7 0 b) x24x 6 0

c) 25x220x 4 0 d) x26x 9 0

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai 4x22x7 có   108 0 và a 4 0

Suy ra 4x22x 7 0 với mọi x

Tập nghiệm của bất phương trình là S 

b) Tam thức bậc hai x24x6 có     2 0, a 1 0

Suy ra x24x   6 0, x 

Tập nghiệm của bất phương trìnhx24x 6 0 là S  

c) 25x220x 4 0có   0,a25 0  25x220x 4 0, 2

5

x

 

Tập nghiệm của bất phương trình là \ 2

5

S   

 

 



x  x  x   x 

Do đó x26x 9 0   x 3

Nghiệm của bất phương trình x26x 9 0là x 3

Ghi nhớ:

  2

a

  2

0

ax b   x 

  2

a

  2

0

ax b   x

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để các biểu thức sau m

luôn âm

a) f x   x2 2x m

b) g x 4mx24m1x m 3 với  x 

Hướng dẫn giải

a

m

  



          

Vậy với m1 thì biểu thức f x  luôn âm

b) Với m0 thì g x 4x 3 0 khi 3 không thỏa mãn

4

Do đó m0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m0thì g x 4mx24m1x m 3 là tam thức bậc hai nên

 

0,



     





1

m

Vậy với m 1 thì biểu thức g x  luôn âm

Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để m

a) 3x22m1x2m23m   2 0, x 

b) Hàm số y m1x22m1x3m3 có nghĩa với mọi x

Hướng dẫn giải

a) 3x22m1x2m23m   2 0, x 



2

7m 7m 7 0

(vô nghiệm do )

Vậy không có giá trị nào của thỏa mãn yêu cầu bài toán.m

b) Hàm số có nghĩa với mọi khi x

m1x22m1x3m   3 0, x 

Với thì biểu thức trở thành (không thỏa

2

x   x

mãn  x )

Với thì ta có

 m 1

m1x22m1x3m   3 0, x    

1 0

m

 



       

1

m

 

Vậy m1thì hàm số y m1x22m1x3m3 có nghĩa với

mọi x

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình x x  5 2x22 là

A  ;1 4; B  1; 4 C  ;1 4; D  1; 4

Câu 2: Tập xác định của hàm số y 5 4 x x 2 là

5

 

5

   

Câu 3: Các giá trị làm cho biểu thức m f x x24x m 5 luôn dương là

Câu 4: Cho hàm số f x x22mx3m2 Tìm để m f x   0, x 

A m 1; 2 B m 1; 2 C m  ;1 D m2;

Bài tập nâng cao

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để bất phương trình sau vô nghiệmm

   3 2  2 4 0

f x  m x  m x 

A m 22 hoặc m2 B   22 m 2

C   22 m 2 D   22 m 2 hoặc m3

Câu 6: Định để bất phương trình m m1x22m2x  2 m 0có miền nghiệm là 

A 1 m 2 B m1 hoặc m2 C 3 hoặc D

2

2 m

Dạng 2: Ứng dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình tích

Phương pháp giải

Bước 1 Biến đổi bất

phương trình về một

trong các dạng f x 0

; f x 0; f x 0;

, trong đó

  0

f x 

Ví dụ: Xét dấu biểu thức 2x3 2x23x2

Hướng dẫn giải

2

x    x

2

1

2

x

x x

x

  









là tích hay thương

 

f x

của các nhị thức bậc nhất

hoặc tam thức bậc hai

Bước 2 Lập bảng xét

dấu f x 

Ta có bảng xét dấu

2

2

2

2x 3x 2

2x3 2x23x2 + 0  0 + 0 

Bước 3 Dựa vào bảng

xét dấu để suy ra tập

nghiệm của bất phương

trình

Từ bảng xét dấu, ta có

;

2x3 2x23x2 0 ; 3 1; 2

       

2x3 2x23x2 0 3; 1 2; 

     

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Xét dấu biểu thức sau

a)   x2 x 1 6 x25x1 b) x25x4 2 5  x2x2

c) x35x2

Hướng dẫn giải

a) Ta có    x2 x 1 0 vô nghiệm; 2 1 1

x  x   x x Bảng xét dấu

3

1

x x

2

  x2 x 1 6 x25x1  0 + 0 

Từ bảng xét dấu ta có

  x2 x 1 6 x25x1 0 1 1;

3 2

x  

   

  x2 x 1 6 x25x1 0 ;1 1;

      

b) Ta có x25x   4 0 x 1;x4 ; 2 1

2

Bảng xét dấu

2

 

Từ bảng xét dấu, ta có

;

x25x4 2 5  x2x2 0 ;1   1; 2 4; 

2

x25x4 2 5  x2x2 0 1;1  2; 4

2

x  

c) Ta có x35x2 x2 x22x1

Ta có x   2 0 x 2; x22x     1 0 x 1 2

Bảng xét dấu

2

Từ bảng xét dấu, ta có

;

x  x     0 x  1 2; 1  22;

x  x      0 x  ; 1 2   1 2; 2

Ví dụ 2 Xét dấu biểu thức sau

a) f x 2x22 3  x6

b) f x x29x2x27x8

Hướng dẫn giải

a) f x 2x22 3  x6

Ta có 2x2    2 0 x 1 ; 3x    6 0 x 2

Bảng xét dấu

2

3x6  0 + + +

 

Từ bảng xét dấu, ta có

;

 

f x       0 x  2; 1 1; 

 

f x       0 x  ; 2  1;1

b) f x x29x2x27x8

Ta có x2   0 x 0 ; 9x2    0 x 3; 2 1

8

x

x





      

 Bảng xét dấu

2

2

 

Từ bảng xét dấu, ta có

;

 

f x      0 x  8; 3  1;3

 

f x       0 x  ; 8  3;0    0;1  3;

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1: Với thuộc tập hợp nào dưới đây thì x f x x x 21 không âm?

A    ; 1 1;  B 1;0  1;  C   ; 1 0;1 D 1;1

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 1 2 x2x5x 1 0 là

2

S   

5 1;

2

S   

S     

    S   1; 

Câu 3: Hàm số có bảng xét dấu

 

là hàm số

A f x   x3 x23x2 B f x   1 x x  25x6

C f x   x2  x2 4x3 D f x   1 x2x3x

Câu 4: Tập nghiệm của phương trình x25x 6 x25x6 là

A  2;3 B  2;3 C ; 2  3; D ; 2  3;

Bài tập nâng cao

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình x3 x2 x 6x2 x25x4 có dạng  a b; với

Giá trị của là

,

a b a b

5

2 7

2

3 5



Câu 6: Có bao nhiêu giá trị để mọi m x0 đều thỏa bất phương trình  2  2 2 2 ?

3

x  x m  x  x m

Dạng 3: Ứng dụng dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp giải

Bước 1 Biến đổi bất phương trình về

một trong các dạng f x 0;

  0

f x  f x 0 f x 0

đó f x  là tích hay thương của các

nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc

hai

Ví dụ: Xét dấu biểu thức

2

x x x



Hướng dẫn giải

Ta có 2 5 0 5;

2

x    x

2

1

2

x

x x

x

  









Bước 2 Lập bảng xét dấu f x  Lưu

ý các giá trị của làmx f x  không

xác định

Bảng xét dấu

2

2

2

2x 3x 2

 

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu để suy

ra tập nghiệm của bất phương trình

Dựa vào bảng xét dấu ta có

và

2x5 2x23x20 ; 5 1; 2

       

2x5 2x23x20 5; 1 2; 

     

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Xét dấu các biểu thức sau

a) b)

2

1

x



2 2

2

x x

x x

 

Hướng dẫn giải

2

1

x



Ta có x2    1 0 x 1; x2    3 0 x 3; 2

2

3

x

x







  

 Bảng xét dấu

3

2 1

2 3

2

3x 2x 8

 

Dựa vào bảng xét dấu ta có

;

2

1

x



3

       

2

1

x



3

b) Đặt g x  22 2

x x

x x

 

2 0

2

x

x x

x

 



     



4

x

x

 



      

 Bảng xét dấu

 

Dựa vào bảng xét dấu ta có

;

2

2

2

x x

x x

 

     0 x  2; 4

2

2

2

x x

x x

 

         0 x  ; 1  1; 2  4;

Ví dụ 2 Giải các bất phương trình sau

a) 2 1 1 b)

2 2

2

10

8

x x

x





2

2

6 0

x x

x

x x

 

Hướng dẫn giải

a) Ta có

2

0

1 x x 3x 4

 

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta có

 2 2 2  5  0 1 6; 1 1;1 6 4; 

x x

x

b) Ta có 2 2

2

10

8

x x

x



2 2

10 0 8

x

x x





2

0 8

x



 2 2

2

9 x 0 x

Bảng xét dấu

2

2 8

Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S   3; 2 2  2 2;3

x

Ta có 2 2;

6 0

3

x

x x

x

 



      



4

x

x

 



      

 Bảng xét dấu

1

x x

2

2

6

x x

x

x x

 



2 2

6 0

x x x

x x

 

   x    2; 1  1;3 4;

Bài tập tự luyện dạng 3

Bài tập cơ bản

Câu 1: Tập xác định của hàm số 2 2 là

y

x x



A    ; 6 1;  B 6;1 C    ; 6 1;  D   ; 1 6;

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình 2 1 0 là

x

x x

A ;1 B    3; 1 1;  C    ; 3  1;1 D 3;1

Câu 3: Với thuộc tập hợp nào dưới đây thì x   2 1 không âm?

x

f x

x x





A S   ;1 B S      3; 1 1;  C S      ; 3  1;1 D S  3;1

Câu 4: Khi xét dấu biểu thức   2 24 21, ta có

1

x x

f x

x





A f x 0 khi    7 x 1 hoặc 1 x 3

B f x 0 khi x 7 hoặc   1 x 1 hoặc x3

C f x 0 khi   1 x 0 hoặcx1

D f x 0 khi x 1

Bài tập nâng cao

Câu 5: Số nghiệm nguyên thuộc khoảng 0; 2017 của bất phương trình là

2

x

x x





Câu 6: Số giá trị nguyên của để hàm số m xác định với mọi giá trị của là

2 2

y



A 5 B 3 C 2 D 0.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai vô nghiệm, có nghiệm, có hai nghiệm

Phương pháp giải

Phương trình bậc hai ax2bx c 0a0

có biệt thức  b24ac (hoặc   b2ac)

Có hai nghiệm phân biệt khi

Có nghiệm kép khi

Vô nghiệm khi

Có nghiệm khi

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì

2

m

m

 



 Vậy với m    ; 6 2; thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của tham số m

a) phương trình x22m2 x m 3 0có nghiệm

b) phương trình m21x2 3m2x 2 0 vô nghiệm

Hướng dẫn giải



Vì tam thức m25m7 có   m 3 nên   m25m7 0 với mọi m

Do đó phương trình đã cho có nghiệm với mọi m

3m 2 4 m 1 2 5m 4 3m 4

Vì tam thức 5m24 3m4 có a m  5 0 và  m 0 nên

với mọi

2

5m 4 3m 4 0

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm với mọi m

Ví dụ 2 Tìm để phương trình sau có nghiệmm

a) x2mx m  3 0 b) 1m x 22mx2m0

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi  0

2

m

m







Vậy với m    ; 2 6; thì phương trình x2mx m  3 0 có nghiệm.

b) Với m 1 phương trình trở thành 2x   2 0 x 1 Suy ra m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m 1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi   0

Kết hợp cả hai trường hợp, ta thấy   2 m 0 thì phương trình có nghiệm

Ví dụ 3 Tìm để phương trình sau vô nghiệmm

a) x22mx m  3 0 b) m1x22m2x2m0

Hướng dẫn giải

a) Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi   0

3 0

Vậy với 1 13 1; 13 thì phương trình vô nghiệm

b) Với m1 phương trình đã cho trở thành 2 0 (phương trình này vô nghiệm)

do đó m1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m1 phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi   0

1

m

m





 Vậy với m1 hoặc m 1 thì phương trình vô nghiệm

Bài tập tự luyện dạng 4

Bài tập cơ bản

Câu 1: Phương trình x24mx m  3 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

4

  

Câu 2: Phương trình x2  x m 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

4

4

4

4

m 

Câu 3: Tập các giá trị của để m m4x22m1x 1 2m0 vô nghiệm là

Câu 4: Phương trình x2mx m 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

A   1 m 0 B   4 m 0 C   4 m 0 D m 4 hoặc m0

Bài tập nâng cao

Câu 5: Với giá trị nào của m thì phương trình m1x22m2x m  3 0 có hai nghiệm x x1, 2 và

?

x  x x x 

A 1 m 2 B 1 m 3 C m2 D m3

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc hai

Câu 5 Chọn B.

Với 3   5 4 0 4 (loại)

5

m  f x  x   x

Với m3, f x  là tam thức bậc hai ẩn Khi đóx

   3 2  2 4 0,

20 44 0

m

m

 





Câu 6 Chọn D.

Với m1 bất phương trình đã cho trở thành 2 1 0 1(loại)

2

x    x

Với m1 bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc hai một ẩn Khi đó

m1x22m2x    2 m 0, x    

2

m

m

 



        

Dạng 2: Ứng dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình tích

Câu 5 Chọn D.

5

x x  x  x x  x  x  x     x

a b     

Câu 6 Chọn B.

x  x m  x  x m  x m x  x   x m x x  

Mặt khác x 0 2x m x        1 0, x 0 m 2

Dạng 3: Ứng dụng dấu của tam thức bậc hai để giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu