3 công thức lượng giác 14tr đặng việt đông image marked

LƯỢNG GIÁCCHUYÊN ĐỀ 3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC §1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A.. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn a Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có

LƯỢNG GIÁC

CHUYÊN ĐỀ 3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn

a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1

rađian Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian

1 rađian còn viết tắt là 1 rad

Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc

b) Độ dài cung tròn Quan hệ giữa độ và rađian:

Cung tròn bán kính có số đo R a(0 £ £a 2p), có số đo a0 (0 £ £a 360) và có độ dài là thì:l

do đó

180a

l = R a = p R

180a

a

p =

0 0

180

180

p

ç

=ççè ÷÷÷ø =

2 Góc và cung lượng giác.

a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều

chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm)

b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.

Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou Ov, lần lượt cắt đường

tròn tại và Tia U V Om cắt đường tròn tại M , tia Om chuyển động

theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng

chuyển động theo một chiều trên đường tròn

 Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia

thì ta nói tia đã quét được một góc lượng giác tia đầu

là Ou , tia cuối là Ov Kí hiệu (Ou Ov, )

 Điểm M chuyển động theo một từ điểm đến trùng với điểm U

thì ta nói điểm đã vạch nên một cung lượng giác điểm

đầu , điểm cuối Kí hiệu là U V UVþ

 Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2p), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p), quay theo chiều âm một phần tư vòng

ta nói nó quay góc -900(hay ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy( vòng) thì nói

2

p

7

nó quay góc 25.3600 (hay )…

7

7p

- Ta coi số đo của góc lượng giác (Ou Ov, ) là số đo của cung lượng giác UVþ

c) Hệ thức Sa-lơ.

 Với ba tia Ou Ov Ow, , tùy ý ta có:

Sđ(Ou Ov +, ) Sđ(Ov Ow =, ) Sđ(Ou Ow, )+k2p (k ZÎ )

Sđ(Ou Ov -, ) Sđ(Ou Ow =, ) Sđ(Ow Ov, )+k2p (k ZÎ )

6

Chương

-+

u

v

m M

V O

U

 Với ba điểm tùy ý U V W, , trên đường tròn định hướng ta có :

þ

UV + VW =þ UW kþ + 2p (k ZÎ )

þ

§3 MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Công thức cộng:

1 tan tan

1 tan tan

a b

a b

a b

a b

+ + =

=

+

2 Công thức nhân đôi, hạ bậc:

a) Công thức nhân đôi.

sin2a = 2sin cosa a

cos2a = cos a-sin a = 2cos a- = -1 1 2sin a

tan2 2 tan2

1 tana

a

a

=

-b) Công thức hạ bậc

2 2 2

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

1 cos2

a a

a a

a a

a

-= +

=

-= +

3 Công thức biến đổi tích thành tổng.

1

2 1

2 1

2

4 Công thức biển đổi tổng thành tích.

a b a b

a b a b

a b a b

a b a b

tan tan sin( )

cos cosa b

a + b

cos cosa b

a - b

sin sina b

a + b

sin sinb a

a - b

Câu 1 Trong các công thức sau, công thức nào sai?

2cot

x x

x



1 tan

x x

x





C. cos 3x4cos3x3cosx D. sin 3x3sinx4sin3x

Lời giải.

Chọn B.

Công thức đúng là tan 2 2 tan2

1 tan

x x

x





Câu 2 Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A cos 2acos2a– sin 2a B cos 2acos2asin 2a

C cos 2a2cos2a–1 D cos 2a1– 2sin 2a

Lời giải.

Chọn B.

Ta có cos 2acos2a– sin2a2cos2a  1 1 2sin 2a

Câu 3. Trong các công thức sau, công thức nào đúng?

A cosa b– cos cosa bsin sin a b B cosa b cos cosa bsin sin a b

C sina b– sin cosa bcos sin a b D sina b sin cosa bcos.sin b

Lời giải.

Chọn C.

Ta có: sina b– sin cosa bcos sin a b

Câu 4. Trong các công thức sau, công thức nào đúng?

1 tan tan

a b

a b



1 tan tan

a b

a b



Lời giải.

Chọn B.

Ta có tan  tan tan

1 tan tan

a b

a b





Câu 5 Trong các công thức sau, công thức nào sai?

2

2

a b  a b a b 

2

a b  a b  a b 

Lời giải.

Chọn D.

Ta có sin cos 1 sin –  s  

a b  a b  a b 

Câu 6 Trong các công thức sau, công thức nào sai?

2

2

a b



cos

2

2

a b

a b  a b

Lời giải.

Chọn D.

2

2

a b  b

Câu 7. Rút gọn biểu thức : sina–17 cos a 13 – sin a13 cos a–17, ta được :

A sin 2 a B cos 2 a C 1 D

2

2

Lời giải.

Chọn C.

Ta có: sina–17 cos a 13 – sin a13 cos a–17sina17  a 13 

2

Câu 8. Giá trị của biểu thức cos37 bằng

12



4

4

4

4



Lời giải.

Chọn C.

37 cos

12



cos 2

12



 







 

4



 

Câu 9. Giá trị sin47 là :

6



2

3 2

2 2

1 2



Lời giải.

Chọn D.

Câu 10. Giá trị cos37 là :

3



2

3 2

2

1 2



Lời giải.

Chọn C.

Câu 11. Giá trị tan29 là :

4



Lời giải.

Chọn A.

29

Câu 12. Giá trị của các hàm số lượng giác sin5 , lần lượt bằng

4

sin 3



2

3 2

2 2

2

2 2

3 2

2

2



Lời giải.

Chọn D.

Câu 13. Giá trị đúng của cos2 cos4 cos6 bằng :

2

1 2

4

1 4



Lời giải.

Chọn B.

Ta có cos2 cos4 cos6

sin 7





2sin 7





sin

1 7

2 2sin

7





 

Câu 14. Giá trị đúng của tan tan7 bằng :



A 2 6 3  B 2 6 3  C 2 3 2  D 2 3 2 

Lời giải.

Chọn A.

sin

7





Câu 15. Biểu thức 0 có giá trị đúng bằng :

0

1

2sin 70 2sin10

Lời giải.

Chọn A.

0

Câu 16. Tích số cos10 cos 30 cos 50 cos 70    bằng :

16

1 8

3 16

1 4

Lời giải.

Chọn C.

1 cos10 cos 30 cos 50 cos 70 cos10 cos 30 cos120 cos 20

2

3 cos10 cos 30 cos10

Câu 17. Tích số cos cos4 cos5 bằng :

8

1 8

4

1 4



Lời giải.

Chọn A.

cos cos cos

2sin 7





2sin 7



 

sin cos

4sin 7



 

8

7 8 8sin 7





Câu 18. Giá trị đúng của biểu thức tan 30 tan 40 tan 50 tan 60 bằng :

cos 20

A       



3

4 3

6 3

8 3

Lời giải.

Chọn D.

tan 30 tan 40 tan 50 tan 60

cos 20

A       



cos 30 cos 40 cos 50 cos 60

cos 20





cos 30 cos 40 cos 50 cos 60

cos 50

3 cos 40





cos 50 3 cos 40 2

3 cos 40 cos 50

sin 40 3 cos 40 2

3 cos 40 cos 50

sin100 4

3 cos10 cos 90 2









Câu 19. Giá trị của biểu thức 2 25 bằng :

A   

Lời giải.

Chọn A.

2

2





2

2

1



Câu 20. Biểu thức M cos –53 sin –337     sin 307 sin113  có giá trị bằng :

2

2

3 2

2

Lời giải.

Chọn A.

cos –53 sin –337 sin 307 sin113

cos –53 sin 23 – 360 sin 53 360 sin 90 23

cos –53 sin 23 sin 53 cos 23

       sin 23   53  sin 30 1

2

Câu 21. Kết quả rút gọn của biểu thức   là

cos 288 cot 72

tan18 tan 162 sin108



A 1 B –1 C 0 D 1.

2

Lời giải.

Chọn C.

cos 288 cot 72

tan18 tan 162 sin108

cos 72 360 cot 72

tan18 tan 18 180 sin 90 18

cos 72 cot 72

tan18 tan18 cos18

2 o

cos 72

tan18 sin 72 sin18





2 o

sin 18

cos18 sin18

Câu 22. Rút gọn biểu thức : cos 54 cos 4 – cos 36 cos86   , ta được :

Lời giải.

Chọn D.

Ta có: cos 54 cos 4 – cos 36 cos86    cos 54 cos 4 – sin 54 sin 4    cos 58 

Câu 23. Tổng Atan 9 cot 9 tan15 cot15 – tan 27 – cot 27   bằng :

Lời giải.

Chọn C.

tan 9 cot 9 tan15 cot15 – tan 27 – cot 27

tan 9 cot 9 – tan 27 – cot 27 tan15 cot15

tan 9 tan 81 – tan 27 – tan 63 tan15 cot15

Ta có

tan 9 – tan 27 tan 81 – tan 63

cos 9 cos 27 cos81 cos 63

cos 9 cos 27 cos81 cos 63 sin18

cos81 cos 63 cos 9 cos 27

cos81 cos 63 cos 9 cos 27



cos 72 cos 904sin18 cos 36cos 36 cos 90 



4sin18

4 cos 72





sin15 cos15 sin 30

Vậy A8

Câu 24. Cho , , là các góc nhọn và A B C tan 1, , Tổng bằng :

2

A tan 1

5

B tan 1

8

C A B C 

6



5



4



3



Lời giải.

Chọn C.

tan

1 tan tan

C

A B C

A B

A B C 

  

Câu 25. Cho hai góc nhọn và với a b tan 1 và Tính

7

a tan 3

4

b a b

3



4



6

3



Lời giải.

Chọn B.

, suy ra

  tan tan

1 tan tan

a b

a b





 

Câu 26. Cho x y, là các góc nhọn, cot 3, Tổng bằng :

4

x cot 1

7

y x y

4

4



3





Lời giải.

Chọn C.

Ta có :

 

4 7

4

3

x y

x y





3 4

x y 

 

Câu 27. Cho cota15, giá trị sin 2a có thể nhận giá trị nào dưới đây:

113

13 113

15 113

17 113

Lời giải.

Chọn C.

sin a

2 2

1 sin

226 225 cos

226

a a



 



15 sin 2

113

a

Câu 28. Cho hai góc nhọn và với a b sin 1, Giá trị của là :

3

a sin 1

2

b sin 2 a b  

18

18

18

18



Lời giải.

Chọn C.

0

2 2

3

sin a

a

a



  





0

3

1

2

i b

b

b



  





sin 2 a b 2sin a b cos a b 2 sin cos a bsin cosb acos cosa bsin sina b

4 2 7 3

18





Câu 29. Biểu thức cos2 cos2 cos2 không phụ thuộc và bằng :

A      x

4

4 3

3 2

2 3

Lời giải.

Chọn C.

Ta có :

2



2

3

2



Câu 30. Giá trị của biểu thức cot 44 tan 226 cos 406 bằng

cot 72 cot18 cos 316



Lời giải.

Chọn B.

cot 44 tan 226 cos 406

cot 72 cot18 cos 316



cot 72 tan 72 cos 360 44

  

2 tan 46 cos 46 2 tan 46 cos 46



Câu 31. Biểu thức   bằng biểu thức nào sau đây? (Giả sử biểu thức có nghĩa)

 

sin sin

a b

a b





 



 

 



 



 

 



Lời giải.

Chọn C.

 

sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin









Câu 32 Cho , , là ba góc của một tam giác Hãy chỉ ra hệ thức SAI.A B C

2

A B C

C

 

A B  C  C

Lời giải.

Chọn D.

Ta có:

A đúng

A B C   3

A B C

C



 

A B C



B đúng

2

A B C    CcosA B C – cos 2C cos 2 C

C đúng

A B  C  C C

D sai

2

A B  C   C 2

A B  C  C C

Câu 33 Cho , , là ba góc của một tam giác Hãy chỉ ra hệ thức SAI.A B C

A B  C cosA B 2C– cos C

C sinA C – sin B D cosA B – cos C

Lời giải.

Chọn C.

Ta có:

A đúng

A B   C

A B  C C

B đúng

2

A B  C  C cosA B 2CcosC cos C

C sai.

A C   BsinA C sin Bsin B

D đúng.

A B   C cosA B cosC cos C

Câu 34 Cho , , là ba góc của một tam giác không vuông Hệ thức nào sau đây SAI ?A B C

B C  B C  A

B tanAtanBtanCtan tan tan A B C

C cotAcotBcotCcot cot cot A B C

Lời giải.

Chọn C.

Ta có :

B C B C B C  A A

+ tanAtanBtanCtan tan tanA B C  tanA1 tan tan B CtanBtanC

B đúng

tan

1 tan tan

A

B C



+ cotAcotBcotCcot cot cotA B C cotAcot cotB C 1 cotBcotC

C sai

B C



 tanAcotB C 

D đúng





A B C

5

2





không phụ thuộc vào và bằng

  4cos 

3 sin

3 sin

A

 

 













3

5 3

3 5

3 5

Lời giải.

Chọn B.

4 5

0

3 cos

5 sin









  





  4cos 

3 sin

5 3

A

 

 













Câu 36. Nếu tan 4 tan thì bằng :

2

 

5 3cos







3sin

5 3cos







3cos

5 3cos







3cos

5 3cos







Lời giải.

Chọn A.

Ta có:

2 2







Câu 37. Biểu thức 2cos 222 3 sin 4 1 có kết quả rút gọn là :

2sin 2 3 sin 4 1

cos 4 30

cos 4 30





 

 

cos 4 30

cos 4 30





 

 

sin 4 30

sin 4 30





 

 

sin 4 30

sin 4 30





 

 

Lời giải.

Chọn C.

Ta có :

2

2

2cos 2 3 sin 4 1 2sin 2 3 sin 4 1

cos 4 3 sin 4

3 sin 4 cos 4







sin 4 30 sin 4 30





 



 

Câu 38 Kết quả nào sau đây SAI ?

A sin 33cos 60cos 3 B sin 9 sin12

sin 48 sin 81



cos 290  3 sin 250  3

Lời giải.

Chọn A.

Ta có : sin 9 sin12

sin 48 sin 81

  sin 9 sin 81  sin12 sin 48  0

(đúng vì ) Suy ra B đúng

2 4cos 36 2cos 36 1 0

4



 

Tương tự, ta cũng chứng minh được các biểu thức ở C và D đúng

Biểu thức ở đáp án A sai

Câu 39. Nếu 5sin 3sin2 thì :

A tan  2 tan  B tan  3tan 

C tan  4 tan  D tan  5 tan 

Lời giải.

Chọn C.

Ta có :

5sin 3sin  2 5sin  3sin  

5sin   cos 5cos   sin 3sin   cos 3cos   sin

2sin   cos 8cos   sin

4



 tan  4 tan

Câu 40. Cho cos 3; ; ; Giá trị của bằng :

4

a sina0 sin 3

5

b cosb0 cosa b 



   



   

Lời giải.

Chọn A.

Ta có :

2

3

4

4

a

a





2

3

5

5 cos 0

b

b





b a

b a

  

3 sin

a b

  

a b

  

bằng:

 

cos a b

50

50

50

50



Lời giải.

Chọn A.

Ta có :

1 cos

2

b a b a

   



   



3 sin

cos

2

a b a b

   



   





a b

a b     

Câu 42. Rút gọn biểu thức : cos 120 –   xcos 120   – cosx x ta được kết quả là

A 0 B – cos x C –2cos x D sin – cos x x

Lời giải.

Chọn C.

cos 120 –  x cos 120  – cosx x 1cos 3sin 1cos 3sin cos

2cos x

 

Câu 43. Cho biểu thức Asin2a b – sin2a– sin2b Hãy chọn kết quả đúng :

A A2cos sin sina b a b  B A2sin cos cosa b a b 

C A2cos cos cosa b a b  D A2sin sin cosa b a b 

Lời giải.

Chọn D.

Ta có :

 

sin – sin – sin

sin

   

2

      cos2a b  cosa b  cos a b 

       2sin sin cosa b a b 

Câu 44. Cho sin 3; ; ; Giá trị bằng :

5

a cosa0 cos 3

4

b sinb0 sin a b  

Lời giải.

Chọn A.

Ta có :

3 sin

5 cos 0

a a







5

3 cos

4

b b







4

Câu 45. Cho hai góc nhọn và Biết a b cos 1, Giá trị bằng :

3

a cos 1

4

b cosa b .cosa b 

144

144

144

144



Lời giải.

Chọn D.

Ta có :

a b a b  a b  a b       

   

   

Câu 46 Xác định hệ thức SAI trong các hệ thức sau :

cos







 

B sin15 tan 30 cos15 6

3

C cos2 x – 2cos cos cosa x a x cos2a x sin 2a

D sin2x2sina x– .sin cosx asin2a–xcos 2a

Lời giải.

Chọn D.

Ta có :

sin

cos









 

A đúng

B đúng

sin15 cos 30 sin 30 cos15 sin 45 6

cos x – 2cos cos cosa x a x cos a x

2

cos x cos a x 2cos cosa x cos a x

C đúng

2

   

sin x2sin a x– sin cosx asin a x– sin2 xsina x  2sin cosx asina x  

2 sin x sin a x sin a x

2

D sai

sin x cos a sin x 1 sin a

Câu 47. Rút gọn biểu thức sin sin 2 sin 3

cos cos 2 cos 3

A



Lời giải.

Chọn C.

Ta có :

sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos 3

A



2sin 2 cos sin 2 2cos 2 cos cos 2







sin 2 2cos 1

tan 2 cos 2 2cos 1

x





Câu 48. Biến đổi biểu thức sina1 thành tích

a a   a  

Lời giải.

Chọn D.

Ta có sina1 2sin cos sin2 cos2

2 sin cos

2

2sin

a 

Câu 49. Biết và theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Tích số

2

     cot , cot , cot  

bằng :

cot cot 

Lời giải.

Chọn C.

Ta có :

, suy ra

2

1 tan tan







cot cot  3

Câu 50. Cho , , là ba góc của một tam giác Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau.A B C

A cos2 Acos2Bcos2C 1 cos cos cos A B C

B cos2 Acos2Bcos2C1– cos cos cos A B C

C cos2 Acos2Bcos2C 1 2cos cos cos A B C

D cos2 Acos2Bcos2C1– 2cos cos cos A B C

Lời giải.

Chọn C.

Ta có :

cos Acos Bcos C 1 cos 2 A 1 cos 2 2

cos

B

C

1 cos A B cos A B cos C

      1 cos cosC A B cos cosC A B 