BÀI 3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC MỤC TIÊU Kiến thức: - Nắm vững các Công thức lượng giác gồm: Công thức cộng, Công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng.. Kỹ năng -

Trang 1

Trang 1

BÀI 3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

MỤC TIÊU

Kiến thức:

- Nắm vững các Công thức lượng giác gồm: Công thức cộng, Công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng

Kỹ năng

- Vận dụng được các công thức lượng giác đã học vào các bài toán về tính giá trị lượng giác của các góc đặc biệt: tính giá trị của các biểu thức lượng giác

Kĩ năng

- Xác định được tính chất của một tam giác thỏa mãn các điều kiện về góc, cạnh, diện tích cho trước bằng cách đưa về các biểu thức lượng giác

Ví dụ:

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Công thức cộng

• cos(a b )cos cosa bsin sina b

• cos(a b )cos cosa bsin sina b

• sin(a b )sin cosa bcos sina b

• sin(ab)sin cosa bcos sina b

• tan( ) tan tan

1 tan tan

a b



 

• tan( ) tan tan

1 tan tan

a b



 

Ví dụ:

2(cos sin )

2(sin cos )

tan tan

4 tan

4

1 tan tan

4

x x

x





  

tan 1

x x







Công thức nhân đôi

• sin 2a2sin cosa a

cos 2acos asin a2 cos a  1 1 2sin a

• tan 2 2 tan2

1 tan

a a

a



Công thức biến đổi tích thành tổng

Trang 2

Trang 2

• cos cos 1[cos( ) cos( )]

2

• sin sin 1[cos( ) cos( )]

2

a b a b  a b

• sin cos 1[sin( ) sin( )]

2

a b a b  a b

Ví dụ:

1 cos , cos 3 [cos( 2 ) cos 4 ]

2

1(cos 2 cos 4 )

1 sin sin 5 [cos( 4 ) cos 6 ]

2

1(cos 4 cos 6 )

Công thức biến đổi tổng thành tích

• cos cos 2 cos cos

• cos cos 2sin sin

• sin sin 2sin cos

• sin sin 2 cos sin

Ví dụ:

cosxcos3x2cos 2xcosx;

cos5xcos3x 2sin 4xsinx;

sin 2xsin 4x2sin 3xcosx;

sin 3xsinx2cos 2xsinx

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Công thức cộng

- Phương pháp giải

Các bài toán thường gặp:

- Tính các giá trị lượng giác

- Tính giá trị của một biểu thức lượng giác

- Rút gọn hoặc đơn giản một đẳng thức

- Chứng minh một đẳng thức bằng cách biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng hoặc biến đổi tương đường dẫn đến một đẳng thức đúng

- Chú ý giá trị lượng giác của các cung lượng giác đặc biệt đã biết: 30 ; 45 ; 60 ; 90 0 0 0 0

Ví dụ: Biết sin 1, 0

  

Hãy tính giá trị lượng giác cos

4

x 

  

 

Hướng dẫn giải

Trang 3

Trang 3

Vì 0

2

x 

  nên điểm ngọn cùng thuộc góc phần

tư thứ 1 cos 0 cos 3

2

Ta có cos cos cos sin sin



Ví dụ mẫu

x    x 

Giá trị lượng giác sin

3 x



  

  là

A 5 12 3

26



26



C 5 12 3

26

 

26

 

2

   nên điểm ngọn cũng thuộc góc phần tư thứ IIIsinx0

2

Chọn A

A x x  x  x ta được kết quả là

A Asin 2x B 1

2

A D Acos 2x

Ta có

sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos

A

sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos

cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos

tana tanb tanb tan tanc tana 0

Chọn D

sin xsin y1

sin xsin ysin (xy)

Ta có sin2 cos2 1 sin2 sin2 1

2

x x  x  x

  mà

sin xsin y1,

Trang 4

Trang 4

  (vì x y, đều là góc nhọn) nên 0 x y 2



  

Mà sin (2 xy)sin2xcos2ysin2ycos2x2sinxsinycosxcosy

sin xsin ysin (xy)

sin x sin y sin x cos y sin y cos x 2sinx siny cosx cosy

sin x sin y sin x 1 sin y sin y 1 sin x 2sinx siny cosx cosy

2sin x sin y 2sinx siny cosx cosy

sinx siny cosx cosy

sinx siny cosx cosy 0

cos(x y) 0

   (hiển nhiên đúng do 0

2

   ) Suy ra điều phải chứng minh

Phân tích bài toán

Sử dụng dữ kiện bài toán đề chỉ ra 0

2

   Từ đây ta thấy các giá trị

lượng giác của góc x y đều đường

Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi vế phải của bất đẳng thức rồi dùng biến đổi tương đương, dùng các công thức lượng giác để dẫn tới điều luôn đúng

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1 Rút gọn biểu thức Acos 25 cos 50 0cos 65 cos850 0 thu được kết quả là

A Acos 600 B Acot 600 C Atan 600 D Asin 600

A x  x  x  x thu được kết quả là

2

A  C Acos 2x D Asin 2x

13

   

với 0

2

y 

  Giá trị của cos(xy) là

A 12 3 119

52



B 12 3 119

52



C 12 3 119

52

 

52

 

Câu 4 Cho cotx 3;coty1, biết rằng cả ,x y đều là góc nhọn và dương Giá trị của xy là

A 5

12



12



12



12



Câu 5 Cho , , A B C là 3 góc của một tam giác Khẳng định nào sau đây sai?

   B tanAtanBtanCtanAtanBtanC

Câu 6 Cho biểu thức Asin (2 x y) sin2xsin2y Khẳng định nào sau đây đúng?

A A2sinxcosycos(xy) B A2 cosxsinysin(xy)

C A2 cosxcosycos(xy) D A2sin ,sinx ycos(xy)

Câu 7 Cho A B C, , là ba góc của một tam giác Khẳng định nào sau đây đúng?

A cos2 Acos2Bcos2C 1 cosAcosBcosC

Trang 5

Trang 5

B cos2 Acos2Bcos2C 1 cosAcosBcosC

C cos2 Acos2Bcos2C 1 2 cosAcosBcosC

cos Acos Bcos C 1 2 cosAcosBcosC

4

x  t t

    

  Khẳng định nào sau đây đúng?

1

t x

t





 B

1 tan

1

t x t





 C

1 tan

1

t x

t





  D

2 tan

1

t x t





Câu 9 Cho cos2xcos2ym Khi đó giá trị của biểu thức Acos(xy) cos( xy) là

A A m 1 B A m 1 C A  m 1 D A  m 1

Bài tập nâng cao

sin 2 cos

A x x lần lượt là M và m Giá trị biểu

thức P M

m

 là

1 tan

x

A 31

17

4

Câu 12 Cho A B C, , là 3 góc của ABC Biết rằng 3(cosB2 cos )C 4(sinB2sin )C 15 Khi đó

ABC

 là tam giác gì?

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 10 Chọn B

              

Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2

3

0cos x1 nên cos x1 3cos x   1 0 A cos x1 3cos x  1 2 2

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2

2 3

3

M  m  P 

Câu 11 Chọn C

Trang 6

Trang 6

2

1

1 tan

cos

x

2

                

Vậy giá trị lớn nhất của A là 33

8

Câu 12 Chọn A

Ta có 3(cosB2 cos )C 4(sinB2sin )C (3cosB4sin ) (6 cosB  C8sin )C

Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski, ta có







3(cosB 2 cos )C 4(sinB 2sin ) 15C

Mà theo giá thiết 3(cosB2sin )C 4(sinB2 cos )C 15 nên 3cos 4sin 5

6 cos 8sin 10





tan

B

C





Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A

Dạng 2 Công thức nhân đôi

Phương pháp giải

Áp dụng công thức nhân đôi để tính hoặc rút gọn các giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác

Ví dụ mẫu

là

2



3

1

2

Ta có

A              

Chọn C

sin cos

A x x bằng a b cos 4x Giá trị của a2b là

A 9

11

13

15

8

Trang 7

Trang 7

x

1 3(1 cos 4 ) 5 3cos 4

a b   

Chú ý:

Công thức hạ bậc:

2 1 cos 2

cos

2

x

x 

2 1 cos 2

sin

2

x

Chọn B

Ví dụ 3 Khẳng định nào sau đây đúng?

2 cos

x

x x

  

1

2 cos

x

x x

  

x

  

1

2 cos

x

x x

  

Ta có

sin 1 2 cos 1 sin 2 cos



2 cos

sin 2

x

Chọn A

0 , ;3sin 2sin 1 và 3sin 2 2sin 2 0

2

Tính cos(x2 )y

A 6.sin2x.cosx B 6.sin2 y.cosy

Ta có 3sin2x2sin2y 1 3sin2x 1 2sin2 ycos 2y

3sin 2x2sin 2y 0 2sin 2y3sin 2xsin 2y3sinxcosx

Do đó:

2

cos(x2 )y cosxcos 2ysinxsin 2ycosx3sin xsinx3sinxcosx0

cos(x 2 )y 0

Chọn C

Trang 8

Trang 8

5

x thì cos 2x có giá trị là

A 2

6

7

2 2

5

Câu 2 Cho cot x15 thì sin x có giá trị là 2

A 13

11

15

17

113

Câu 3 Cho , x y là 2 góc nhọn dương và sin 1, sin 1

x y thì giá trị đúng của sin2xy là

18



B 7 3 4 2

18



18

2

x thì giá trị của biểu thức 2sin 2

2 3cos 2

x A

x



 là

2

x x thì giá trị của biểu thức P3sin x2 2cos x2 là

2

Câu 6 Cho biểu thức sau Acotxtanx2 tan 2x4 tan 4x Khẳng định nào sau đây đúng?

A A2cot 2x B A4cot 4x C A6cot 6x D A8cot 8x

1 cos cos 2

A





  Khẳng định nào sau đây đúng?

A Atanx B Asinx C Acotx D Atan 2x

Câu 8 Cho biểu thức

2 2

2sin 2 3 sin 4 1

2 cos 2 3 sin 4 1

A



  Khẳng định nào sau đây đúng?

0

sin 4 30

x A

x





0

sin 4 30 sin 4 30

x A

x







0

cos 4 30

x A

x





0

cos 4 30 cos 4 30

x A

x







Câu 9 Giá trị lớn nhất của biểu thức Acos 2x4sinx3 là

Câu 10 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Asin6xcos5x là

A 1

1

6

Câu 11 Cho P(2 cosx3sin )(3cosx x2sin ) 1x  Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P Giá trị của A

B là

11



11



11



11



Trang 9

Trang 9

11-D

Câu 9 Chọn D

Ta có Acos 2x4sinx  3 1 2sin2x4sinx  3 2sin2x4sinx4

2 sin x 2sinx 2 2 sin x 2sinx 1 3 2(sinx 1) 6 6

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 6 khi sin x1

Câu 10 Chọn B

Sử dụng hằng đẳng thức: 3 3  2 2

a b  a b a ab b

4

A  A 

Câu 11 Chọn D

Ta có P6 cos2x 4 sinxcosx9sinxcosx6sin2x1

6 cos sin 5sin cos 1 6 cos 2 sin 2 1

2

Tới đây ta rút

2

6

 

  

  ra ngoài và đặt



     

cos 2 sin 2 1

P  x x

(sin cos 2 cos sin 2 ) 1 sin( 2 ) 1

Vì  1 sin(2 )x 1 nên Min 13 1 11 và Max 13 1 15

P     P  

A

B



Dạng 3 Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

Phương pháp giải

Áp dụng công thức biến tổng thành tích và tích thành tổng để biến đổi, tính giá trị lượng giác, biểu thức lượng giác, rút gọn hoặc chứng minh

Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau

2sin (cos cos 3 cos 5 )

Ta có A2sinxcosx2sinxcos3x2sinxcos5x

sin 2x(sin 4xsin 2 ) (sin 6x  xsin 4 )x

sin 6x

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tính giá trị biểu thức Acos75 ,sin150 0

Trang 10

Trang 10

4



4



4

 

4

 

cos 75 sin15 sin 75 15 sin 75 15

2

1 0 0 2 3

sin 90 sin 60



Chọn A

Ví dụ 2 Rút gọn biểu thức Asinasin(b c ) sinbsin(c a) sincsin(a b ) được kết quả là

C sin sin sina b c D cosacosbcosc

Ta có

sin (sin cos sin cos ) sin (sin cos sin cos )

A a b c c b  b c a a c

sinc(sinacosbsinbcos )a

sina sinb cosc sina sinc cosb sinb sinc cosa sinb sina cosc

sincsinacosbsincsinbcosa0

Chọn B

A x  x  x

    được kết quả là

2

A x  x  x x   x

cosx 2cosx cos 2x cosx cos3x cosx cos3x

Chọn C

Ví dụ 4 Chứng minh đẳng thức:

2

sin 4

2sin sin 2 2cos cos3 cos5

x

2 cos cos 3 cos 5 (cos cos 3 ) (cos cos 5 )

VT

4.sin 2 cos 2 2sin 2 cos 2

2cos cos 2 2cos 2 cos 3 cos cos 3

2sin 2 cos 2 4sin cos

2 cos cos 2 cos

4sin2xcosx2sinxsin 2xVP

Suy ra điều phải chứng minh

2

x y

Rút gọn biểu thức cos( ) cos

cos( ) cos

A

 



  ta được kết quả là

A tan

2

x

2

x

4

y 

   



  

 

Trang 11

Trang 11

A 1sin 2

1 sin 2

1 cos 2

A sin 2 3

x

 B sin 2 3

x

A      

2

A  x B 2 cos

2

A  x C 1 sin

2

A  x

Câu 5 Đẳng thức nào sau đây là sai?

A cosxcosysinxsinycos(x y 13 )

B 4sinxcosxcos 2xsin 4x

C 4sinxcosxcos 2xsin 4x

D 2sin(xy) sin( xy)cos 2xcos 2y

Câu 6 Cho A B C, , là lần lượt 3 góc tam giác ABC R r; , là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp

của tam giác ABC Khẳng định nào trong số các khẳng định sau đúng?

Câu 6 Chọn A

Gọi p là nửa chu vi của tam giác Ta có 2

R

(sin sin sin )

[sin sin sin( )]

    R(sinAsinBsinAcosBsin , cos )B A

[sin (1 cos ) sin (1 cos )]

2sin cos 2cos 2sin cos 2 cos

4 cos cos sin cos sin cos

R     

 

4 cos cos cos

R

a b c a b c



3

2

sin 2 sin 2 sin 2 8 sin sin sin

Trang 12

Trang 12

.2sin cos 2 sin cos 2 sin cos

2 cos cos cos

R

Vậy 4 sin sin sin

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	794,32 KB