03 bất đẳng thức cô si phần 1 đặng việt hùng image marked

Tìm GTLN của biểu thức:.. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI Phần 1... Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 03.. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI Phần 1... b Biến đổi tương đ

Câu 1 [Svip] Cho các số thực a b c, , 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) (a b b c c a )(  )(  ) 8 abc b) (a b c a  )( 2b2c2) 9 abc

Câu 2 [Svip] Cho các số thực a b c, , 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a  b  c   

Câu 3 [Svip] Cho các số thực a b c, , 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a2(1b2)b2(1c2)c2(1a2) 6 abc b)

2

a b b c c a

 

Câu 4 [Svip] Cho các số thực a b c, , 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

2

b c c a a b  

a b c

Câu 5 [Svip] Cho các số thực a b c, , 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) 3(a3b3c3) ( a b c a  )( 2b2c2) b) 9(a3b3c3) ( a b c  )3

Câu 6 [Svip] Cho a, b > 0 Chứng minh 1 1 4 (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a b  a b



a) 1 1 1 2 1 1 1 ; với a, b, c > 0.

Câu 7 [Svip] Chứng minh các BĐT sau:

a) Cho x, y, z > 0 thoả x2y4z12 Chứng minh: 2 8 4 6

b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi

Câu 8 [Svip] Cho a, b, c > 0 Chứng minh 1 1 1 9 (1)

a b c  a b c

 

Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a) ( 2 2 2) 1 1 1 3( )

2

a b b c c a

b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z  1 Tìm GTLN của biểu thức:

P

03 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 1)

Câu 9 [Svip] Chứng minh các BĐT sau:

a) Cho a, b, c > 0 thoả a b c  1

P

b) Cho a, b, c > 0 thoả a b c  1 Chứng minh rằng 2 12 2 1 1 1 30

ab bc ca

Câu 10 [Svip] Cho 2 số thực dương a và b thỏa mãn a2b2 2

Chứng minh a 3a a 2bb 3b b 2a6

Câu 11 [Svip] Cho a b; 0 : a b 1 Chứng minh rằng  2 1

4

ab a b 

Câu 12 [Svip] Cho ba số thực a c b c c ;  ; 0 Chứng minh rằng c a c   c b c   ab

Câu 13 [Svip] Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn x y 1 Chứng minh  4 4 1

xy

Câu 14 [Svip] Cho ba số thực dương x y z; ; thỏa mãn x3y3z3 1

Câu 15 [Svip] Cho ba số thực dương x y z; ; thỏa mãn xyz 16

x y z



 

Câu 16 [Svip] Cho ba số thực dương a b c; ; 0sao cho a b c  3

Câu 17 [Svip] Cho ba số thực dương a b c; ;

3 3

17 6

a b c abc P

a b c abc

 

 

Câu 1 [Svip] Cho các số thực a b c, , 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) (a b b c c a )(  )(  ) 8 abc

b) (a b c a  )( 2b2c2) 9 abc

Lời giải:

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có (a b c a  )( 2b2c2) 3 3abc.33a b c2 2 2 9abc

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau

-Câu 2 [Svip] Cho các số thực a b c, , 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

03 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 1)

a)  3 3

(1a)(1b)(1  c) 1 abc

a  b  c   

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

3 3

3

3 2 2 2

a b c abc a b c ab bc ca abc abc a b c abc abc

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

1 2 1

2

a b c

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau

-Câu 3 [Svip] Cho các số thực a b c, , 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a2(1b2)b2(1c2)c2(1a2) 6 abc

b)

2

a b b c c a

 

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

3

2(1 2) 2(1 2) 2(1 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

a b b c c a

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau

-Câu 4 [Svip] Cho các số thực a b c, , 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

2

b c c a a b  

b) (a3 b3 c3) 1 1 1 (a b c)2

a b c

Lời giải:

a) Biến đổi tương đương

9 2

a b c a b c a b c

a b c

a b b c c a

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

   

   

3

3

a b b c c a

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau

b) Biến đổi tương đương

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

ab bc ca

b  a  c  a  c  b  b a  c a  c b   

Bất đẳng thức cuối cùng đúng Dấu bằng xảy ra khi ba số bằng nhau

-Câu 5 [Svip] Cho các số thực a b c, , 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) 3(a3b3c3) ( a b c a  )( 2b2c2)

b) 9(a3b3c3) ( a b c  )3

Hướng dẫn giải:

a) BĐT  2(a3b3c3)a b b a2  2   b c bc2  2  c a ca2  2

b) Áp dụng b) ta có: 9(a3b3c3) 3( a b c a  )( 2b2c2)

-Câu 6 [Svip] Cho a, b > 0 Chứng minh 1 1 4 (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a b  a b



a) 1 1 1 2 1 1 1 ; với a, b, c > 0.

Lời giải:

   

a) Áp dụng (1) với a b c, , 0 ta có

a b  a b b c b c c a c a

BĐT được chứng minh, dấu " " xảy ra   a b c

b) Áp dụng (1) với a b c, , 0 ta có

   

2

Tương tự 1 1 4 ; 1 1 4

2

BĐT được chứng minh, dấu " " xảy ra   a b c

-Câu 7 [Svip] Chứng minh các BĐT sau:

a) Cho x, y, z > 0 thoả x2y4z12 Chứng minh: 2 8 4 6

b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có

4

x y

 2 2 4 2

4

y z

4

z x

 2  2  2

P

 2  2 4  4  2 4 12

6

BĐT được chứng minh, dấu " " xảy ra

4

2

1

x

x y z

y

x y z

z





b) Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi ta có

Khi đó áp dụng BĐT (1) trong bài 6 ta có

   

2

-Câu 8 [Svip] Cho a, b, c > 0 Chứng minh 1 1 1 9 (1)

a b c  a b c

 

Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a) ( 2 2 2) 1 1 1 3( )

2

a b b c c a

b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z  1 Tìm GTLN của biểu thức:

P

Lời giải:

Do a b c, , 0 1 1 1 9 Dấu xảy ra

    

Như vậy BĐT (1) được chứng minh

a) Áp dụng (1) với a b c, , 0 ta có

2

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có

3

a b c

a b c

 

BĐT được chứng minh, dấu " " xảy ra   a b c

b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z  1 Tìm GTLN của biểu thức:

P

P

Áp dụng (1) với x y z, , 0 ta có

     

1 3

   

4

3

x  y z

-Câu 9 [Svip] Chứng minh các BĐT sau:

a) Cho a, b, c > 0 thoả a b c  1

P

b) Cho a, b, c > 0 thoả a b c  1 Chứng minh rằng 2 12 2 1 1 1 30

ab bc ca

Lời giải:

a) Áp dụng BĐT (1) trong bài 8 với a b c, , 0 ta có

P

1

3

a b c

   

3

a b c  

b) Áp dụng BĐT (1) trong bài 8 với a b c, , 0 ta có 1 1 1 9 (1)

ab bc ca  ab bc ca

Với a b c  1 có (2)

1 2

a b c  a b c ab bc ca 

Từ (1) và (2) ta được

1 2

a b  b c  c a   a b c  ab bc ca 

3

3

a b c

   

3

1 2

P



1 0;

3

 

3

3

a b c

   

Cách 2 (Sơ lược)

P

3

P

3

P

ab bc ca

 2

30

1

P

ab bc ca

3

a b c

   

-Câu 10 [Svip] Cho 2 số thực dương a và b thỏa mãn a2b2 2

Chứng minh a 3a a 2bb 3b b 2a6

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi hai số cùng bằng 1

-Câu 11 [Svip] Cho a b; 0 : a b 1 Chứng minh rằng  2 1

4

ab a b 

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

     

2

4

2

2

ab a b

ab a b ab a b

a b

ab a b

 



4 1

ab a b

a b

a b





-Câu 12 [Svip] Cho ba số thực a c b c c ;  ; 0 Chứng minh rằng c a c   c b c   ab

Lời giải.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

1

ab

-Câu 13 [Svip] Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn x y 1 Chứng minh  4 4 1

xy

Lời giải:

2

2

xy x y  x y x y

Ta có

4

4 4

2

a b 

-Câu 14 [Svip] Cho ba số thực dương x y z; ; thỏa mãn x3y3z3 1

Lời giải:

 

Dấu đẳng thức không xảy ra nên ta có đpcm

-Câu 15 [Svip] Cho ba số thực dương x y z; ; thỏa mãn xyz 16

x y z



 

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

  

8

x y z

x z x y

  16

x x y z yz xyz x y z







-Câu 16 [Svip] Cho ba số thực dương a b c; ; 0sao cho a b c  3

Lời giải:

Tương tự b22 b 3 ;b c22 c3c

Bất đẳng thức cuối đúng, dấu đẳng thức xảy ra khi ba số cùng bằng 1

-Câu 17 [Svip] Cho ba số thực dương a b c; ;

3 3

17 6

a b c abc P

a b c abc

 

 

Lời giải:

abc

 

 a b c  33abc t 3

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau