05 bất đẳng thức cô si phần 3 đặng việt hùng image marked

KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠIĐiểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra.. Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợ

DẠNG 3 KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI

Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:

Các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm

Khi các biến có giá trị tại biên Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên

Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên

Ví dụ 1 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc3

Chứng minh rằng: 3 a2b3 b2c3 c2a 33 3

Lời giải:

Phân tích:

Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi:































3 2

3 2

3 2 1

a c

c b

b a c

b a

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(3) (2)

(1)

9 3

2 6

2

9 3

2 6

2

9 3

2 6

3

3 3 2 9

1 3 3 2 9

1

2

3 3

3 3

3 3

3 3

3

a c a

c

c b c

b

b a b

a b

a b

a





































Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

(đpcm)

3 3

3

9 3

3 18 2 2

a

Ví dụ 2 [Svip] Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc1 (*)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Aa2b2c2

Lời giải:

Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức a2 b2c2 và abc gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc a2b2c2 Nhưng ta cần áp dụng cho bao nhiêu số và là những số

nào? Căn cứ vào bậc của các biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp

dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho a2, b2và cùng với 1 hằng số dương tương ứng khác để c2 làm xuất hiện a, b và Do a, b, c dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ c

nhất khi abc, từ (*) ta có Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra

3

1





a

khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau Khi đó ta có lời giải như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: a2 và ta có:

9 1

05 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 3)

(1) Dấu “=” xảy ra

a a

a

3

2 9

1 2

9

3

1 9

1

Tương tự:

(2) Dấu “=” xảy ra

b

b

3

2

9

1

2  

3

1



 b

(3) Dấu “=” xảy ra

c

c

3

2

9

1

2 

3

1



 c

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

3

1 3

2 3

2 3

2

2

2 b c   abc  a b c 

a

Dấu “=” xảy ra Vậy GTNN của A là

3

1







3 1

Ví dụ 3 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abbcca3 CMR: a3 b3c3 3

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

ab b

a b

a3  3 133 3 3 3 b3 c3 13bc c3 a3 13ca

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

2 a b c  3 3 ab bc ca  2 a b c  3 3.3

(đpcm) 3

3

3

a b c

Ví dụ 4 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c

Chứng minh bất đẳng thức sau:

3 2

2 2

2 2

b a

c a c

b c b











Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

3

2 9

2 2

2 9

2

2

2

c b

a c

b c

b











(2) ; (3)

3

2 9

2

2

a

c

2 9

2 2

b a



Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

3

2 9

3 2

2

2

2 2

b a

c a c

b

c

b











(đpcm)

3 2

2

2

2 2

b a

c a c

b

c

b













Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi và kỹ thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp.

Ví dụ:

Đối với bài 1 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi

Khi đó , ta chọn

c

b

a a

a b

a



a Đối với bài 2 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi

Khi đó , muốn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để làm mất mẫu thì ta

c

b

a 

3 2

2

2

a a

a c b







cộng thêm Chọn mẫu là số 9 vì

9

2bc

3 9

2 9









Ví dụ 5 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c

Chứng minh bất đẳng thức sau:

















ca c

b a

bc b

a c

2

1

2 2

2

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

    ab c (1)

b a b a c

ab ab

b a b a

c

4 2











(2) ; (3)

c b

c

b

a

4

a c a c b

4



Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

ca c

b a

bc b

a

c

ab

c b a ca

a c bc

c b ab

b a a c b

ca c

b a

bc b

a

c

ab

1 1 1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4 1

1 1 1 4

4 4

2 2

2

2 2

2



























































(đpcm)





















c b a a

c b

ca c

b a

bc b

a

c

2

1

2 2

2

Ví dụ 6 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc1

Chứng minh bất đẳng thức sau:          4

3 1

1 1

1 1

1

3 3

3

















c a

c

b c

b a

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(1) ;

a c

b c

b

a

4

3 8

1 8

1 1 1

3 8

1 8

1 1

3 3

























(2) ;

b

4

3 8

1 8

1 1

1

3















(3)

c

4

3 8

1 8

1 1

1

3















Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

3 4

3 2

3 4

3 2

1 1

1 1

1 1

1

4

3 4

3 4

1 1

1 1

1 1

1

3 3

3 3

3 3

3































































abc c

b a b

a

c a

c

b c

b

a

c b a c

b a b

a

c a

c

b c

b

a

Ví dụ 7 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c

Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c

ca

a c bc

c b ab

b a

















2

3 3 3 3 3 3

Lời giải:

Ta có:

c

a a

c b

c c

b a

b b

a ca

a c bc

c b ab

b























Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(1); (2) ; (3) ;

a b b

a

b

b

a

2 2

2 2





a

b

2

2



c

b

2

2





(4) ; (5) ; (6)

c

b

b

c

2

2



a

c

2

2



c

a

2

2





Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1) đến (6) ta được:

a b c

c

a a

c b

c c

b a

b b a

c b a c b a c

a a

c b

c c

b a

b b a









































2

4 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

(đpcm)

a b c

ca

a c bc

c b ab

b

Ví dụ 8 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c

Chứng minh bất đẳng thức sau:

c b a a

c c

b b

3

2 3

2 3

2











Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(1) ; (2); (3)

b a a b

a a

a

b

1 3 1

3

2 3

2









c b b c

3

2







a c c a

3

2







Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

(đpcm)





























c b a c

b a a

c

c

b

b

3 1 1 1 2

3

2

3

2

3

2

c b a a

c c

b b

3

2 3

2 3

2













Ví dụ 9 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c

Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 3 3 a2 b2 c2

a

c c

b b

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(1) ; 2

3 3 2

3

3

3

b

a b

a b

b

a

b

(2) ; (3) 2

2

3

3

3b

c

c

b

c

a

c a

Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:

(đpcm)

3 3

3

3

a

c

c

b

b













a

c c

b b



Ví dụ 10 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c

Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c

ab

c ca

b bc

a42  42  42   

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

b c c a (1)

bc

a c

c b bc

a

4

44 2

4 2

4











c a a b (2)

ca

b

4

2

4









a b b c (3)

ab

c

4

2

4









Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

(đpcm)

a b c a b c

ab

c ca

b

bc

a















4 2

4

2

4

c b a ab

c ca

b bc

a











Ví dụ 11 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a2b2c2 3

Chứng minh rằng:

2

3

3 3

3











c a c

b c b a

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(1) ;

3

4 2

c b a c b

a c

b

a

c

b

a















(2) ; (3)

3

a

c

b

a

c



Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

) (1'

2

2 2 2 3

3

3

c b a ca bc ab b a

c a

c

b

c

b











Mặt khác ta có: a mn b mn c mn a m b n b m c n c m a n

Chọn ta được:











1

1

n

a b c ab bc ca       

(2')

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:

2 2

2

2 2 2 2 2 2 3

3

c b a c b a ca bc ab b a

c a c

b

c

b













(đpcm)

2

3 2

2 2 2 3

3

3



















b a

c a c

b

c

b

a

Ví dụ 12 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c

Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 3 3

2

5 2

5 2

5

c b a a

c c

b b

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(1) ; 3 2 2

5 2

2

5

2

b

a ab

b

(2) ; (3) 3

2

2

5

2b

bc

c

2

5

2c

ca a

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

2 2 2 2

5

2

5

2

5

c b a ca

bc ab a

c

c

b

b

Mặt khác ta có: a mn b mn c mn a m b n b m c n c m a n

Chọn ta được:











2

1

n

m

) (2'

2 2 2 3 3

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:

3 3 3 2 2 2 2

5

2

5

2

5

c b a ca bc ab a

c

c

b

b

(đpcm) 3

3 3 2

5 2

5

2

5

c b a a

c c

b

b



Ví dụ 13 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c

Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 3 3  2 2 2

3

1 2 2

c c b

b b a

a

















Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(1) ;

3

3

2 9

2

2

2 9

2

b a a b a

a b

a

a

b

a











3

3

2 9

2

c b

b

c

b



3

3

2 9

2

b c c b c



Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

9

5 9

2 2 2

2

3

2 9

2 9

1 2 2

2

2 2 2 3

3 3

2 2 2 2

2 2 3

3

3

c b a ca

bc ab a

c

c c b

b b

a

a

c b a ca

bc ab c

b a a c

c c b

b

b

a

a





















































Mặt khác ta có: a mn b mn c mn a m b n b m c n c m a n

Chọn ta được:











1

1

n

a b c ab bc ca 

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:

ab bc ca a b c  a b c  ab bc ca

a c

c c b

b

b

a









2 9

5 9

2 9

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 3

3

3

(đpcm)

3 3

3

3

1 2 2

c c b

b b

a













Ví dụ 14 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c

Chứng minh bất đẳng thức sau:

c b a c

b a b

a c a

c

2 2



Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 4 2 2 4 4 (1) ;

a c b a

c b c

b a

c













Hoàn toàn tương tự ta cũng có: 2 4 4 (2) ; (3)

b a c b

a c







c

b a









Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

) (1'

4 4 4 4 4

4

2 2

b a b

a

c

a

c























2

4 1

1 2 1 1

b a ab b

a b

;

) (3'

4

1

1

c

b

c

4 1 1

a c a

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’), (2’), (3’) và (4’) ta được:

4 4

4 4 4 4 2 2 2 4 4

4

2 2

b a b

a

c

a

c

b















































(đpcm)

c b a c

b a b

a c

a

c

2 2





Ví dụ 15 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c

Chứng minh bất đẳng thức sau: a b

a

c c

b b

a

3

4 2 2 2









Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(1); (2) ; (3)

a b b

a

b

b

a

2 2

2 2





c

b

4 4

2



a

c

4

4 2





Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được a b c a b c

a

c c

b b

a

4 4 2 4

4 2 2 2

















(đpcm) Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi

b a a

c c

b

b

a

3

4 2 2

2









Ví dụ 16 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c

Chứng minh bất đẳng thức sau:  c a b

b a

c a c

b c b









1

16 2 2

2

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(1); (2) ; (3)

3

4 9

4

c

b

a









3

4 9

4

a c

b







b a

c

8

16 2









Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:

a b c a b c

b a

c a c

b c

b

a

8 3

4 9

8 9

13

16 2 2

2























(đpcm)

 c a b

b a

c a c

b

c

b

a

















9

1

16 2 2

2

Ví dụ 17 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c

Chứng minh bất đẳng thức sau:

c b a a

c c

b b

2 2

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

(1) ; (2); (3)

b a b

a a

b

2

1

2

c b c

2  

a c a

2  

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được

c b a c b a a

c c

b b

2 2

(đpcm)

c b a a

c c

b

b

2 2



Ví dụ 18 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a3b3c3 3 CMR: a5 b5 c5 3

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số: 3 số a5 và 2 số 1, ta có: 3a5 255 a151.15a3 (1) Tương tự: 3b5 25b3 (2) ; 3c5 25c3 (3)

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

(đpcm)

3 a  b c  6 5 a  b c 3 a  b c  6 5.3a5b5c5 3

Ví dụ 19 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a3b3 b3c3 c3a3 3 CMR: a7 b7 c7 3

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số: 3 số a7 , 3 số b7 và số 1, ta có:

(1) 3 3

7 21 21 7

3a  b   a b  a b

Tương tự: 3b7 3c7 17b3c3 (2) ; 3c7 3a7 17c3a3 (3)

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

(đpcm)

Ví dụ 20 [Svip] Cho 2 số thực dương a, b CMR: a2 b2 42a2bab

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

(1); (2) ; (3)

a a

a2 4 2 2.4  4 b2 44b a2 b2 2ab

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 2a2 2b2 84a4b2ab

(đpcm)

ab b a b

Ví dụ 21 [Svip] Cho 3 số thực dương a, b, c CMR: a3 b3 c3 a2 bcb2 cac2 ab

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số: 4 số a3,1 số b3 và 1 số ta có:c3

(1)

bc a c b a c

b

a3 3 3 66 12 3 3 6 2

Tương tự: 4b3 c3 a3 6b2 ca (2) ; 4c3 a3 b3 6c2 ab (3)

Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

a3 b3 c3 6a2 bc b2 ca c2 ab

(đpcm)

ab c ca b bc a c b

a3  3  3  2  2  2

