04 bất đẳng thức cô si phần 2 đặng việt hùng image marked

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI Phần 2... Hướng dẫn giải:... Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Câu 6 [Svip]... BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI Phần 2...

DẠNG 1 KĨ THUẬT GHÉP ĐỐI XỨNG

Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:

Phép cộng:









































a c c b b a c b a

a c c b b a c b a

2

2 2

2

   















ca bc ab c

b a

c b a ca

bc ab abc

2 2 2

0 , , ,

c

ab b

ca a

Hướng dẫn giải:

Ta có:

c b a a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a bc

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a

bc c

ab

b

ca

a

bc





















































2

1 2

1 2

1

Ví dụ 2 [Svip] Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc1

Chứng minh rằng       a  b c3

c

b a b

a c a

c b

Hướng dẫn giải:

3 3

2

2 2

2

2 2

2 2



















































































































c b a c b a c

b a

c b a c b a c b a

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a bc

a

bc c

ab c

ab b

ca b

ca a

bc

c

ab b

ca a

bc c

ab b

ca a

bc c

b a b

a

c

a

c

b

Vậy       a b c 3

c

b a b

a c a

c

b

2 ,

, ,

,AB c BC a CA b p a b c

 a) papbpc1abc

04 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 2)

b) 



















p

1 1 1 2 1 1

1

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

a b p b c p c a abc

p

a p c p c p b p b p a p

a p c p c p b p b p a p c

p b

p

a

p

8

1 2

2 2

2 2 2

2

2

2

























































b) Ta có:





























































































































c b a

a p c p c p b p b p a p

a p c p c

p b p b

p a p

a p c p c

p b p b

p a p c

p b

p

a

p

1 1 1 2

2

1 2

1 2

1

1 1

1

1 1

2

1 1

1 2

1 1

1 2

1 1 1

1

DẠNG 2 KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ

Ví dụ 1 [Svip] Cho ABC,ABc,BC a,CAb

Chứng minh rằng 3 (1)















c b

a c

b a

c b a

Hướng dẫn giải:



































































2 2

2 0

0 0

y x c

x z b

z y a

z c

b

a

y b

a

c

x a

c

b

Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành

z

y x y

x z x

z y

2 2

2











Ta có:

3 2

2 2

2 2 2

2

1 2

1 2

1 2 2

2



































 





























z

y y

z z

x x

z y

x x y

z

y y

z z

x x

z y

x x

y z

y x y

x z x

z y















c b

a c

b a

c

b

a

Ví dụ 2 [Svip] Cho ABC,ABc,BC a,CAb

c b a

c b a c

b a

c b

















2 2

2

Hướng dẫn giải:

Đặt:



































































2 2

2 0

0 0

y x c

x z b

z y a

z c b

a

y b a

c

x a c

b

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:

      x y z

z

y x y

x z x

z

4 4

4

2 2

2

Ta có:

  2  2 2

yz zx zx xy xy yz

z x y

c b a

c b a c

b a

c

b

















2 2

2

2 ,

, ,

,AB c BC a CA b p a b c











      p ap bp c

p c

p b

p a

1 1

1

Hướng dẫn giải:

Ta có: 0 Tương tự:

2 





a b c a

z c

p

y b

p

x a

p





































0 0 0

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau

xyz

z y x z y x









2

1 1 1

Ta có

xyz

z y x zx yz xy x z z

y y

x

x z z

y y

x z

y

x





























 







































1 1 1 1 1 1

1 1

1

1 1 2

1 1 1 2

1 1 1 2

1 1

1

1

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2 2

2

2

      p ap bp c

p c

p b

p a

1 1

1

Ví dụ 4 [Svip] Cho bốn số dương x y z t; ; ;

Chứng minh 3 3 3 3 3 3 3 3 1

x yzt y xzt z xyt t xyz 

Hướng dẫn giải:

3 3 3 3

1

x yzt y xzt z xyt t xyz

  

Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau

  

8

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có

            

  

8

1 1 1 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi hai số cùng bằng 2

Ví dụ 6 [Svip] Cho bốn số thực dương a b c d; ; ;

4

16

5

a b b c c d d a abcd

  

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

4

5

5

16

16

16

16

16

a b b c c d d a abcd

a b b c c d d a abcd abcd abcd abcd

a b b c c d d a abcd abcd abcd abcd

   



Dấu đẳng thức xảy ra khi bốn số bằng nhau

Ví dụ 7 [Svip] Cho ba số thực dương a b c; ; Chứng minh a3     b3 c3 a b c 2a22b22c2

Hướng dẫn giải:

2

2

  





  

 Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số cùng bằng 1

Ví dụ 8 [Svip] Cho ba số thực dương a b c; ; Chứng minh 5a24b27c2 2ab6bc8ca

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có

2 2

2





 Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

        

     

     

x x x

Câu 2 [Svip] Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a b c  0

Chứng minh 8a8b8c 2a 2b2c

Câu 3 [Svip] Cho ba số thực dương a, b, c

Chứng minh rằng

1

5

3 8 14  3 8 14  3 8 14   

a b c

Câu 4 [Svip] Cho a, b, c >0 thoả mãn: ab bc ca  1

Chứng minh rằng a b c

3 2

Câu 5 [Svip] Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn: a2b2c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Câu 6 [Svip] Cho ba số x, y, z > 0 thoả x2y2z2 xyz

Tìm GTLN của biểu thức  2  2  2

A

Câu 7 [Svip] Cho a, b, c > 0, abc = 1

Tìm GTLN của biểu thức 2 1 2 2 1 2 2 1 2

P

Câu 8 [Svip] Cho a ,b, c > 0 và a + b + c = 1

2 2 2 2 2 2 ab bc ac

ab c c cb a ac b b

 

mãn

Chứng minh rằng

2

a b c

1 8



abc

        

     

     

x x x

Lời giải:

Đặt 3xa, 4x b, 5x c a b c , ,  012x ab, 20x bc, 15x ca

BĐT cần chứng minh ab ac bc a b c (1)

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có

2 ab bc ca 2a b c ab bc ca a b c (1) đúng

BĐT được chứng minh, dấu " " xảy ra   a b c hay 3x 4x 5x  x 0

Câu 2 [Svip]:Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a b c  0 Chứng minh 8a8b8c 2a2b2c

Lời giải:

Đặt 2a x, 2b  y, 2c  y x y z , ,  08a x3, 8b  y3, 8c z3 và xyz2 2 2a b c 2a b c  20 1 BĐT cần chứng minh x3y3z3  x y z (1)

Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có

3 1 1 3 3.1.1 3 ; 3 1 1 33 3.1.1 3 ; 3 1 1 3 3.1.1 3

x3y3  z3 6 3x y z  x3y3z3    x y z 2x y z  3 (2)

Lại áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có x y z  33 xyz      3 x y z 3 0

Khi đó từ (2) x3y3z3   x y z (1) đúng

BĐT được chứng minh, dấu " " xảy ra    x y z 1 hay 2a 2b 2c     1 a b c 0

Câu 3 [Svip]: Cho ba số thực dương a, b, c

04 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 2)

Chứng minh rằng (1)

1

5

3 8 14  3 8 14  3 8 14   

a b c

Lời giải:

Phân tích Nhìn vào dạng BĐT ta phán đoán ngay 2 2  2 với

3a 8b 14ab ma nb m n, 0

Dấu " " xảy ra  2 2 2 2 2

Đến đây ta nhẩm đoán và tìm được m2, n3

Bây giờ ta sẽ đi vào lời giải của bài toán Với a b, 0 có

3a 8b 14ab2a3b3a 8b 14ab 2a3b

 2

4a 9b 12ab 3a 8b 14ab a b 2ab 0 a b 0

Điều này luôn đúng với a b,   0 0 3a28b214ab 2a3 b

Tương tự 0 3b28c214bc  2b3 ; 0c  3c28a214ca 2c3a

(2)

VT (1)

P

Ta sẽ chứng minh 1  (3), với

5

P a b c  a b c, , 0

Thật vậy, áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có

2

a b c

a b c

 

Từ (2) và (3) ta có BĐT cần chứng minh, dấu " " xảy ra   a b c

Câu 4 [Svip]: Cho a, b, c >0 thoả mãn: ab bc ca  1

Chứng minh rằng

3 2

Lời giải:

1

a b a c

a  ab bc ca a 

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có

2

2

1 2 1

a b a c a



;

Từ (2) và (3) ta được

a b b c c a

BĐT được chứng minh, dấu " " xảy ra 1

3

a b c

   

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Lời giải:

2 2

2 2

2

2





Tương tự ta cũng có 2 22 2 2 2 2; 2 22 2 2 2 2

3

y z x z x y x y z y z z x x y A

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có

Khi đó từ (2) 16 3 1 Kết hợp với (1)

3

A

Dấu " " xảy ra    a b c 1 Vậy Pmin 1 đạt được khi a b c  1

Câu 6 [Svip]: Cho ba số x, y, z > 0 thoả x2y2z2 xyz

Tìm GTLN của biểu thức  2  2  2

A

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có

A

Trong đó đã sử dụng BĐT quen thuộc   2  2 2 2 2 2

0

x y  y z  z x   x y z xy yz zx  Dấu đẳng thức xảy ra khi x  y z 3

Câu 7 [Svip]: Cho a, b, c > 0, abc = 1

Tìm GTLN của biểu thức 2 1 2 2 1 2 2 1 2

P

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1

Tương tự 2 1 2 1 1 ; 2 1 2 1 1

P

Bổ đề 1 1 1 1 1.

xyz

Chứng minh bổ đề:

1

1

xyz

y

 

Áp dụng điều này ta có 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số cùng bằng 1

2

P

Câu 8 [Svip]: Cho a ,b, c > 0 và a + b + c = 1

 

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

1

ab

;

 

 

ab bc ca

ab bc ac

Dấu đẳng thức xảy ra khi 1

3

  

a b c

a b c

Chứng minh rằng 1

8



abc

Lời giải.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 1 1 1 1 2

abc

abc

Dấu đẳng thức xảy ra khi 1

2

a b c  