ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Đường thẳng song song với mặt phẳng: Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng.. + H
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó
song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng
Viết dạng mệnh đề: //( ) ( )
//
a P
d P
d a
⊂
⇔
Tính chất giao tuyến song song:
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai đường thẳng a,
b song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt
phẳng phải song song với a và b
Viết dạng mệnh đề:
( ); ( ) ( ) ( );
// //
//
a P b Q P Q
a b
a b
→∆
Tính chất để dựng thiết diện song song:
Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P); một
mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến ∆ thì ∆
phải song song với a
Viết dạng mệnh đề:
( ) ( ) ( ) ( )
//
//
a P
P Q
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
+ Định nghĩa: Đường thẳng a vuông góc với mặt
phẳng (P) khi nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm
trong (P) Viết dạng mệnh đề: ( ) a ( )P
d P
d a
∀ ⊂
⊥
+ Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc
với (P) ta chỉ cần chứng minh d vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau nằm trong (P)
+ Hệ quả 2: Nếu hai đường thẳng phân biệt d 1 ; d 2 cùng
vuông góc với (P) thì d 1 // d 2
+ Hệ quả 3: Nếu hai mặt phẳng (P 1 ); (P 2 ) cùng vuông
góc với đường thẳng d thì (P 1 ) // (P 2 )
+ Hệ quả 4: Nếu đường thẳng d cùng vuông góc với
một đường thẳng a và một mặt phẳng (P) thì khi đó
đường thẳng a hoặc song song với (P) hoặc nằm trong
CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Viết dạng mệnh đề:
( ) ( ) ( )
//
a P
d a
⊥
→
+ Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông
góc xuống (P) là d’; đường thẳng a nằm trong (P)
vuông góc với d khi và chỉ khi a vuông góc với d’
H là trực tâm tam giác ABC
a) Chưng minh rằng BH ⊥(SAC) và CH ⊥(SAB)
b) Gọi K là trực tâm tam giác SBC chứng minh rằng: SC⊥(HBK) và HK ⊥(SBC)
Lời giải:
a) Do H là trực tâm tam giác ABC nên ta có: BH ⊥ AC
Mặt khác BH ⊥SA nên suy ra BH ⊥(SAC)
Tương tự ta có: CH AB CH (SAB)
⊥
⊥
b) Ta có : K là trực tâm tam giác SBC nên BK ⊥SC
Mặt khác BH ⊥(SAC)⇒BH ⊥SC do vậy SC⊥(BHK)
Ta có M là trung điểm của BC thì AM BC
⊥
⊥
⊥
⇒
⊥
Khi đó K là trực tâm tam giác SBC nên K
thuộc đường cao SM suy ra BC⊥HK
Mặt khác do SC ⊥(BHK)⇒SC⊥HK do vậy
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm H của tam giác ABC
a) Chứng minh rằng: AC⊥(SBD), AB⊥(SHC)
b) Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên SD chứng minh rằng SC⊥(AMC)
Trang 3a) Do ABCD là hình thoi nên ta có: AC⊥BD
Mặt khác ABC là tam giác đều nên H thuộc đoạn
BD do vậy SH ⊥AC từ đó suy ra AC⊥(SBD)
Do H là trọng tâm cũng là trực tâm tam giác đều
ABC nên CH ⊥ AB lại có AB⊥SH suy ra
b) Do AC⊥(SBD)⇒AC ⊥SD, mặt khác ta có:
AM ⊥SD từ đó suy ra SD⊥(ACM) (dpcm)
trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AC, gọi E là điểm thuộc cạnh AB sao cho
4
AB= AE và F là hình chiếu vuông góc của H trên A’E Chứng minh rằng:
a) AB⊥(A HE' )
b) HF ⊥(A ABB' ')
Lời giải:
a) Gọi M là trung điểm của AB ta có CM ⊥ AB
(do tam giác ABC đều)
Khi đó E là trung điểm của AM do vậy HE là
đường trung bình của tam giác ACM nên
/ /
HE CM ⇒HE⊥ABlại có A H' ⊥AB nên suy
ra AB⊥(A HE' ) (dpcm)
b) Do AB⊥(A HE' )⇒ AB⊥HF mặt khác
'
HF ⊥A E do vậy HF⊥(A ABB' ') (dpcm)
a) Chứng minh rằng AC⊥(SBD)
b) Kẻ AK ⊥SB K( ∈SB) Chứng minh rằng SB⊥(AKC)
Lời giải:
Trang 4Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
a) Gọi O là giao điễm của AC và BD
Tam giác SBD có SB=SD
SBD
⇒∆ cân tại S ⇒SO⊥ BD
Mà AC ⊥BD⇒ AC⊥(SBD)
b) Ta có AC⊥(SBD)⇒ AC ⊥SB
Mà SB⊥ AK ⇒SB⊥(AKC)
là trung điểm của BC
a) Chứng minh rằng BC⊥(SAM)
b) Kẻ AH ⊥SM H( ∈SM) Chứng minh rằng AH ⊥(SBC)
c) Gọi ( )P là mặt phẳng chứa AH và vuông góc với (SAC) cắt SC tại K Chứng minh rằng SC⊥( )P
Lời giải:
a) Ta có BC AM BC (SAM)
⊥
⊥
b) Vì BC ⊥(SAM)⇒ BC⊥ AH
Mà AH ⊥SM ⇒ AH ⊥(SBC)
c) Ta có (SAC) ( )∩ P = AK
AK
⇒ là hình chiếu của AH lên (SAC)
Mà AH vuông góc với SC
AK
⇒ vuông góc với SC ⇒SC⊥( )P
Câu 6: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB=2AD Tam giác SAB nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AD , M là hình chiếu của S nằm trên
4
AM = AB
a) Chứng minh rằng AC⊥(SDM)
b) Kéo dài DM cắt BC tại I Hạ CH ⊥SI H( ∈SI) Lấy điểm K trên cạnh SC sao cho 3
4
SK = SC Chứng minh rằng BK ⊥(AHC)
Lời giải:
Trang 5a) Ta có 1
4
MD=MA+AD= − DC+ AD
AC = AD+DC
1
4
1
Mà AC ⊥SM ⇒ AC ⊥(SDM)
4
4
SK
Vì AC⊥(SDM)⇒ AC⊥SI ⇒BK ⊥ AC ( )2 Từ ( )1 và ( )2 ⇒BK ⊥(AHC)
Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD
a) Chứng minh rằng rằng CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC)
b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK)
c) Chứng minh rằng HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥AI
Lời giải:
a) Ta có CD ⊥AD và CD ⊥SA (do SA ⊥ (ABCD) có chứa CD)
⇒ CD⊥ (SAD)
Tương tự, BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông) và BD ⊥ SA (do SA ⊥ (ABCD) có chứa BD) ⇒ BD⊥
(SAC)
b) Theo a, CD⊥ (SAD) ⇒ CD⊥AK , (1)
Lại có AK ⊥SD, (2)
Từ (1) và (2) ta được AK⊥ (SCD)
Mà SC ⊂ (SCD) ⇒ AK⊥SC, (*)
Chứng minh tương tự ta cũng được AK⊥SC, (**)
Trang 6Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Do A ∈ (AHK) nên không thể xảy ra AI // (AHK), khi đó AI ⊂ (AHK), hay điểm I thuộc (AHK)
c) Ta nhận thấy BD ⊥ (SAC), nên để chứng minh HK ⊥ (SAC) ta sẽ tìm cách chứng minh BD // HK
Thật vây, do các tam giác SAB và SAD bằng nhau nên các đường cao AH và AK bằng nhau Khi đó,
∆SAH = ∆SAK ⇒ SH = SK →SH =SK ⇒HK//BD⇒HK⊥(SAC)
Mà AI ⊂ (SAC) ⇒ HK ⊥ AI
và SC=a 2 Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD
a) Chứng minh rằng SH ⊥ (ABCD)
b) Chứng minh rằng AC ⊥ SK và CK ⊥ SD
Lời giải:
a) ∆ABC đều nên SH ⊥ AB, (1)
2
=
Mà BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH, (2)
Từ (1) và (2) ta có SH ⊥ (ABCD)
b) Theo a, SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AC
Do HK là đường trung bình của ∆ABD nên HK // BD, mà BD ⊥ AC ⇒ HK ⊥ AC
Từ đó ta được, AC ⊥ (SHK), hay AC ⊥ SK
⊥
CK DH
CK SHD
là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh rằng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB)
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ Chứng minh rằng SH ⊥ AC
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM ⊥ SA Tính AM theo a
Lời giải:
Trang 7a) Ta có: 3; ; 1
SI = IJ =AD=a SJ = CD=
Do vậy tam giác SIJ vuông tại đỉnh S
Lại có: IJ CD CD ( )SIJ
⊥
⊥
Khi đó: SI CD SI (SCD)
⊥
⊥
trên ta cũng có SJ ⊥ (SAB)
b) Dựng SH ⊥IJ lại có SH ⊥CD⇒SH ⊥(ABCD)
c) Do BM SA BM AH
⊥
⊥
2 3
;
IJ
Đặt CM =x ta có: BM AH.= ⇔0 (BC+CM) ( AI+IH)=BC IH. +CM AI.=0
2
0
A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A Gọi C′ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và
CC′
a) Chứng minh rằng CC′⊥ (MBD)
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB Chứng minh rằng K là trực tâm của ∆BCD
Lời giải:
⊥
⊥
Do vậy CC'⊥(BMD)⇒CC'⊥BD
b) Dễ thấy BK ⊥CD Lại có
⊥
⊥
Mặt khác CC'⊥BD⇒BD⊥CK
Do vậy K là trực tâm tam giác BCD
Trang 8Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
đường cao AB = a ; AD = 2a và M là trung điểm AD
a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông tại C
b) Kẻ SN vuông CD tại N Chứng minh rằng CD ⊥ (SAN)
Lời giải:
a) Ta có: ABCM là hình vuông cạnh a do
2
CM = =a AD⇒∆ACD vuông tại
C
⊥
⊥
giác SCD vuông tại C
b) Kẻ SN ⊥CD⇒N ≡C ⇒ CD ⊥
(SAN)
Thầy Đặng Việt Hùng