Chuong-5-Phan-phoi-roi-rac

Trang 1

Biến rời rạc và phân phối xác suất Chương 5

Mục tiêu chương

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ có

thể:

 Giải thích giá trị trung bình và độ lệch chuẩn cho

một biến ngẫu nhiên rời rạc

 Sử dụng phân phối xác suất nhị thức để tìm xác

suất

 Mô tả khi nào nên áp dụng phân phối nhị thức

 Sử dụng phân phối xác suất rời rạc và Poisson

để tìm xác suất

 Giải thích hiệp phương sai và tương quan cho

các biến ngẫu nhiên rời rạc phân phối kết hợp

Giới thiệu về phân phối xác suất

 Biểu diễn giá trị bằng số có thể có từ một thí

nghiệm ngẫu nhiên

Biến ngẫunhiênBiến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiênliên tục

Trang 2

Biến ngẫu nhiên

 Một biến ngẫu nhiên được ký hiệu là X,

 Chữ thường x biểu thị một giá trị có thể có

 VD: một cửa hàng có 5 máy tính trên kệ Từ

kinh nghiệm trong quá khứ, xác suất bán từ 1

đến 5 máy tính là bằng nhau.

Đặt X là biến ngẫu nhiên đại diện cho số lượng máy

tính được bán

X có thể nhận các giá trị cụ thể: x = 1, x = 2, …, x =

5 Mỗi giá trị có xác suất xuất hiện là 0,2

Biến ngẫu nhiên rời rạc

 Có thể chỉ nhận một giá trị là số đếm

Ví dụ:

Gieo một hột

xí ngầu hai lầnGọi X là số lần số 4 xuất hiện

(vậy thì X có thể là 0, 1, hoặc 2 lần)

Xoay một đồng xu 5 lần

Gọi X là số lần mặt ngửa xuất hiện

(vậy, X = 0, 1, 2, 3, 4, or 5)

Các biến ngẫu nhiên rời rạc: ví dụ

 Đặt X là biến ngẫu nhiên đại diện cho số lượng

Trang 3

Biến ngẫu nhiên liên tục

 Hãy xem xét một biến ngẫu nhiên: lợi nhuận

hàng tháng của một công ty.

Nó được đo lường liên tục - doanh số hàng tháng có

thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một khoảng nhất định

Nó được gọi là liên tục

 Một biến ngẫu nhiên liên tục có thể nhận bất

kỳ giá trị nào trong một khoảng giá trị.

Chúng ta chỉ có thể gán xác suất cho một khoảng

Pr(2 triệu USD < X < 3 triệu USD)

Xác suất gắn liền với một giá trị cụ thể gần như bằng

không

Biến ngẫu nhiên liên tục: ví dụ

 Ví dụ về biến ngẫu nhiên liên tục:

Thu nhập hàng năm cho một gia đình

Lượng dầu nhập vào Việt Nam trong một tháng

Sự thay đổi giá của một cổ phiếu của cổ phiếu IBM

trong một tháng

Thời gian trôi qua giữa quá trình cài đặt một thành

phần mới và sự thất bại của nó

Tỷ lệ tạp chất trong một lô hóa chất

.v.v

Phân phối xác suất cho các biến ngẫu

nhiên rời rạc

 Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc và x là

một trong những giá trị có thể có của nó.

 Xác suất X lấy một giá trị cụ thể x được ký hiệu

Trang 4

Thí nghiệm: Xoay 2 đồng xu Gọi X = # mặt hình.

Biểu diễn P(x) , tức là, P(X = x) , cho mọi giá trị của x:

Phân phối xác suất rời rạc: Ví dụ

0.4 0.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x (số lần bán)

 1  P(x)  0 với mọi giá trị của x

 Tổng xác suất của các giá trị bằng 1 ;

 Sự kiện “X = x”, đối với mọi giá trị có thể có của x,

là loại trừ lẫn nhau và đầy đủ

Phân phối xác suất Thuộc tính cần thiết

x

1 P(x)

Trang 5

Hàm xác suất tích lũy

 Hàm xác suất tích lũy (c.d.f), ký hiệuF(x0), biểu

diễn xác suất mà X nhỏ hơn hay bằng x0

 Tức là: hàm c.d.f được tính tại x 0

 Nói cách khác,

) x P(X )

Các nhà quản lý một đại lý xe hơi ở một thị trấn nhỏ, dựa trên phân

tích về lịch sử bán hàng của mình, biết rằng vào bất kỳ ngày nào, số

lượng xe Prius được bán có thể thay đổi từ 0 đến 5 Hàm phân phối

xác suất trong Bảng sau có thể được sử dụng để lập kế hoạch tồn

kho như thế nào? Cho biết hàm phân phối xác suất cho bán ô tô:

Hàm tích lũy xác suất có thể được dùng để hoạch định tồn kho VD,

nếu chỉ có 4 xe trong kho, cửa hàng có thể thỏa mãn 95% nhu cầu

khách hàng trong ngày Nhưng nếu chỉ có 2 xe thì có đến 35% nhu

cầu không được thỏa mãn.

Trang 6

Thuộc tính phát sinh của c.d.f

 Đặt X là biến ngẫu nhiên rời rạc với c.d.f ,

F(x0), vậy thì,

1 0  F(x0)  1 với mọi giá trị của x0, và

2 Nếu x0 và x1 là 2 giá trị với x0 < x1, vậy thì,

F(x0)  F(x1)

Thuộc tính của biến ngẫu nhiên rời rạc

 Giá trị kỳ vọng (hay trung bình) của một phân

phối rời rạc(trung bình có trọng số)

 Ví dụ: xoay 2 đồng xu,

x = # mặt hình , tính kỳ vọng của x:

Phương sai và độ lệch chuẩn

 Phương saicủa một biến ngẫu nhiên rời rạc X

2 (x μ) P(x) σ

2 E(X μ) (x μ) P(x) σ

Trang 7

Ví dụ độ lệch chuẩn

Ví dụ:Tung 2 đồng xu, X = # mặt hình,

tính độ lệch chuẩn(nhớ rằng E(x) = 1)

.707.50(.25)1)(2(.50)1)(1(.25)1)(0

Ví dụ phương sai

Các hàm số của biến ngẫu nhiên

 Nếu P(x) là hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X rời

rạc và g(X) là một hàm số nào đó của X, thì giá trị kỳ

vọng của hàm g là

 Lưu ý: nhìn chung, E[g(x)]  g(x)

 Đặt Y là hàm tuyến tính của một biến ngẫu nhiên X,

Y = a + bXtrong đó a và b là các hằng số





x

g(x)P(x) E[g(X)]

Trang 8

Hàm tuyến tính của biến ngẫu nhiên

 Gọi a và b là bất kỳ hằng số nào.

 a)

nghĩa là, nếu một biến ngẫu nhiên luôn nhận giá trị

a, nó sẽ có trung bình là a và phương sai là 0

 b)

nghĩa là, giá trị kỳ vọng của b·X là b·E(x)

0 Var(a) and

a

2 X 2

bμ

Hàm tuyến tính của biến ngẫu nhiên

 Cho biến X có trung bình µxvà phương sai σ2

 Đặt a và b là các hằng số

 Cho Y = a + bX

 Vậy thì, trung bình và phương sai của Y là

 Do vậy độ lệch chuẩn củaY là

X

Y E(a bX) a bμ

X 2 2 Y

Một nhà thầu quan tâm đến tổng chi phí của một dự án mà cô dự

định đấu thầu Cô ước tính rằng chi phí vật liệu sẽ là 25.000 đô la

và lao động là 900 đô la/ngày Nếu dự án mất X ngày để hoàn

thành, tổng chi phí lao động sẽ là 900X đô la và tổng chi phí của dự

án (tính bằng đô la) sẽ như sau: C = 25.000 + 900X.

Sử dụng kinh nghiệm của mình, nhà thầu hình thành xác suất

(Bảng 4.4) về thời gian hoàn thành của dự án.

a Tìm giá trị trung bình và phương sai cho thời gian hoàn thành X.

b Tìm giá trị trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn cho tổng chi

phí C.

Thời gian hoàn thành (ngày) 10 11 12 13 14

Xác suất 0,1 0,3 0,3 0,2 0,1

Trang 9

tính của biến ngẫu

nhiên X, được cho:

Phân phối xác suất

Phân phối xác suấtliên tụcNhị thức

HypergeometricPoisson

Phân phối xácsuấtPhân phối

xác suất rời rạc

Đều (uniform)Chuẩn

Mũ (exponential)

Trang 10

Phân phối nhị thức

Nhị thứcHypergeometricPoisson

Phân phốixác suấtPhân phối

xác suấtrời rạc

Phân phối Bernoulli

 Xem xét chỉ hai kết quả: “thành công” or “thất bại”

 GọiPlà xác suất của thành công

 và1 – P là xác suất của thất bại

 Định nghĩa biến ngẫu nhiên X:

x = 1 if thành công, x = 0 if thất bại

 Vậy thì, hàm xác suất Bernoulli là

P P(1) and P) (1

Phân phối Bernoulli Trung bình và Phương sai

 Trung bình là µ = P

 Phương sai là σ2= P(1 – P)

P(1)PP)(0)(1P(x)xE(X)μ

P(x) μ) (x ] μ) E[(X σ

2 2

X 2 2

Trang 11

Phân phối Bernoulli: ví dụ

 Một nhà môi giới bảo hiểm tin rằng đối với một

liên hệ cụ thể, xác suất bán hàng là 0,4.

 Đặt X là biến ngẫu nhiên, lấy giá trị 1 nếu bán

được thực hiện và 0, nếu không.

X có phân phối Bernoulli với P(1) = 0,4 và P(0) =

0,6

Giá trị trung bình của phân phối là E(X) = P = 0,4

Phương sai: var(X) = P(1 - P) = 0,4 x 0,6 = 0,24

Chuỗi x lần thành công trong n lần

thử nghiệm

 Mỗi thử nghiệm có thể có 2 kết quả:

Thành công với xác suất P, và

Thất bại với xác suất 1 – P

 n phép thử độc lập được thực hiện

Kết quả của một thử nghiệm này cũng không ảnh

hưởng đến kết quả của bất kỳ thử nghiệm khác

 Gọi X là số lần thành công, từ n lần thử

nghiệm

X có thể nhận các giá trị từ 0, 1, …, n

thử nghiệm

 Chúng ta quan tâm đến việc thu được giá trị

chính xác X = x.

 Giả sử nhà môi giới thực hiện 4 liên hệ và

chúng ta muốn tính xác suất bán được 3 lần.

 Một chuỗi kết hợp có thể [T, T, T, B]

Cho trước mỗi khách hàng là độc lập

Xác suất của mỗi sự kiện cụ thể này là:

Trang 12



n!

Cn





Phân phối xác suất nhị thức

 Một số lượng quan sát cố định, n

 ví dụ: 15 lần tung đồng xu; mười bóng đèn lấy từ một nhà kho

 Hai sự kiện loại trừ lẫn nhau và đầy đủ

 ví dụ: mặt hình hoặc chữ trong mỗi lần tung đồng xu; bóng đèn

bị lỗi hoặc không bị lỗi

 Thường được gọi là “thành công” và “thất bại”

 Xác suất thành công là P, xác suất thất bại là 1 - P

 Xác suất không đổi cho mỗi quan sát

 ví dụ: Xác suất nhận được mặt hình là như nhau mỗi lần chúng

ta tung đồng xu

 Các quan sát là độc lập

 Kết quả của một quan sát không ảnh hưởng đến kết quả của

quan sát khác

Trang 13

Các khuôn mẫu phân phối nhị

thức có thể

 Một nhà máy sản xuất dán nhãn các mặt hàng

là “ khiếm khuyết ” hoặc “ chấp nhận được ”.

 Đấu thầu công ty cho các hợp đồng sẽ có

được hợp đồng hay không

 Một công ty nghiên cứu tiếp thị nhận được câu

trả lời khảo sát về “ vâng, tôi sẽ mua ” hay

“không, tôi không mua”.

 Người xin việc mới chấp nhận lời đề nghị hoặc

từ chối nó.

P(x) = xác suất của x lần thành công trong n lần

thử, với xác suất thành công P trong mỗi lần thử

x = số lần ‘thành công’ trong mẫu,

(x = 0, 1, 2, , n )

n = cỡ mẫu (số lần thử hay số quan sát)

P = xác suất của “thành công”

n = 4

P = 0,5

1 - P = (1 – 0,5) = 0,5

x = 0, 1, 2, 3, 4Công thức phân phối nhị thức

Ví dụ:

Tính xác suất nhị thứcXác suất 1 lần thành công trong năm quan sát là

bao nhiêu nếu xác suất thành công là 0,1?

x = 1, n = 5, and P = 0,1

.32805.9)(5)(0.1)(0

0.1)(1(0.1)1)!

(51!

5!

P)(1Px)!

(nx!

n!

1)P(x

4

1 1

X n X

Trang 14

n = 5 P = 0,1

n = 5 P = 0,5

Mean

0 2 4 6

0 1 2 3 4 5

x P(x)

.2 4 6

0 1 2 3 4 5

x P(x)

 Phương sai và Độ lệch chuẩn

nP E(x)

P) nP(1-

Trong đó: n = cỡ mẫu

P = xác suất thành công (1 – P) = xác suất thất bại

n = 5 P = 0,1

n = 5 P = 0,5

Mean

0 2 4 6

0 1 2 3 4 5

x P(x)

.2 4 6

0 1 2 3 4 5

x P(x)

0

0.5(5)(0.1)nP

0.6708

0.1)(5)(0.1)(1P)

1.118

0.5)(5)(0.5)(1P)

Trang 15

Sử dụng Bảng nhị thức

N x … p=.20 p=.25 p=.30 p=.35 p=.40 p=.45 p=.50

2 4 6 8

0.0563 0.2816 0.1460 0.0162 0.0004 0.0000

0.0282 0.2335 0.2001 0.0368 0.0014 0.0000

0.0135 0.1757 0.2377 0.0689 0.0043 0.0000

0.0060 0.1209 0.2508 0.1115 0.0425 0.0016

0.0025 0.0763 0.2384 0.1596 0.0229 0.0003

0.0010 0.0439 0.2051 0.2051 0.0439 0.0010

Ví dụ:

n = 10, x = 3, P = 0,35: P(x = 3|n =10, p = 0,35) = 0,2522

n = 10, x = 8, P = 0,45: P(x = 8|n =10, p = 0,45) = 0,0229

Phân phối nhị thức: Ví dụ

 Một đại lý bất động sản, Jeanette Nelson, có 5

liên hệ Xác suất bán hàng từ một liên hệ là 0,4.

a Tìm xác suất mà cô ấy được tối đa 1 lần bán

b Tìm xác suất để cô ấy thực hiện từ 2 đến 4 lần bán

hàng (đã bao gồm)

c Vẽ đồ thị hàm phân phối xác suất

1 4

5!

(1) 0,4 0,6 0,259 1!4!

Trang 16

• Ở các thái cực (0 hoặc 5 lần bán), xác suất khá nhỏ.

Sử dụng PHStat

 Chọn PHStat / Probability & Prob Distributions / Binomial…

Sử dụng PHStat

 Nhập các giá trị mong muốn trong hộp thoại

Ở đây:n = 10

p = 0,35Kết quả cho x = 0

đến x = 10 sẽ được tạo ra

trên PHStat

Optional check boxes

for additional output

(continued)

Trang 17

P(x = 3 | n = 10, P = 35) = 2522

PHStat Output

P(x > 5 | n = 10, P = 35) = 0949

Phân phối Poisson

Nhị thứcHypergeometricPoisson

Phân phốixác suấtPhân phối

xác suấtrời rạc

 Một số ứng dụng:

 Số lượng lỗi trong một hệ thống máy tính lớn trong

một ngày nhất định

 Số lượng đơn đặt hàng thay thế cho một phụ tùng

được nhận bởi một công ty trong một tháng nhất định

 Số lượng tàu đến một cơ sở bốc hàng trong thời gian

tải 6 giờ

 Số lượng xe tải giao hàng đến một nhà kho trung tâm

trong một giờ

 Số lượng khách hàng đến một lối đi thanh toán trong

cửa hàng tạp hóa địa phương của bạn trong một

khoảng thời gian cụ thể

Trang 18

Giả định về phân phối Poisson

 Áp dụng phân phối Poisson khi:

Bạn muốn đếm số lần một sự kiện xảy ra trong một

khoảng thời gian liên tục nhất định

Xác suất xảy ra một sự kiện trong một khoảng thời

gian là rất nhỏ và giống nhau cho tất cả các khoảng

thời gian

Số lượng sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian

không phụ thuộc vào số lượng sự kiện xảy ra trong

các khoảng thời gian khác

Không thể có nhiều hơn một lần xuất hiện trong mỗi

khoảng thời gian

Số sự kiện trung bình trong một đơn vịlà (lambda)

 Các xác suất Poisson có thể được lấy từ phân

phối xác suất nhị thức,

Lấy các giới hạn toán học khi P 0 và n  

 Với các giới hạn, tham số  = nP là hằng số chỉ

định số lần xuất hiện trung bình trong một thời

gian và /hoặc không gian cụ thể.

 Phân phối Poisson là một trường hợp đặc biệt

của phân phối nhị thức.

Các chứng minh toán học nằm ngoài phạm vi của

khóa học

Công thức phân phối Poisson

Trong đó:

x = số lượng thành công trên mỗi đơn vị

 = số lượng thành công kỳ vọng trên mỗi đơn vị

e = cơ số của logarit tự nhiên (2,71828 )

x!

λ e P(x)

xλ





Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	1,03 MB