Chuong-8-Uoc-luong (1)

Chap 8-2 Mục tiêu chương Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ có thể:  Phân biệt giữa ước lượng điểm và ước lượng khoảng tin cậy  Xây dựng và giải thích ước lượng khoảng tin cậy cho

Chap 8-1Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Ước lượng khoảng tin cậy

Chương 8

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-2

Mục tiêu chương

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ có thể:

 Phân biệt giữa ước lượng điểm và ước lượng

khoảng tin cậy

 Xây dựng và giải thích ước lượng khoảng tin cậy

cho một trung bình tổng thể sử dụng cả phân

phối Z và t

 Xây dựng và giải thích ước lượng khoảng tin cậy

cho một tỷ lệ tổng thể riêng lẻ

Khoảng tin cậy

Nội dung của chương này

 Khoảng tin cậy cho một Trung bình tổng

thể, μ

 Khi phương sai tổng thể σ 2 đã biết

 Khi phương sai tổng thể σ 2 chưa biết

 Khoảng tin cậy cho một Tỷ lệ tổng thể,

(mẫu lớn)

pˆ

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-4

Ước lượng điểm và khoảng

 Thông thường một tham số tổng thể mà ta

quan tâm thì chưa biết

 Một thống kê mẫu thích hợp được sử dụng để ước

tính tham số tổng thể.

 Một ước lượng (estimator) của một tham số

tổng thể là

 Một biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào thông tin mẫu

 Giá trị của nó cung cấp giá trị xấp xỉ cho tham số

chưa biết đó

 Một giá trị cụ thể của biến ngẫu nhiên đó được

gọi là một giá trị ước lượng (estimate)

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-5

Ước lượng điểm và khoảng

 Một giá trị ước lượng điểm là một con số

Độ rộng của khoảng tin cậy

Chúng ta có thể ước lượng

một tham số tổng thể …

Ước lượng điểm

bằng một thống kê mẫu (một ước lượng điểm)

Trung bình

x μ

pˆ

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-7

Không chệch (Unbiasedness)

 Một ước lượng điểm được gọi là một ước

lượng không chệch của tham số  nếu giá trị

kỳ vọng, hay trung bình, của phân phối mẫu

 Ví dụ:

 Trung bình mẫu là một ước lượng không chệch của μ

 Phương sai mẫu là một ước lượng không chệch của σ2

 Tỷ lệ mẫu là một ước lượng không chệch của P

θˆ

θˆ

θ ) θ E( ˆ 

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-8

chệch:

1

θˆ θ

 Một giá trị cụ thể của ước lượng thì không chính xác

bằng với tham số tổng thể Nó có thể ước lượng cao hơn (overestimate) hay thấp hơn (underestimate).

 Khi lặp lại quy trình lấy mẫu nhiều lần, sau đó, giá trị

trung bình (kỳ vọng) của các ước lượng bằng với tham số tổng thể.

 Nó có “khả năng ước lượng tham số tổng thể chính

xác về mặt trung bình”.

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-10

Chệch (Bias)

 Độ chệch của được xác định bằng chênh

lệch giữa trung bình của nó với 

 Độ chệch của một ước lượng không chệch

bằng 0

θˆ

θˆ

θ ) θ E(

) θ Bias( ˆ  ˆ 

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-11

Tính vững/hội tụ (Consistency)

 Gọi là một ước lượng của 

lệch giữa giá trị kỳ vọng của và  giảm dần

khi cỡ mẫu càng tăng

 Ta mong muốc tính vững khi không thể thu

được ước lượng không chệch

θˆ

θˆ

θˆ

Ước lượng hiệu quả nhất

 Giả sử có một số ước lượng không chệch của 

 Ước lượng hiệu quả nhất hay ước lượng không chệch có

phương sai nhỏ nhất của  là ước lượng không chệch có

giá trị của phương sai nhỏ nhất

 Gọi và là hai ước lượng không chệch của , dựa

trên cùng số quan sát mẫu Thế thì,

 được gọi là hiệu quả hơn nếu

 Hiệu quả tương đối của theo là tỳ số giữa phương

sai của chúng:

) θ Var(

) θ Var( ˆ 1 ˆ2

) θ Var(

) θ Var(

Efficiency Relative

12ˆ

Ước lượng không chệch: Ví dụ

 Gọi x 1 , x 2 , …, x n , là một mẫu ngẫu nhiên từ một

tổng thể lớn có phân phối là N(,  2 ) Trung

bình hay trung vị mẫu nên là công cụ ước

lượng tốt hơn của trung bình tổng thể?

 Chúng ta biết rằng,X là ước lượng không chệch của

 với phương sai:

 Trung vị mẫu cũng là một ước lượng không chệch

của  và phương sai là

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-13

var X n

Một số thuộc tính cho các ước lượng

điểm tiêu biểu

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-14

Khoảng tin cậy

 Bao nhiêu sự không chắc chắn có liên quan

đến ước lượng điểm của một tham số tổng

thể?

 Ước lượng khoảng cung cấp nhiều thông tin

về một đặc điểm tổng thể hơn là ước lượng

điểm

 Ước lượng khoảng thời gian như vậy được

gọi là khoảng tin cậy

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-16

Ước lượng khoảng tin cậy

 Một khoảng tin cậy cung cấp một khoảng

các giá trị :

 Đưa vào xem xét sự thay đổi trong thống kê

mẫu từ mẫu này sang mẫu khác

 Dựa trên quan sát từ 1 mẫu

 Cung cấp thông tin về sự gần gũi với các

tham số tổng thể chưa biết

 Được phát biểu dưới dạng mức độ tin cậy

 Không bao giờ tin cậy đến 100%

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-17

Khoảng tin cậy và Độ tin cậy

 Nếu P(a <  < b) = 1 -  thế thì khoảng từ a

đến b được gọi là một khoảng tin cậy 100(1

-)% của 

 Lượng (1 - ) được gọi là độ tin cậy của

khoảng tin cậy ( nằm giữa 0 và 1)

 Trong các mẫu lặp lại của tổng thể, giá trị thực của

tham số  sẽ được chứa trong 100(1 - )% các khoảng được tính theo cách này

 Khoảng tin cậy được tính theo cách này được viết là

a <  < b với độ tin cậy 100(1 - )%.

Quy trình ước lượng

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-19

Độ tin cậy, (1-)

 Giả sử độ tin cậy = 95%

 Được viết là (1 - ) = 0,95

 Giải thích bằng tần số tương đối:

 Từ các mẫu lặp lại, 95% của tất cả các khoảng

tin cậy có thể được xây dựng sẽ chứa tham số thực chưa biết

 Một khoảng cụ thể sẽ chứa hoặc sẽ không

 Giá trị của hệ số độ tin cậy phụ thuộc vào

mức độ tin cậy mong muốn; hay

 ME: biên sai số là hệ số sai số (margin of error)

Ước lượng điểm  (Hệ số tin cậy)(Sai số chuẩn)

σ 2 chưa biết

Khoảng Tin cậy

Tỷ lệ Tổng thể

σ 2 đã biết

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-22

Khoảng tin cậy cho μ (σ 2 đã biết)

 Giả định

 Phương sai tổng thể σ 2 đã biết, trung bình chưa biết

 Tổng thể theo phân phối chuẩn

 Nếu tổng thể không chuẩn, dùng quy luật mẫu lớn

 Ước lượng một khoảng tin cậy 100(1 - )% of

của trung bình tổng thể:

Ta biết:

/

x Z n









Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-23

Khoảng tin cậy cho μ (σ 2 đã biết)

 Ước lượng khoảng tin cậy:

(trong đó z/2là giá trị của phân phối chuẩn có xác suất /2 ở mỗi

đuôi)

n

σ z x μ n

σ z

1 1

Biên sai số (Margin of Error)

 Khoảng tin cậy,

 Cũng có thể được viết

 Độ rộng của khoảng tin cậy , w, bằng 2 lần biên sai số

n

σ z x μ n

σ z

ME  α/2

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-25

Thu nhỏ ME

Biên sai số có thể được thu nhỏ nếu:

 Độ lệch chuẩn tổng thể có thể được giảm (σ↓)

 Cỡ mẫu tăng (n↑)

 Độ tin cậy giảm, (1 – ) ↓

n

σ z

 Tìm z 0,025 = 1,96 từ bảng phân phối chuẩn tắc

Những độ tin cậy phổ biến

 Những độ tin cậy thường được sử dụng là

90%, 95% và 99%

Confidence Level

Confidence Coefficient, Z /2value

1,28 1,645 1,96 2,33 2,58 3,08

0,80 0,90 0,95 0,98 0,99 0,998

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-28

chuẩn lớn có điện trở trung bình là 2,20

ohms Chúng ta biết từ thử nghiệm trước

đây rằng độ lệch chuẩn dân số là 0,35

ohms

 Xác định khoảng tin cậy 95% cho điện trở

trung bình thực của tổng thể các mạch.

2.4068 μ 1.9932

.2068 2.20

) 11 (.35/

1.96 2.20 n

σ z x

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-31

hay không nằm trong, 95% các khoảng

được xây dựng theo cách này sẽ chứa giá

trị trung bình thực

Ví dụ

 Thời gian mua sắm của khách hàng tại một

trung tâm mua sắm thường theo phân phối

chuẩn với  = 20 phút Một mẫu ngẫu nhiên

gồm 64 người mua hàng có thời gian trung bình

là 75 phút Thiết lập khoảng tin cậy 95% cho

Khoảng Tin cậy

Tỷ lệ tổng thể

σ 2 chưa biết

σ 2 đã biết

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-34

Phân phối t của Student

 Xem xét một mẫu ngẫu nhiên có n quan sát

 Có trung bình x và độ lệch chuẩn s

 Từ một tổng thể chuẩn có trung bình μ

 Thay thế độ lệch chuẩn tổng thể  bằng ước lượng

của nó s từ biến Z, vậy thì biến

theo phân phối t của Student có bậc tự do (n - 1)

n s/

μ x

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-35

 Nếu độ lệch chuẩn dân số chưa biết,

chúng ta có thể thay thế bằng độ lệch

chuẩn mẫu, s

 Điều này làm tăng thêm độ không chắc

chắn, vì s thay đổi từ mẫu này sang mẫu

khác

 Nên chúng ta dùng phân phối t thay vì

phân phối chuẩn

Khoảng tin cậy cho μ (σ 2 chưa biết)

 Giả định

 Độ lệch chuẩn dân số là chưa biết

 Tổng thể theo phân phối chuẩn

 Nếu tổng thể không chuẩn, sử dụng quy luật mẫu lớn

 Dùng phân phối t của Student

 Ước lượng khoảng tin cậy:

trong đó tn-1,α/2là giá trị tới hạn (critical value) của phân phối t có

S t

x  n - 1, α/2    n - 1, α/2

(continued)

α/2 ) t P(t  

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-37

Phân phối t của Student

 t là một họ của các phân phối

 Giá trị t phụ thuộc vào bậc tự do (d.f.)

 Số lượng quan sát tự do thay đổi sau khi tính trung bình mẫu

d.f = n - 1

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-38

Phân phối t của Student

t

0

t (df = 5)

t (df = 13) phân phối t có hình chuông

và đối xứng, nhưng có đuôi

đuôi dẹp hơn so với phân

phối chuẩn

Chuẩn tắc (t có df = ∞)

Lưu ý: t Z khi n tăng

Phân phối t của Student

 The t distribution is more dispersed since the

uncertainty caused by replacing the known

population standard deviation with its sample

estimator.

 As the d.f is large, the t distribution approaches

the standard normal distribution

 For large sample, the sample standard deviation is a

very precise estimator of the population standard deviation

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-40

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-41

Giá trị phân phối t

một mẫu ngẫu nhiên có n = 25 có x = 50 và

s = 8 Xây dựng khoảng tin cậy 95% cho μ

 d.f = n – 1 = 24, nên

Khoảng tin cậy là

2.0639 t

t n  1, α/2  24,.025 

53.302 μ

46.698

25

8 (2.0639) 50

μ 25

8 (2.0639) 50

n

S t x μ n

S t

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-43

Khoảng tin cậy

Population Mean

σ Unknown

Confidence Intervals

Population Proportion

σ Known

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-44

Khoảng tin cậy cho tỷ lệ

tổng thể, p

 Tỷ lệ sinh viên tiếp tục chương trình thạc sĩ

sau khi hoàn thành bằng cử nhân là bao

 Sử dụng phân phối nhị thức, đặt biểu thị tỷ

lệ thành công trong n thử nghiệm độc lập với

xác suất thành công P.

 Một ước lượng khoảng cho tỷ lệ tổng thể (P)

có thể được tính bằng cách bổ sung thêm

mức độ không chắc chắn cho sự không chắc

chắn của tỷ lệ mẫu ( ) pˆ

ˆp

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-46

Khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng

thể, p

 Hãy nhớ rằng đối với mẫu lớn, phân phối

biến ngẫu nhiên :

xấp xỉ phân phối chuẩn tắc, theo đó:

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-47

Khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng

thể, p

 Hãy nhớ rằng phân phối tỷ lệ mẫu xấp xỉ

chuẩn nếu cỡ mẫu lớn, với độ lệch chuẩn

 Chúng ta sẽ ước lượng tỷ lệ này bằng số liệu

mẫu:

(continued)

n ) p (1

p ˆ  ˆ

n

P) P(1

Điểm cuối khoảng tin cậy

 Cận trên và dưới của khoảng tin cậy đối với tỷ lệ

tổng thể được tính theo công thức

pˆ

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-49

Ví dụ

 Một mẫu ngẫu nhiên 100 người cho

thấy 25 người thuận tay trái.

 Xây dựng khoảng tin cậy 95% cho tỷ

lệ thực sự của người thuận tay trái.

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-50

Ví dụ

 Giải : khoảng tin cậy cần tìm

(continued)

0.3349 P

0.1651

100

.25(.75) 1.96

100

25 P 100

.25(.75) 1.96

100

25

n ) p (1 p z p P n ) p (1 p z

Ví dụ

 Một người quản lý muốn ước lượng tỷ lệ nhân

viên ủng hộ kế hoạch thưởng mới Từ một mẫu

ngẫu nhiên gồm 344 nhân viên, 261 người ủng

hộ Tìm khoảng tin cậy 90% của tỷ lệ thực.

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-52

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-53

PHStat Interval Options

options

Using PHStat (for μ, σ unknown)

A random sample of n = 25 has X = 50 and

S = 8 Form a 95% confidence interval for μ

Xác định cỡ mẫu: Tổng thể lớn

 Cỡ mẫu càng lớn, khoảng tin cậy càng hẹp.

 Giảm mức độ không chắc chắn về tham số được

ước lượng.

 Đôi khi, chiều rộng của CI được cố định trước,

cỡ mẫu sẽ được chọn đủ lớn để đảm bảo chiều

rộng đó.

 Làm như thế nào?

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-55

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 9-56

Xác định cỡ mẫu

Đối với trung bình

 Có thể tìm thấy cỡ mẫu yêu cầu để đạt đến biên

sai số mong muốn (ME) với mức độ tin cậy

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 9-58

Đối với trung bình

Xác định

cỡ mẫu

n

σ z

n

σ z

Margin of Error (sampling error)

Xác định cỡ mẫu

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 9-59

For the Mean

Determining Sample Size

n

σ z

ME  α/2

(continued)

2

2 2 α/2

ME

σ z

Now solve for n to get

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 9-61

Ví dụ về cỡ mẫu cần thiết

Nếu  = 45, cỡ mẫu nào là cần thiết để

ước tính giá trị trung bình trong khoảng ± 5

với độ tin cậy 90%?

(luôn làm tròn lên)

219.19 5

(45) (1.645) ME

σ z

Vì vậy, cỡ mẫu yêu cầu là n = 220

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 9-62

n

) p (1 p z

n

) p (1 p z

n 

Thay thế 0,25 cho

Và giải tìm n

(continued)

Xác định cỡ mẫu

n ) p (1 p z

p ˆ  ˆ

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 9-64

 Tỷ lệ mẫu và tổng thể, và P, thông thường

chưa biết (vì chưa có mẫu nào được lấy)

 P(1 – P) = 0,25 tạo ra biên sai số lớn nhất có

thể (do đó đảm bảo rằng cỡ mẫu kết quả sẽ

đáp ứng mức độ tin cậy mong muốn)

 Để xác định cỡ mẫu yêu cầu cho tỷ lệ, bạn

6) (0.25)(1.9 ME

z 0.25

2 2

2



Xác định cỡ mẫu: ví dụ

 Chiều dài của thanh kim loại được sản xuất bởi

một nhà máy theo phân phối chuẩn với  = 1,8

mm Giả sử rằng người quản lý sản xuất yêu

cầu CI 99% kéo dài không quá 0,5 mm ở mỗi

bên của giá trị trung bình của mẫu Cỡ mẫu lớn

thế nào là cần thiết?

 Giải: cỡ mẫu cần thiết:

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-67

0.01/2

2.576 1.8 86 0.5

z n ME



Xác định cỡ mẫu

 Việc lựa chọn cỡ mẫu đảm bảo rằng CI trải

rộng trong khoảng cách ME ở mỗi bên của giá

trị trung bình của mẫu.

 n nên là một số nguyên bằng cách làm tròn n được

tính từ công thức.

 Các quy trình tương tự có thể được áp dụng để

xác định kích thước mẫu cho các phân phối

khác.

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc Chap 8-68

Tóm tắt chương

 Giới thiệu khái niệm về khoảng tin cậy

 Thảo luận Ước lượng điểm

 Phát triển ước lượng khoảng tin cậy

 Tạo ước lượng khoảng tin cậy cho giá trị

trung bình (σ 2 đã biết)

 Giới thiệu phân phối t của Student

 Xác định các ước lượng khoảng tin cậy cho

giá trị trung bình (σ 2 chưa biết)

 Tạo ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ

 Xác định cỡ mẫu cần thiết