Bài 1: MỘT SỐ PHÂN PHỐI RỜI RẠC ĐẶC BIỆT.

Phân phối Bernoulli Phân phối nhị thức - Binomial Distribution Phân phối siêu bội - Hypergeometric Distribution Phân phối Poisson - Poisson Distribution Xấp xỉ giữa các luật phân phối -

Bài 1: Một số phân phối rời rạc đặc biệt

Vinh LươngUniversity of Economics and Finance vinhlx@uef.edu.vn

September 2018

Phân phối Bernoulli

Phân phối nhị thức - Binomial Distribution

Phân phối siêu bội - Hypergeometric Distribution

Phân phối Poisson - Poisson Distribution

Xấp xỉ giữa các luật phân phối - tham khảo

Phân phối Bernoulli

Phân phối nhị thức - Binomial Distribution

Phân phối siêu bội - Hypergeometric Distribution

Phân phối Poisson - Poisson Distribution

Xấp xỉ giữa các luật phân phối - tham khảo

Phân phối Bernoulli

I Tiến hành phép thử T và quan sát biến cố A có xảy ra hay không.(ví dụ: tung đồng xu và quan sát mặt ngửa xuất hiện)

I Xác suất xảy ra biến cố A là p với (0 < 𝑝 < 1)

I Gọi X là ĐLNN thể hiện "số lần biến cố A xuất hiện"

I Khi đó X có bảng phân phối xác suất là:

I X như vậy được gọi là có phân phối Bernoulli với tham số p

I Phép thử như trên còn được gọi là phép thử Bernoulli

I p thường được gọi là xác suất thành công của biến cố A

I Khi đó 𝑞 = (1 − 𝑝) là xác suất thất bại của biến cố A

Phân phối Bernoulli

Tính chất của phân phối Bernoulli:

1 𝑖𝑓 𝑞 < 𝑝

Phân phối Bernoulli

Example 1

Khảo sát thực tế cho thấy có khoảng 15% dân số là thuận tay trái Xétphép thử là chọn 1 người bất kì Gọi ĐLNN X là "số người thuận tayphải" của phép thử trên

Phân phối Bernoulli

Phân phối nhị thức - Binomial Distribution

Phân phối siêu bội - Hypergeometric Distribution

Phân phối Poisson - Poisson Distribution

Xấp xỉ giữa các luật phân phối - tham khảo

Phân phối nhị thức - Binomial Distribution

I Khi đó nếu gọi X là "Số lần biến cố A xảy ra" thì ĐLNN X sẽ

có phân phối nhị thức (Binomial Distribution)

Phân phối nhị thức - Binomial Distribution

Phân phối nhị thức - Binomial Distribution

Phân phối nhị thức - Binomial Distribution

Khi đó ĐLNN X sẽ tuân theo phân phối nhị thức: 𝑋 ∼ 𝐵(4; 0.2)

𝑀 𝑜𝑑(𝑋) là số nguyên thỏa điều kiện:

(𝑛 + 1)𝑝 − 1 ≤ 𝑀 𝑜𝑑(𝑋) ≤ (𝑛 + 1)𝑝(4 + 1) × 0.2 − 1 ≤ 𝑀 𝑜𝑑(𝑋) ≤ (4 + 1) × 0.2Suy ra số sản phẩm hỏng tin chắc nhất bằng 0 hoặc bằng 1

Chọn ngẫu nhiên 4 lá bài (chọn có hoàn lại) từ một bộ bài 52 lá Gọi

X là số lá hình trong 4 lá chọn ra Tìm xác suất:

a/ Có 2 lá hình

b/ Có không quá 2 lá hình

c/ Lập bảng phân phối xác suất của X

Exercise 3

Bài tập 4.49

Đề thi trắc nghiệm có 100 câu, mỗi câu có 5 câu trả lời, trong đó chỉ có

1 câu trả lời đúng Nếu trả lời đúng thì được 1 điểm, thí sinh thi đậu khiđiểm thi đạt từ 56 điểm trở lên Đối với một học sinh trung bình thì xácsuất chọn được câu trả lời đúng ở mỗi câu hỏi là 53%:

a) Tính XS để 1 học sinh trung bình đạt ít nhất 60 điểm

b) Tính XS để 1 học sinh trung bình đạt nhiều nhất 40 điểm

c) Tính XS để 1 học sinh trung bình thi đậu

d) Hãy tính số học sinh trung bình thi đậu tin chắc nhất trong số 600học sinh trung bình tham dự kỳ thi?

Exercise 4

Student Fees

A student government states that 80% of all students favor an increase

in student fees to subsidize a new recreational area A random sample ofn=25 students produced 15 in favor of increased fees What is the

probability that 15 or fewer in the sample would favor the issue if studentgovernment is correct? Do the data support the student government’sassertion, or does it appear that the percentage favoring an increase infees is less than 80% ?

Exercise 5

Cancer Survivor RatesThe 10-year survival rate for bladder cancer isapproximately 50% If 20 people who have bladder cancer are properlytreated for the disease, what is the probability that:

1 At least 1 will survive for 10 years?

2 At least 10 will survive for 10 years?

3 At least 15 will survive for 10 years?

Phân phối Bernoulli

Phân phối nhị thức - Binomial Distribution

Phân phối siêu bội - Hypergeometric Distribution

Phân phối Poisson - Poisson Distribution

Xấp xỉ giữa các luật phân phối - tham khảo

Phân phối siêu bội - Hypergeometric distribution

Definition

Xét tổng thể gồm 𝑁 phần tử trong đó có 𝑀 phần tử có tính chất ℘.Chọn không hoàn lại ngẫu nhiên 𝑛 phần tử và gọi 𝑋 là số phần tử cótính chất ℘ trong 𝑛 phần tử chọn ra, thì 𝑋 có phân phối siêu bội, kýhiệu 𝑋 ∼ 𝐻(𝑁, 𝑀, 𝑛)

I Miền giá trị: 𝑋(Ω) = {0, 1, ,min(𝑛, 𝑀 )}

𝑀𝐶𝑁 −𝑀𝑛−𝑥

𝐶𝑛 𝑁

I Lấy có hoàn lại thì xác suất lấy trước hay lấy sau là không thayđổi Ta có X tuân theo phân phối nhị thức 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝) với

Tham số đặc trưng của 𝑋 ∼ 𝐻(𝑁, 𝑀, 𝑛)

Tính chất của phân phối siêu bội:

I Kỳ vọng (giá trị trung bình):

𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑛𝑝với 𝑝 = 𝑀/𝑁

Example 4

Trong một lớp học có 24 nam và 12 nữ Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại

5 bạn bất kì Tính xác suất trong 5 bạn được chọn:

Example 5

Một hộp chứa 6 sản phẩm loại 1 và 4 sản phẩm loại 2 Chọn ngẫu nhiên

4 sản phẩm (không hoàn lại) Gọi X là số sản phẩm loại 1 trong số 4sản phẩm chọn ra

= 0.3810Tượng tự cho các giá trị khác, ta có bảng ppxs của X:

PX

Phân phối siêu bội

Chọn ngẫu nhiên 4 lá bài (không hoàn lại) từ một bộ bài 52 lá Gọi X

là số lá hình trong 4 lá chọn ra Tìm xác suất:

1 Có 2 lá hình

2 Có không quá 2 lá hình

3 Lập bảng phân phối xác suất của X

Exercise 8

Gender Bias?

A company has five applicants for two positions: two women and threemen Suppose that the five applicants are equally qualified and that nopreference is given for choosing either gender Let x equal the number ofwomen chosen to fill the two positions

1 Write the formula for p(x), the probability distribution of x

2 What are the mean and variance of this distribution?

3 Construct a probability histogram for x

Phân phối Bernoulli

Phân phối nhị thức - Binomial Distribution

Phân phối siêu bội - Hypergeometric Distribution

Phân phối Poisson - Poisson Distribution

Xấp xỉ giữa các luật phân phối - tham khảo

Ví dụ về phân phối poisson:

I Tại một trạm điện thoại công cộng, số liệu thống kê cho thấy trungbình trong 10 phút có 2 người sử dụng điện thoại

I Tính xác suất để trong 10 phút bất kỳ có đúng 4 người sử dụngđiện thoại

I Gọi X là số người sử dụng điện thoại trong 10 phút

I Poisson chứng minh X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận vô hạngiá trị 𝑋 = {0, 1, 2, 3, 4, } với xác suất xảy ra được tính bằngcông thức:

𝑃 (𝑋 = 𝑥) = 𝑓 (𝑥) = 𝜆

𝑥𝑥!𝑒

−𝜆 với 𝑥 = 0, 1, 2,

Với 𝜆 là giá trị trung bình (ở đây 𝜆 = 2 )

I 𝑃 (𝑋 = 4) = 2

44!𝑒

−2= 0.0902

Ví dụ về phân phối poission:

I Nếu ta tính cho các giá trị 𝑋 = {0, 1, 2, 3, 4, } thì sẽ có bảng phânphối xác suất như hình dưới

I Khi x càng lớn thì 𝑃 (𝑋 = 𝑥) −→ 0 ( khả năng xảy ra càng thấp )

Phân phối Poisson

Definition

X được gọi là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suấtPoisson với tham số 𝜆, khi X có thể nhận các giá trị 𝑋 = {0, 1, 2, }với xác suất được tính theo công thức:

𝑃 (𝑋 = 𝑥) = 𝑓 (𝑥) = 𝜆

𝑥𝑥!𝑒

Phân phối Poisson (đọc là “Poa-Sông”), do nhà toán học Pháp

Simeon-Denis Poisson (1781 - 1840) tìm ra, khi ông nghiên cứu về

phân phối nhị thức trong trường hợpsố lần thử 𝑛 rất lớn

Hình: Khi 𝑛 rất lớn : 𝐵(𝑛, 𝑝) −→ 𝑃 (𝜆 = 𝑛𝑝)

Tức là khi n lớn thì PP nhị thức sẽ xấp xỉ về PP Poisson Chúng ta sẽ

Phân phối Poisson

PP Poisson được sử dụng khá rộng rãi khi cần tính xs (hoặc ước lượng

số lần xảy ra) của 1 hiện tượng trong một khoảng không gian/thờigian nhất định (với điều kiện là ta đã biết được giá trị trung bình)

Ví dụ như sau:

I Số lần hỏng xe trong 1 tháng

I Số lỗi in sai trong một quyển sách

I Số lượng cá bị đánh bắt trên 1 hồ trong một ngày

I Số tai nạn giao thông trên một con đường trong một tháng

Example 6

Trên một con đường, thống kê cho thấytrung bình một tháng có 7.3 vụtai nạn giao thông Nếu gọi 𝑋 là "số vụ tai nạn trong một thángbất kỳ", thì 𝑋 ∼ 𝑃 (𝜆 = 7.3) Tính xs có đúng 1 tại nạn?

Example 7

Ở một bệnh viện phụ sản người ta thấy trung bình có 1.8 em bé đượcsinh ra trong 1 giờ Hãy tính:

1 Xs trong 1 giờ bất kì có đúng 4 em bé được sinh ra

2 Xs trong 1 giờ bất kì có nhiều hơn 1 em bé được sinh ra

−1.8 = 0.0723

𝑃 (𝑋 > 1) = 1 − 𝑃 (𝑋 ≤ 1) = 1 − [𝑃 (𝑋 = 0) + 𝑃 (𝑋 = 1)]

= 1 − 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛.𝐷𝑖𝑠𝑡(1, 1.8, 1) = 0.537

Phân phối Poisson

Ví dụ

Example 8

Top Cars là công ty chuyên cho thuê xe ô tô Họ có 4 xe để dùng chothuê hằng ngày Số lượng yêu cầu thuê xe tuân theo phân phối Poissonvới trung bình là 3 xe/ngày Hãy tính:

1 Xác suất không có xe nào được cho thuê

2 Xác suất có ít nhất 3 xe được thuê

3 Xác suất có yêu cầu thuê xe bị từ chối

I 𝑋: số xecho thuê mỗi ngày

I 𝑌 :số yêu cầuthuê xe mỗi ngày, 𝑌 ∼ 𝑃 (𝜆 = 3)

Tính chất của phân phối Poisson

Có 2 tính chất đặc biệt của PP Poisson

gian mà ĐLNN X vẫn tuân theo Poisson (nhưng 𝜆 thay đổi)

Nếu 𝑋1, 𝑋2, , 𝑋𝑛 là các ĐLNNđộc lập có phân phối Poisson vớicác tham số 𝜆1, 𝜆2, , 𝜆𝑛, thì 𝑆 = 𝑋1+ · · · 𝑋𝑛 cũng có phân phốiPoisson

Tức là: 𝑆 ∼ 𝑃 (𝜆) với 𝜆 = 𝜆1+ · · · 𝜆𝑛

Tính chất cộng của 2 PP Poisson

Example 9

Giả sử ở bệnh viện A ta thấy trung bình có 2.3 em bé được sinh ratrong 1 giờ, và ở bệnh viện B ta thấy trung bình có 3.1 em bé đượcsinh ra trong 1 giờ Tính xs trong 1 giờ có đúng 7 em bé được sinh ra

từ 2 bệnh viện trên

Giải:

I Gọi X là số em bé sinh ra trong 1 giờ của bệnh viện A

I Gọi Y là số em bé sinh ra trong 1 giờ của bệnh viện B

Thay đổi kích thước của khoảng không gian/thời gian

Example 10

Ở một bệnh viện phụ sản người ta thấy trung bình có 1.8 em bé đượcsinh ra trong 1 giờ Hãy tính xs để có đúng 5 em bé được sinh ratrong khoảng thời gian 2 giờ ?

Giải:

I Gọi Y là số em bé sinh ra trong 2 giờ

I Đề bài cho ta trung bình 𝜆 = 1.8 em bé sinh ra trong 1 giờ

I Suy ra có trung bình 𝜆*= 2𝜆 = 3.6 em bé sinh ra trong 2 giờ

I Gọi Y là số em bé sinh ra trong 2 giờ

I Khi đó 𝑌 ∼ 𝑃 (3.6)

I 𝑃 (𝑌 = 5) = 𝑃 𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛.𝐷𝑖𝑠𝑡(5, 3.6, 0) = 3.6

55! 𝑒

−3.6 = 0.1376

Phân phối Poisson

Exercise 11

Bài tập 4.43:

Một trạm du lịch có thuê xe để cho thuê lại Hàng ngày trạm phải trả500k/xe Mỗi chiếc xe được trạm cho khách hàng thuê lại với giá 960ngàn đồng một ngày Số yêu cầu thuê xe trung bình mỗi ngày là 3.2xe/ngày Trạm du lịch này quyết định thuê thường xuyên 3 xe để phục vụcho thuê lại khách hàng Gọi:

X là số yêu cầu thuê xe Biết rằng X là đại lượng ngẫu nhiên có quy luậtphân phối xác suất Poisson

Y là số xe được cho thuê lại

1 Tìm miền giá trị và Lập bảng phân phối xác suất của Y

2 Hãy tìm luật phân phối xác suất của số tiền lãi thu được trong mộtngày của trạm

3 Tính số tiền lãi trung bình trong 1 ngày

4 Nếu dựa vào số tiền lãi trung bình thu đuợc trong một ngày để quyếtđịnh thì hỏi trạm nên thuê thường xuyên 3 hay 4 xe?

Exercise 12

The number x of people entering the intensive care unit at a particularhospital on any one day has a Poisson probability distribution with meanequal to five persons per day

1 What is the probability that the number of people entering the

intensive care unit on a particular day is two? Less than or equal totwo?

2 Is it likely that x will exceed 10? Explain

Exercise 13

Increased research and discussion have focused on the number of illnessesinvolving the organism Escherichia coli(01257:H7), which causes abreakdown of red blood cells and intestinal hemorrhages in its victims.According to the Center for Disease Control, an estimated 73,000 cases

of E coli infection and 61 deaths occur in the United States each year A

2006 outbreak traced to wild pigs, who spread the bacteria into a spinachfield in California, sickened 204 people in 26 states and 1 Canadianprovince

Outbreaks have occurred at a rate of 2.5 per 100,000 Let us suppose thatthis rate has not changed

1 What is the probability that at most five cases of E.coliper 100,000are reported in California this year?

2 What is the probability that more than five cases of E coliare

reported in California this year?

3 Approximately 95% of occurrences of E coli involve at most howmany cases?

Phân phối Bernoulli

Phân phối nhị thức - Binomial Distribution

Phân phối siêu bội - Hypergeometric Distribution

Phân phối Poisson - Poisson Distribution

Xấp xỉ giữa các luật phân phối - tham khảo

Mô hình xấp xỉ

I Gọi X là số bóng đèn bị hỏng

I Do lấy không hoàn lại nên X tuân theo phân phối siêu bội

𝑋 ∼ 𝐻(𝑁, 3%𝑁, 100) với N là toàn bộ bóng đèn của nhà máy

I Do N không biết nên không thể dùng PP siêu bội để tính được

I Tuy nhiên, N là rất lớn nên ta có thể xấp xỉ PP siêu bội bằng PPnhị thức với 𝑝 = 0.03

I Tức là 𝑋 ∼ 𝐵(100, 0.03)

I Sử dụng Nhị thức và Excel để tính

I 𝑃 (𝑋 = 1) =

I 𝑃 (𝑋 = 2) =

−3= 0.0498

𝑃 (𝑋 > 5) = 1 − 𝑃 (𝑋 ≤ 5)

𝑃 (1 ≤ 𝑋 ≤ 3)

1 Zero watches will need warranty work.

2 No more than 5 watches will need warranty work

Gọi 𝑋 là số đồng hồ bị hư trong thời gian bảo hành (trong tổng số 1000đồng hồ công ty sản xuất), suy ra 𝑋 ∼ 𝐵(𝑛, 𝑝) với

I 𝑛 = 1000 đồng hồ;

I 𝑝 = xác suất 1 đồng hồ bị hư trong thời gian bảo hành = 0.002

Tính xấp xỉ bằng phân phối Poisson

1 Xác suất không có đồng hồ nào bị hỏng:

Exercise 14

Bài tập 4.44

Một máy sản xuất ra sản phẩm tự động với tỷ lệ phế phẩm là 0,1%.Công suất của máy là sản xuất được 2500 sản phẩm trong một ngày.Giả sử việc sản xuất 2500 sản phẩm trong một ngày này được xem như

2500 phép thử độc lập

a) Tính số phế phẩm trung bình có trong một ngày sản xuất của máy.b) Hãy tính xác suất để có không quá 3 phế phẩm trong 1 ngày sản xuấtcủa máy

c) Tính số phế phẩm tin chắc nhất trong một ngày sản xuất của máy

Exercise 15

Given that 5% of a population are left-handed, use the Poisson

distribution to estimate the probability that a random sample of 100people contains 2 or more left-handed people