Chuong-7-Phan-phoi-mau (1)

Trang 1

Phân phối của thống kê mẫu

Chương 7

Mục tiêu chương

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ có thể:

 Mô tả một mẫu ngẫu nhiên đơn giản và tại sao việc lấy

mẫu lại quan trọng

 Giải thích sự khác biệt giữa thống kê mô tả và suy luận

 Xác định khái niệm phân phối mẫu

 Xác định giá trị trung bình và độ lệch chuẩn cho phân

bố lấy mẫu của giá trị trung bình mẫu,

 Mô tả Định lý giới hạn trung tâm và tầm quan trọng của

nó

 Xác định giá trị trung bình và độ lệch chuẩn cho phân

bố mẫu của tỷ lệ mẫu,

 Mô tả phân phối mẫu của phương sai mẫu

pˆ

X

 Cốt lõi của thống kê là đưa ra những suy

luận về thống kê tổng thể từ dữ liệu mẫu

 Phân tích thống kê đòi hỏi một mẫu thích hợp

từ các đối tượng của tổng thể được quan tâm

 Các quan sát mẫu có thể được hiển thị là các

biến ngẫu nhiên nếu được chọn phù hợp.

Hiểu về phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên giúp

đưa ra kết luện về xác suất và suy luận

Giới thiệu

Trang 2

 Thống kê mô tả

Thu thập, trình bày và mô tả dữ liệu

 Thống kê suy luận

Rút ra kết luận và / hoặc đưa ra quyết định liên quan

đến tổng thể chỉ dựa trên dữ liệu mẫu

Các công cụ thống kê kinh doanh

 Một tổng thể là tập hợp của tất cả các đối tượng

hoặc cá thể mà ta quan tâm

 Ví dụ: Tất cả các cử tri tiềm năng trong cuộc bầu cử tiếp theo

Tất cả các bộ phận sản xuất ngày hôm nay Tất cả các hóa đơn bán hàng cho tháng Mười Một

 Một mẫu là một tập hợp con của tổng thể

 Ví dụ: 1000 cử tri được chọn ngẫu nhiên để phỏng vấn

Một vài phần được chọn để kiểm tra phá hủy Hóa đơn ngẫu nhiên được chọn để kiểm toánTổng thể và mẫu

Trang 3

Tại sao dùng mẫu?

 Điều hành ít tốn kém hơn so với điều tra tổng

thể

 Có thể thu được kết quả thống kê với độ

Chọn mẫu từ tổng thể

 Một tổng thể được tạo ra bởi một quá trình có

thể được mô hình hóa như một chuỗi các thí

nghiệm ngẫu nhiên

Một quy trình sản xuất tạo ra các piston động cơ với

sự thay đổi nhỏ của đường kính => đường kính của

piston được sản xuất được xem là biến ngẫu nhiên

Giá cổ phiếu, kết quả bán hàng của cửa hàng hàng

ngày từ quá trình phức tạp (thử nghiệm ngẫu nhiên)

=> kết quả là biến ngẫu nhiên

 Các tham số tổng thể được mô hình hóa như

biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất với trung

bình và phương sai chưa biết.

Mẫu ngẫu nhiên đơn giản

 Mọi đối tượng trong tổng thể đều có cơ hội được lựa

chọn như nhau

 Các đối tượng được chọn độc lập

 Các mẫu có thể được lấy từ một bảng các số ngẫu

nhiên hoặc các trình tạo số ngẫu nhiên của máy tính

 Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản là lý tưởng so với các

phương pháp chọn mẫu khác

Trang 4

 Rút ra kết luận về tổng thể từ việc nghiên

cứu kết quả của mẫu

(đã biết) Suy luận (chưa biết, nhưng có thể

được ước lượng từ dữ liệu mẫu)

Sample Population

Thống kê suy luận

Phân phối của

thống kê mẫu

cung cấp cơ sở

để suy luận

Thống kê suy luận

Phân phối mẫu

 Xem xét một mẫu ngẫu nhiên được chọn từ

một tổng thể để suy luận.

 Mỗi mẫu có các giá trị quan sát khác nhau, và

do đó, số liệu thống kê khác nhau.

 Phân phối mẫu là phân phối của tất cả các giá

trị có thể có của một thống kê cho một mẫu có

kích thước nhất định được chọn từ tổng thể

Trang 5

Cấu trúc của chương

Phân phối mẫu

Phân phối mẫu của phương sai mẫu

Phân phối mẫu của trung bình mẫu

Sampling Distributions

Sampling Distribution of Sample Variance

Phát triển một phân phối mẫu

 Giả sử có một tổng thể …

 Quy mô tổng thể N=4

 Biến ngẫu nhiên, X,

là tuổi của cá nhân

 Giá trị của X:

18, 20, 22, 24 (tuổi)

Trang 6

0,25

0

18 20 22 24

A B C DPhân phối đồng đều

P(x)

x

(continued)

Những chỉ tiêu mô tả của phân phốiTổng thể:

214

242220

μ)(Xσ

2 i

Bây giờ hãy xem xét tất cả các mẫu có thể, có

cỡ mẫu n = 2

1st 2nd Observation Obs 18 20 22 24

Trang 7

Những chỉ tiêu mô tả của phân phối MẪU:

(continued)

μ 21 16

24 21 19 18 N

X ) X

E(   i       

1.58 16

21) - (24 21)

(19 21) - (18 N μ) X ( σ

-2 2

2

2 i X

So sánh phân phối của tổng thể

với mẫu của nó

18 19 20 21 22 23 24

0 1 2 3 P(X)

1.58 σ 21

2.236 σ

Giá trị kỳ vọng của trung bình mẫu

 Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên n quan sát từ

một tổng thể lớn với trung bìnhvà phương sai2

 Cho X1, X2, Xnbiểu diễn các mẫu ngẫu nhiên từ một

X n 1 X

Trang 8

Giá trị kỳ vọng của trung bình mẫu

 Kỳ vọng của trung bình mẫu cũng chính là

trung bình tổng thể.

 Chứng mình:

 Khi số lượng mẫu lặp lại và độc lập trở nên rất

lớn, giá trị trung bình của trung bình mẫu tiến

Phương sai của trung bình mẫu

 Nếu tổng thể rất lớn so với cỡ mẫu, thì sự phân

phối của các quan sát trong mẫu ngẫu nhiên

độc lập riêng lẻ là như nhau:

 Phương sai củaX giảm khi cỡ mẫu tăng.

Sai số chuẩn của trung bình

 Các mẫu khác nhau có cùng cỡ mẫu từ cùng một tổng

thể sẽ tạo ra các trung bình mẫu khác nhau

 Một thước đo về độ sự biến động của giá trị trung bình

giữa các mẫu khác nhau được cho bởi Sai số chuẩn

của trung bình:

 Lưu ý rằng sai số chuẩn của giá trị trung bình giảm khi

kích thước mẫu tăng

n σ

σX 

Trang 9

Phương sai của trung bình mẫu

 Nếu cỡ mẫu, n, không nhỏ so với quy mô tổng

thể, các quan sát trong các mẫu riêng lẻ sẽ

không phân phối độc lập.

 Phương sai của trung bình mẫu sẽ được điều

 Nếu tổng thể là chuẩn với trung bình μ và độ

lệch chuẩn σ, phân phối mẫu của cũng theo

phân phối chuẩn với

 Chuyển đổi sang phân phối chuẩn tắc

 Giá trị Z cho phân phối mẫu của :

Trong đó: = trung bình mẫu

Trang 10

Điều chỉnh tổng thể hữu hạn

 Áp dụng Điều chỉnh tổng thể hữu hạn nếu:

một thành viên tổng thể không thể được bao gồm

nhiều lần trong một mẫu (lấy mẫu không thay thế) và

mẫu lớn so với tổng thể (n lớn hơn khoảng 5% N)

 Thế thì

hay

1NnNn

σ)XVar(

Phân phối mẫu chuẩn (có cùng trung bình)

Các thuộc tính của phân phối mẫu

Trang 11

Các thuộc tính của phân phối mẫu

 Đối với chọn mẫu có thay thế :

khi n tăng, giảm

Cỡ mẫu lớn hơn

Cỡ mẫu nhỏ hơn

Phân phối mẫu: Ví dụ

 Ví dụ: Phân phối lương của các nhà điều hành

Giả sử, dựa trên dữ liệu lịch sử, chúng ta tin rằng mức

tăng % lương hàng năm cho các giám đốc điều hành

theo phân phối chuẩn với mức trung bình là 12,2% và độ

lệch chuẩn là 3,6% Một mẫu ngẫu nhiên gồm 9 quan sát

được lấy từ tổng thể này và tính giá trị trung bình Xác

suất trung bình mẫu sẽ lớn hơn 14,4% là bao nhiêu?

Giải: ta có: = 12,2; = 3,6; n = 9

Gọi là giá trị trung bình của mẫu và tính sai số chuẩn

của giá trị trung bình của mẫu:

Xác suất cần tìm:

X

3,61,29

Trang 12

Nếu tổng thể không chuẩn

 Chúng ta có thể áp dụng Định lý giới hạn trung

tâm (CLT) :

Thậm chí nếu tổng thểkhông chuẩn,

…các trung bình mẫu từ tổng thểsẽ xấp xỉ chuẩn

x

Định lý giới hạn trung tâm

 Gọi X1, X2, …, Xnlà tập hợp n biến ngẫu nhiên

độc lập có cùng phân phối với trung bình  và

phương sai 2, và là trung bình mẫu của biến

ngẫu nhiên này.

 Khi n càng lớn, phân phối của Z với:

 CLT có thể được áp dụng cho cả biến rời rạc

Trang 13

Quy luật số lớn

 Cho trước một mẫu ngẫu nhiên có kích

thước n từ tổng thể,

 Giá trị trung bình mẫu sẽ tiến về trung bình

tổng thể khi n lớn, bất kể phân phối xác suất của biến.

 Khi n lớn, phương sai của trung bình mẫu sẽ

càng nhỏ, cuối cùng, bằng 0 => trung bình sẽ trở thành hằng số.

Cỡ mẫu nhỏ hơn

Nếu tổng thể không chuẩn

Cỡ mẫu lớn bao nhiêu thì đủ?

Quy ước

 Đối với hầu hết các phân phối, n > 25 sẽ cho

phân phối mẫu gần như chuẩn.

 Đối với phân phối tổng thể chuẩn, phân phối

mẫu của giá trị trung bình luôn theo phân phối chuẩn

Trang 14

Ví dụ

 Giả sử một tổng thể có trung bình μ = 8 và độ

lệch chuẩn σ = 3 Giả sử một mẫu ngẫu nhiên

có kích thước n = 36 được chọn

 Xác suất mà giá trị trung bình của mẫu nằm

trong khoảng từ 7,8 đến 8.2 là bao nhiêu?

Ví dụ

Giải:

 Ngay cả khi tổng thể không theo phân phối

chuẩn, định lý giới hạn trung tâm có thể được

μ

0.536

3n

3638-8.2nσμ-μ

3638-7.8P8.2)μ

Sampling Distribution

Standard Normal Distribution .1915

Trang 15

Ví dụ

Nghiên cứu tiếp thị cho cà phê Antelope

Antelope Coffee đang xem xét khả năng mở một quán cà

phê cho người sành ăn ở Big Rock, Montana Nghiên

cứu trước đây đã chỉ ra rằng các cửa hàng của nó sẽ

thành công ở các thành phố nếu thu nhập trung bình

hàng năm của các hộ trên 70.000 đô la Độ lệch chuẩn

của thu nhập được ước tính là 5.000 đô la ở Big Rock,

Montana

Một mẫu ngẫu nhiên gồm 36 người, và thu nhập trung

bình là $ 72.300 Mẫu này có cung cấp bằng chứng để

kết luận rằng một cửa hàng nên được mở không?

Ví dụ

Giải: Phân phối thu nhập được biết là lệch, nhưng CLT

cho phép chúng ta kết luận rằng giá trị trung bình mẫu

được phân phối chuẩn Để trả lời câu hỏi, chúng ta cần

xác định xác suất thu được một trung bình mẫu củax =

72.300 hay lớn hơn nếu trung bình tổng thể là 70.000

Đầu tiên, tính giá trị cho thống kê Z chuẩn hóa:

Từ bảng phân phối chuẩn tắc, ta thấy rằng xác suất để có

được giá trị Z là 2,76 hoặc lớn hơn là 0,0029 Bởi vì xác

suất này rất nhỏ, ta có thể kết luận rằng thu nhập trung

bình tổng thể có thể lớn hơn 70.000 => mở quán

73.200 70.000

2,765.000/ 36

Z  

Khoảng chấp nhận (Acceptance interval)

 Mục tiêu: xác định một khoảng giá trị trong đó

trung bình mẫu có khả năng xảy ra, cho trước

trung bình và phương sai tổng thể

Nếu giá trị trung bình của mẫu nằm trong khoảng

đó, chúng ta có thể chấp nhận kết luận rằng biến

ngẫu nhiên đến từ tổng thể với trung bình và

phương sai đã biết

Chúng ta có thể tính xác suất trung bình mẫu nằm

trong khoảng đó nếu giá trị trung bình có phân phối

gần chuẩn

Trang 16

Khoảng chấp nhận

 Theo CLT, chúng ta biết rằng phân phối của X

xấp xỉ chuẩn nếu n đủ lớn, với trung bình và độ

lệch chuẩn

 Gọi zα/2là giá trị z mà chừa ra diện tích α/2 ở

đuôi phải của phân phối chuẩn (tức là, khoảng

μ  

Pz  X  z   

Khoảng chấp nhận: Ví dụ

 Một người quản lý của một công ty bảo hiểm y

tế muốn theo dõi các khoản thanh toán yêu cầu

bảo hiểm hàng ngày để xác định xem yêu cầu

trung bình có ổn định hay không.

Dựa trên kinh nghiệm trong quá khứ, giá trị trung

bình của yêu cầu bồi thường là, = $6.000, và=

$2.000

Ông đã thu thập một mẫu ngẫu nhiên n = 100 yêu

cầu để tính giá trị trung bình của mẫu

Công ty thiết lập một khoảng tin cậy 95% để giám sát

các yêu cầu

Khoảng chấp nhận: Ví dụ

 Theo đó, khoảng thời gian chấp nhận sẽ là :

 Nếu giá trị trung bình của mẫu nằm trong phạm

vi (5.608-6.392), các khiếu nại không đi lệch

khỏi tiêu chuẩn lịch sử với xác suất 95%.

Kết luận này có thể sai với xác suất 0,05

2000

6000 1,96 6000 392

100

Trang 17

Phân phối mẫu của tỷ lệ mẫu

Sampling Distribution of Sample Variance

Phân phối mẫu của tỷ lệ mẫu

 Trong phân phối nhị thức, E(X) = nP biểu diễn

số lần thành công trong số n lần thử khi n đủ

lớn.

Thế thì, P biểu diễn tỷ lệ của số lần thành công

 Để mô tả phân phối này, chúng ta cần giá trị

 có phân phối nhị thức, nhưng theo CLT, có thể được

xem xấp xỉ với phân phối chuẩn, nếu

nP(1 – P) > 5

size sample

interest of stic characteri the having sample the in items of number n

X

P ˆ  

Pˆ

PˆPˆ

Trang 18

Tỷ lệ tổng thể

 Giá trị trung bình và phương sai của phân phối

mẫu của tỷ lệ mẫu, có thể thu được bằng:

ˆvar p p var X var X P P

Phân phối mẫu của P

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

p ) P E( ˆ 

n P) P(1 n

X Var

σ2 P

Pˆ

Giá trị Z cho các tỷ lệ

n P) P(1 P P σ

P P Z

Trang 19

Ví dụ

 Nếu tỷ lệ thực của cử tri ủng hộ Dự luật A

là P = 0,4 thì xác suất mẫu cỡ 200 mang

lại tỷ lệ mẫu trong khoảng từ 0,40 đến

.4).4(1n

P)P(1

1.44)ZP(0

.03464.40.45Z.03464.40.40P.45)PP(.40

Trang 20

Ví dụ

 Đánh giá hệ thống dây điện tại nhà:

Một mẫu ngẫu nhiên gồm 270 ngôi nhà từ một số lượng lớn các ngôi

nhà cũ để ước tính tỷ lệ các ngôi nhà có hệ thống dây điện không an

toàn Nếu trên thực tế, 20% nhà có hệ thống dây điện không an toàn,

xác suất tỷ lệ mẫu sẽ nằm trong khoảng từ 16% đến 24% là bao

Phân phối mẫu của phương sai mẫu

Phương sai mẫu

 Gọi x1, x2, , xnlà một mẫu ngẫu nhiên từ

một tổng thể Phương sai mẫu là

 căn bậc hai của phương sai mẫu được gọi là

độ lệch chuẩn mẫu

 phương sai mẫu là khác nhau đối với các mẫu

ngẫu nhiên khác nhau từ cùng một tổng thể

2 i

1 n 1 s

Trang 21

Phân phối mẫu của phương sai

mẫu

 Phân phối mẫu của s2có trung bình là σ2

 Nếu phân phối của tổng thể là chuẩn, thì

có phân phối2 (chi bình phương) với bậc tự do n – 1

2

2) σE(s 

1n

2σ)Var(s

4 2

Phân phối chi bình phương

 Phân phối chi bình phương với (n - 1) bậc tự do

(degree of freedom – d.f.) là phân phối của tổng

bình phương của (n - 1) biến ngẫu nhiên chuẩn

tắc độc lập.

Phân phối tổng thể của biến ngẫu nhiên X sẽ theo

phân phối chuẩn

Phân phối chi bình phương được xác định chỉ đối với

các giá trị dương, vì các phương sai đều dương

Phân phối chi bình phương

 Phân phối chi bình phương là một họ phân phối, tùy

Trang 22

Nếu giá trị trung bình của ba giá trị này là 8,0,

(2 giá trị có thể là bất kỳ số nào, nhưng số thứ ba phải xác định

đối với một giá trị trung bình cho trước)

Ý tưởng:Số lượng quan sát tự do thay đổi sau khi tính

trung bình mẫu

Ví dụ:Giả sử trung bình của 3 số là 8,0

Cho X1= 7 Cho X 2 = 8

X3là bao nhiêu?

Phân phối Chi bình phương: Tính chất

 Cho một biến ngẫu nhiên, 2

v, theo phân phối chi bình phương với v bậc tự do:

E   v

 2

var v  2 v

Xem chứngminh trong sáchgiáo trình

 Một tủ đông thương mại phải giữ nhiệt độ đã chọn

với ít biến động Thông số kỹ thuật yêu cầu độ

lệch chuẩn không quá 4 độ (phương sai 16 độ

bình phương)

 Một mẫu gồm 14 tủ đông được kiểm

tra

 Giới hạn trên (K) của phương sai

mẫu là bao nhiêu để xác suất vượt

quá giới hạn này, biết rằng độ lệch

chuẩn của tổng thể là 4, nhỏ hơn

0,05?

Trang 23

Tìm giá trị chi bình phương

 Sử dụng phân phối chi bình phương với diện tích

0,05 ở đuôi phải:

probability

α = 0,05

2 13

σ1)s(n



χ Theo phân phối chi bình phương với df(n – 1) = 13

0.0516

1)s(nPK)

13 2

n = 14)

1)(14)(22.36)(16





Nếu s 2 từ mẫu có cỡ mẫu n = 14 có phương sai lớn hơn 27,52,

có bằng chứng mạnh mẽ cho thấy phương sai tổng thể vượt quá

16.

or

 Tiêu chuẩn sản xuất của một thiết bị điện xác

định độ lệch chuẩn là 3,6 ohms Khu vực của

bạn được yêu cầu thiết lập một quy trình giám

sát chất lượng để kiểm tra sự biến đổi của điện

trở.

 Một mẫu ngẫu nhiên gồm 6 quan sát được thu

thập để tính toán phương sai mẫu Xác định

giới hạn trên cho s2sao cho xác suất vượt quá

giới hạn này (3,6) nhỏ hơn 0,05.

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	832,36 KB