Các tính chất và mô phỏng của phân phối rời rạc

Kiến thức cơ sở

Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân phối đại lượng ngẫu nhiên

1.2.1: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Định nghĩa 1.2.1

Cho không gian xác suất (Ω, 𝒜, 𝑃) Đại lượng ngẫu nhiên là hàm đo được từ Ω vào ℝ

SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 12 Định lý 1.2.1 i Nếu 𝑋, 𝑌 là các ĐLNN trên (Ω, 𝒜, 𝑃); 𝑎, 𝑏 là các hằng số thực thì

Y (Y ≠ 0); max (𝑋, 𝑌) ; min (𝑋, 𝑌) cũng là các ĐLNN trên (Ω, 𝒜, 𝑃) ii Nếu X là ĐLNN trên (Ω, 𝒜, 𝑃), 𝑔 là hàm đo được trên R thì 𝑔 𝑜 𝑋 là ĐLNN trên (Ω, 𝒜, 𝑃)

1.2.2: HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN: Định nghĩa 1.2.2 Trong không gian xác suất (Ω, 𝒜, 𝑃) cho ĐLNN X Ta gọi hàm thực F(x) được xác định bởi hệ thức : F(x) = P(X< x), 𝑥 ∈R ((𝑋 < 𝑥) { 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝑋(𝜔) < 𝑥}) là hàm phân phối của X

Tính chất 1.2.2 i 0 ≤ 𝐹(𝑥) ≤ 1 ; ∀𝑥 ∈ 𝑅 ii Nếu 𝑥 1 ≤ 𝑥 2 thì 𝐹(𝑥 1 ) ≤ 𝐹(𝑥 2 ) iii lim x 𝐹(𝑥) = 1, lim x 𝐹(𝑥) = 0 iv F(x) liên tục trái trên R

Chứng minh: i Theo tính chất xác suất : 0 ≤ 𝑃(𝑥) ≤ 1 mà F(x)= P(X< x) nên suy ra

SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 13

𝐶 𝑛 = {𝑥 𝑛 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥 0 } nên 𝐶 𝑛 ⊃ 𝐶 𝑛+1 ⊃ ⋯ và ⋂ 𝑛≥1 𝐶 𝑛 = ∅ (1) Chứng minh (1): Giả sử ∃𝜔 ∈ ⋂ 𝑛≥1 𝐶 𝑛 thì 𝜔 ∈ 𝐶 𝑛 với mọi 𝑛

⇔ 𝐹(𝑥 0 ) = 𝐹(𝑥 0 − ) Vậy F(x) liên tục trái tại 𝑥 0

- Hàm phân phối 𝐹 𝑋 (𝑥) được gọi rời rạc nếu nó có dạng: 𝐹(𝑥) : i i i x x p

  trong đó 𝑝 𝑖 > 0, ∑ 𝑝 𝑖 𝑖 = 1 và 𝑆 = {𝑥 𝑖 : 1 ≤ 𝑖 ≤ ∞} là tập con không quá đếm được của R

- Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối rời rạc khi và chỉ khi có một tập 𝑆 {𝑥 𝑖 : 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ≤ ∞} hữu hạn hoặc đếm được sao cho 𝑃[𝑋 ∈ 𝑆] = 1 Nếu đặt

𝑝 𝑖 = 𝑃[𝑋 = 𝑥 𝑖 ]; ∀𝑖 ≥ 1 thì rõ ràng ta có:

- Bảng phân phối xác suất của X

1.2.4: PHÂN PHỐI CỦA HÀM ĐLNN

Giả sử X là ĐLNN với hàm phân phối 𝐹 𝑋 (𝑥) và h(x) là hàm Borel Khi đó hàm phân phối của Y = h(X) là

 Nếu h tăng và có hàm ngược thì

Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

1.3: CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA ĐLNN RỜI RẠC

1.3.1: KÌ VỌNG Định nghĩa 1.3.1 Cho X là ĐLNN rời rạc với miền giá trị {𝑥 𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼}

  hội tụ tuyệt đối thì giá trị 𝐸(𝑋)

  được gọi là kì vọng toán của X

Tính chất của phép toán kỳ vọng trong xác suất bao gồm các điểm chính sau: (i) EX là một phiếm hàm tuyến tính trên tập hợp các biến ngẫu nhiên rời rạc (ii) Giá trị kỳ vọng của một hằng số c là chính nó, tức là E(c) = c (iii) Nếu X ≥ 0 thì E(X) cũng phải lớn hơn hoặc bằng 0; và nếu X ≤ Y thì E(X) ≤ E(Y) (iv) Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên I_A là xác suất của A, cho mọi A thuộc tập 𝒜 (v) Đối với một dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc (X_n), nếu giới hạn trên của X_n tiến tới X (và giới hạn dưới cũng vậy), thì giới hạn trên của E(X_n) sẽ tiến tới E(X) (và giới hạn dưới cũng tương tự) (vi) Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập và kỳ vọng của chúng tồn tại, thì E(XY) = E(X)E(Y).

* Ý nghĩa của kì vọng toán : Đặc trưng cho giá trị trung bình của các giá trị của X

1.3.2 : PHƯƠNG SAI Định nghĩa 1.3.2 Giả sử X là ĐLNN có kì vọng EX, nếu tồn tại 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋) 2 thì ta nói đó là phương sai của X

- 𝜎(𝑋) = √𝐷(𝑋) được gọi là độ lệch quân phương của X hoặc độ lệch chuẩn của X

- Với 𝑘 ∈ 𝑁 trong điều kiện tồn tại, ta gọi 𝑚 𝑘 = 𝐸(𝑋 𝑘 )là momen bậc k của

- 𝜇 𝑘 = 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋) 𝑘 được gọi là momen quy tâm bậc k của X

Tính chất 1.3.2 i (BĐT Chebyshev) Nếu 𝐷(𝑋) < +∞ lúc đó ∀𝜀 > 0 ta có:

𝜀 2 ii D(c)=0 ; c = const iii Nếu D(X) = 0 thì 𝑋 = 𝐸𝑋 hầu khắp nơi iv 𝐷(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸𝑋) 2 v 𝐷(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎 2 𝐷(𝑋) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 vi Nếu {𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑛 } là ĐLNN độc lập có phương sai hữu hạn thì

Phương sai là chỉ số đo lường độ phân tán của đại lượng ngẫu nhiên X so với giá trị kỳ vọng Khi phương sai nhỏ, điều này cho thấy độ phân tán của dữ liệu cũng giảm theo.

1.3.3: TRUNG VỊ (Mêdian) Định nghĩa 1.3.3 Giả sử X là ĐLNN; Med(X) được gọi là trung vị của

 X có thể có 1 hay nhiều trung vị

 Med(X) là điểm phân đôi khối lượng xác suất thành hai phần bằng nhau

1.3.4: MODE Định nghĩa 1.3.4 Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ f(x), ta gọi điểm cực đại của f(x) là mode của X Kí hiệu là Mod(X)

1.3.5: PHÂN VỊ CẤP P Định nghĩa 1.3.5 𝑥 𝑝 được gọi là phân vị cấp p của phân phối F(x) nếu :

 Ví dụ: Cho X có phân phối

Các phân phối rời rạc dùng trong xác suất thống kê

Phân phối nhị thức

Định nghĩa 2.1.1 Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức tham số 𝑛, 𝑝 nếu : Im(X)= {0;1;2 n} và có xác suất 𝑃[𝑋 = 𝑘] = 𝐶 𝑛 𝑘 𝑝 𝑘 (1 − 𝑝) 𝑛−𝑘 với k = 0, 𝑛; 0 < 𝑝 < 1

 Bảng phân phối xác suất của X có dạng

Trong khai triển nhị thức Newton, xác suất 𝑃(𝑋 = 𝑘) được tính bằng công thức 𝑃 𝑘 = 𝐶 𝑛 𝑘 𝑝 𝑘 (1 − 𝑝) 𝑛−𝑘 Theo định lý 2.1.1, nếu 𝑋 1, 𝑋 2, …, 𝑋 𝑛 là các biến ngẫu nhiên độc lập với phân phối 𝑋 𝑖 ~𝐵(𝑛 𝑖, 𝑝) cho 𝑖 = 1, …, 𝑛, thì tổng của chúng sẽ có phân phối 𝐵(𝑛 1 + 𝑛 2 + ⋯ + 𝑛 𝑛; 𝑝).

 Với n = 1 Ta có 𝑋 1 ~𝐵(𝑛 1 , 𝑝) hiển nhiên

Theo giả thiết 𝑋 1 ; 𝑋 2 là các ĐLNN độc lập,

*Xét tương tự với n ĐLNN độc lập ta có (𝑋 1 + 𝑋 2 + 𝑋 3 + ⋯ +

Vậy (𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 , … , 𝑋 𝑛 ) là ĐLNN độc lập ; 𝑋 𝑖 ~𝐵(𝑛 𝑖 , 𝑝), i=1,2,…,n thì tổng hữu hạn của chúng có phân phối 𝐵(𝑛 1 + 𝑛 2 + ⋯ + 𝑛 𝑛 ; 𝑝) Định lý 2.1.2 Các tham số đặc trưng

X có phân phối nhị thức với tham số 𝑛, 𝑝 khi đó:

1 Gọi 𝑋 𝑖 là số lần thành công trong phép thử thứ i; i=1,2,…,n trong dãy n phép thử Becnoulli thì 𝑋 𝑖 là ĐLNN có bảng phân phối xác suất là:

Ta có (𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 , … , 𝑋 𝑛 ) là ĐLNN độc lập với nhau

SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 21 Định lý 2.1.3 Giả sử X là số thành công trong n phép thử Bernoulli với xác suất thành công p, không quá gần 0 và 1, 𝑥 𝑘 = k np npq

 bị chặn đều Khi đó :

Từ định lý trên ta có công thức tính gần đúng

Chứng minh Sử dụng công thức Stirling ln(𝑛!) = ln√2𝜋𝑛 + 𝑛 ln 𝑛 − 𝑛 + 𝑜( 1

𝑛) (4) Để khai triển tiệm cận hệ số nhị thức trong: 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝐶 𝑛 𝑘 𝑝 𝑘 𝑞 𝑛−𝑘 với 𝑞 = 1 − 𝑝 (5)

Ta có: 𝑥 𝑘 = k np npq  ⇒ 𝑘 = 𝑛𝑝 + 𝑥 𝑘 √𝑛𝑝𝑞 và 𝑛 − 𝑘 = 𝑛𝑞 − 𝑥 𝑘 √𝑛𝑝𝑞 Từ đó và (4) ta thu được ln(𝑘!) = ln√2𝜋𝑘 + (𝑛𝑝 + 𝑥 𝑘 √𝑛𝑝𝑞) ln(𝑛𝑝 + 𝑥𝑘 √𝑛𝑝𝑞) − 𝑛𝑝 − 𝑥𝑘 √𝑛𝑝𝑞 + 𝑜 (1 𝑛) (6) ln((𝑛 − 𝑘) !) = ln√2𝜋(𝑛 − 𝑘) + (𝑛𝑞 − 𝑥 𝑘 √𝑛𝑝𝑞) ln(𝑛𝑞 − 𝑥 𝑘 √𝑛𝑝𝑞) − 𝑛𝑞 + 𝑥𝑘 √𝑛𝑝𝑞 + 𝑜 ( 1 𝑛 ) (7)

Sử dụng công thức : ln(1 − 𝑥) = 𝑥 − 𝑥 2

SVTH: TRẦN THỊ HIỀN Trang 22 ln(𝑛𝑝 + 𝑥 𝑘 √𝑛𝑝𝑞) = ln(𝑛𝑝) + ln (1 + 𝑥𝑘 √ 𝑞

   ln  nq  x k npq   ln( nq ) ln(1   x k nq p )

Từ (4) đến (8) ta suy ra kết luận của định lý Định lý 2.1.4 (Định lí giới hạn tích phân Moivre-Laplace)

Giả sử X là số thành công trong n phép thử Bernoulli với xác suất thành công 𝑝, không quá gần 0 và 1 khi đó :

   được gọi là hàm Laplace Định lý này cho ta công thức xấp xỉ

Phân phối Poison

Định nghĩa 2.2.1 Giả sử 𝜆 là một số thực dương, ta nói X là ĐLNN có phân phối Poisson với tham số 𝜆 nếu: Im(X)= {0;1;2;… } và

Rõ ràng hệ xác suất 𝑃 𝑘 = 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑘

𝑘=0 e −λ e λ = 1 Định lý 2.2.1 Nếu 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 , … , 𝑋 𝑛 là ĐLNN độc lập với nhau và 𝑋 𝑖 ∼ 𝑃(𝜆 𝑖 ); 𝜆 𝑖 > 0 ∀𝑖 = 1, 𝑛 thì tổng hữu hạn ĐLNN độc lập có phân phối 𝑃(𝜆 1 + 𝜆 2 + ⋯ + 𝜆 𝑛 )

 Tương tự với n ĐLNN độc lập ta cũng có (𝑋 1 + 𝑋 2 + 𝑋 3 + ⋯ + 𝑋 𝑛 )

Cho 𝑋 1 ; 𝑋 2 là ĐLNN độc lập ; 𝑋 1 ~𝑃(𝜆 1 ); 𝑋 2 ~𝑃(𝜆 2 ) ; 𝜆 1 ; 𝜆 2 > 0 thì

X với điều kiện 𝑋 1 + 𝑋 2 = 𝑛 là phân phối 𝐵 (𝑛, 𝜆 1

Theo công thức xác suất điều kiện ta có

Mà X 1 + X 2 ~𝑃(𝜆 1 + 𝜆 2 ) (chứng minh trên) nên ta có:

𝑛! (11) Thay (10) và (11) vào (9) ta được:

Vậy phân phối của 𝑋 1 với điều kiện 𝑋 1 + 𝑋 2 = 𝑛 là phân phối nhị thức với 𝑝 = 𝜆 1

(𝜆 1 +𝜆 2 ) Định lý 2.2.3 Các tham số đặc trưng của phân phối Poisson

Nếu ĐLNN X có phân phối poisson với tham số 𝜆 > 0, thì :

= 𝜆 + 𝜆 Vậy 𝐷(𝑋) = 𝜆 2 + 𝜆 − 𝜆 2 = 𝜆 Định lý 2.2.4 Định lí Poisson

Cho X∼B(n,𝑝 𝑛 ) Khi 𝑛 → ∞, 𝑝 𝑛 → 0 , 𝑛𝑝 𝑛 = 𝜆 (const) thì n→∞lim 𝑃 𝑛 (𝑘) = 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑘

𝑘! Định lý poisson cho ta công thức xấp xỉ:

𝑘! Định lý 2.2.5 Cho 𝑋 𝑖 ~𝐵(1; 𝑝); 𝑋 𝑖 độc lập 𝑆 𝑛 = 𝑋 1 + ⋯ + 𝑋 𝑛 ;

Vậy 𝑆 𝜏 = 𝑋 1 + ⋯ + 𝑋 𝜏 ~𝑃(𝜆𝑝) Định lý 2.2.6 Cho 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝); 𝑌~𝑃(𝜆), với 𝜆 = 𝑝

Phân phối siêu hình học

Định nghĩa 2.3.1 ĐLNN X được gọi là có phân phối siêu hình học với tham số N,M,n với M

Tiêu đề	Các Tính Chất Và Mô Phỏng Của Phân Phối Rời Rạc
Tác giả	Trần Thị Hiền
Người hướng dẫn	Th.S Tôn Thất Tú
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng
Chuyên ngành	Sư Phạm Toán
Thể loại	luận văn tốt nghiệp
Năm xuất bản	2013
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	38
Dung lượng	1,11 MB