Các tính chất và mô phỏng của phân phối rời rạc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN CÁC TÍNH CHẤT VÀ MÔ PHỎNG CỦA PHÂN PHỐI RỜI RẠC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP SVTH : TRẦN THỊ HIỀN.. Do đó việc nghiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

CÁC TÍNH CHẤT VÀ MÔ PHỎNG CỦA PHÂN PHỐI

RỜI RẠC LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

SVTH : TRẦN THỊ HIỀN

LỚP : 09ST

Chuyên ngành: SƯ PHẠM TOÁN

Giáo viên hướng dẫn: Th.S TÔN THẤT TÚ

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn em xin gởi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn Th.S Tôn Thất Tú đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện để em có thể hoàn thành được luận văn này

Em cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình dạy bảo em trong suốt thời gian em học tập tại khoa

Đồng thời cũng xin gởi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp 09ST đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Trong quá trình làm luận văn, được sự giúp đỡ nhiệt tình của nhà trường, của thầy giáo hướng dẫn, em đã cố gắng hoàn thành luận văn nhưng

vì thời gian có hạn, kiến thức chưa đủ rộng và sâu sắc nên không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của các thầy

cô giáo và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn !

Đà Nẵng, ngày 15 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Trần Thị Hiền

MỤC LỤC

Lời nói đầu 5

Chương 1: Kiến thức cơ sở 7

1.1: Kiến thức cơ sơ về xác suất 7

1.1.1: Định nghĩa xác suất 7

1.1.2: Xác suất có điều kiện 9

1.1.3: Công thức xác suất đầy đủ và Bayes 10

1.2: Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân phối đại lượng ngẫu nhiên 11

1.2.1: Đại lượng ngẫu nhiên 11

1.2.2: Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 12

1.2.3: Phân phối rời rạc 14

1.2.4: Phân phối của hàm đại lượng ngẫu nhiên 14

1.3: Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 15

1.3.1: Kì vọng 15

1.3.2: Phương sai 15

1.3.3: Trung vị 16

1.3.4: Mode 17

1.3.5: Phân vị cấp 17

Chương II: Các phân phối rời rạc dùng trong xác suất thống kê 18

2.1: Phân phối nhị thức 18

2.2: Phân phối Poison 23

2.3: Phân phối siêu hình học 31

2.4: Phân phối Pascal 32

2.5: Mô phỏng các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 34

2.5.1: Mô phỏng phân phối nhị thức 35

2.5.2: Mô phỏng phân phối Poisson 36

2.5.3: Mô phỏng phân phối Pascal 36

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

LỜI NÓI ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Lý thuyết xác suất ra đời vào nửa cuối thế kỷ thứ 17 ở nước Pháp Hai nhà toán học vĩ đại của nước pháp là Blaise Pascal (1623-1662) và Pierre de Fermat (1601-1665) đã trao đổi thư từ với nhau bàn về một số bài toán liên quan đến trò chơi may rủi Những bài toán này và các phương pháp giải chúng có thể xem là những nghiên cứu đầu tiên của lý thuyết xác suất

Lý thuyết xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và tìm ra những qui luật của các hiện tượng này

Luật phân phối rất quan trọng trong lý thuyết xác suất và ứng dụng thống kê

Nhiều hiện tượng trong cuộc sống được phản ánh bởi các mô hình toán học Chẳng hạn như phân phối Poisson phản ánh phân phối số cuộc gọi đến tổng đài, số bức điện được đánh đi từ một trạm điện thoại, số khách hàng đến rút tiền từ một ngân hàng… ; phân phối nhị thức được sử dụng trong các phép đếm Do đó việc nghiên cứu các tính chất của luật phân phối rời rạc sẽ giúp ta hiểu rõ hơn về các mô hình này

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

Đối tượng nghiên cứu ở đây là các phân phối xác suất rời rạc Ta biết rằng phân phối xác suất có phạm vi tác động rất lớn và trở nên phổ biến trong

Trong lý thuyết xác suất thống kê, luật phân phối là nền tảng của các phân tích thống kê và là mô hình cho nhiều bài xác suất khác Phạm vi nghiên cứu của luận văn này chỉ đi sâu tìm hiểu các tính chất của các luật phân phối rời rạc và trên những tính chất này tìm hiểu các phương pháp mô phỏng phân phối đó

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Luận văn được nghiên cứu dựa trên phương pháp sử dụng biến đổi giải tích kết hợp với các tính chất của phân phối rời rạc

5 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI:

- Nghiên cứu các tính chất của các phân phối xác suất và đưa ra các ví dụ minh họa nhằm làm rõ hơn các tính chất này

- Đi sâu và mở rộng một số tính chất của một vài phân phối xác suất

- Luận văn là một tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên về những kiến thức liên quan đến phân phối xác suất trong quá trình học tập bộ môn xác suất thống kê

6 CẤU TRÚC LUẬN VĂN:

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Trong chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến nội dung chính của luận văn Bao gồm: Định nghĩa xác suất; Xác suất có điều kiện; Công thức xác suất đầy đủ và Bayes Giới thiệu về phân phối và các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên

Chương 2: Đây là nội dung chính của luận văn Trong chương này em nghiên cứu về: Tính chất của phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối Pascal, phân phối siêu hình học Đồng thời trình bày về phương pháp mô phỏng phân phối rời rạc thường dùng trong xác suất.(Phân phối nhị thức; Phân phối Poisson; Phân phối Pascal)

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ XÁC SUẤT

1.1.1: Định nghĩa xác suất

Định nghĩa 1.1.1

Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển: Nếu A là biến cố có n(A)

biến cố sơ cấp thích hợp với nó trong một không gian biến cố sơ cấp gồm n(Ω) biến cố cùng khả năng thì P(A)=𝑛(𝐴)

n(Ω) là xác suất A

Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học: Giả sử một điểm được

rơi ngẫu nhiên vào một miền D, A là một miền con của D Khi đó xác suất để điểm rơi ngẫu nhiên vào miền A được xác định bởi công thức:

Định lý 1.1.2 (Ω, 𝒜, 𝑃) và họ {𝐴𝑛}𝑛≥1 các biến cố ngẫu nhiên

→ 0

1.1.2: XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Định nghĩa 1.1.2 Xét không gian xác suất (Ω, 𝒜, 𝑃)

Giả sử A, B là biến cố ngẫu nhiên có 𝑃(𝐵) > 0, 𝐴 ∈ 𝒜 Giá trị

Từ định nghĩa một số điều sau đây là hiển nhiên:

Định lý 1.1.3 ( Công thức nhân xác suất)

Giả sử 𝐴, 𝐵 là biến cố ngẫu nhiên có 𝑃(𝐴) > 0; 𝑃(𝐵) > 0; 𝐴 ∈ 𝒜 Khi đó:

i 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴\𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵\𝐴)

ii 𝑃(𝐴1𝐴2… 𝐴𝑛) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2\𝐴1)𝑃(𝐴3\𝐴1𝐴2) … 𝑃(𝐴𝑛\

𝐴1𝐴2… 𝐴𝑛−1) với điều kiện 𝑃(𝐴1𝐴2… 𝐴𝑛−1) > 0

Chứng minh

i Hiển nhiên Suy ra từ công thức xác suất có điều kiện

ii Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp

Giả sử công thức đúng với 𝑛 = 𝑘, phải chứng minh đúng với 𝑛 = 𝑘 + 1

1.1.3: CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ BAYES

Định nghĩa 1.1.3 Hệ các biến cố {𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛} gọi là hệ đầy đủ nếu:

- 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅ với mọi 𝑖 ≠ 𝑗

- 𝐵1∪ 𝐵2∪ … ∪ 𝐵𝑛 = Ω

Định lý 1.1.4 (Công thức xác suất toàn phần)

Giả sử {𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛} là hệ đầy đủ các biến cố với 𝑃(𝐵𝑘) > 0 với mọi

k Khi đó với biến cố ∀𝐴 ∈ 𝒜 ta có 𝑃(𝐴) = ∑𝑛𝑖=1𝑃(𝐵𝑖)𝑃(𝐴\𝐵𝑖)

Định lý 1.2.1

i Nếu 𝑋, 𝑌 là các ĐLNN trên (Ω, 𝒜, 𝑃); 𝑎, 𝑏 là các hằng số thực thì

𝑎𝑋 + 𝑏𝑌; 𝑋 − 𝑌; X

Y (Y ≠ 0); max (𝑋, 𝑌) ; min (𝑋, 𝑌) cũng là các ĐLNN trên (Ω, 𝒜, 𝑃)

ii Nếu X là ĐLNN trên (Ω, 𝒜, 𝑃), 𝑔 là hàm đo được trên R thì 𝑔𝑜𝑋 là

ĐLNN trên (Ω, 𝒜, 𝑃)

1.2.2: HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN:

Định nghĩa 1.2.2 Trong không gian xác suất (Ω, 𝒜, 𝑃) cho ĐLNN X Ta gọi

hàm thực F(x) được xác định bởi hệ thức : F(x) = P(X< x), 𝑥 ∈R ((𝑋 < 𝑥) = { 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝑋(𝜔) < 𝑥}) là hàm phân phối của X

⇒ 𝑃(X < 𝑥1) ≤ 𝑃(X < 𝑥2)

Đặt:

𝐶𝑛 = {𝑥𝑛 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥0} nên 𝐶𝑛 ⊃ 𝐶𝑛+1 ⊃ ⋯ và ⋂𝑛≥1𝐶𝑛 = ∅ (1) Chứng minh (1): Giả sử ∃𝜔 ∈ ⋂𝑛≥1𝐶𝑛thì 𝜔 ∈ 𝐶𝑛 với mọi 𝑛

1.2.3: PHÂN PHỐI RỜI RẠC

- Hàm phân phối 𝐹𝑋(𝑥) được gọi rời rạc nếu nó có dạng: 𝐹(𝑥) =

1.2.4: PHÂN PHỐI CỦA HÀM ĐLNN

Giả sử X là ĐLNN với hàm phân phối 𝐹𝑋(𝑥) và h(x) là hàm Borel Khi

đó hàm phân phối của Y = h(X) là

 được gọi là kì vọng toán của X

Kí hiệu: E(X), EX, M(X)

Tính chất 1.3.1

i EX là phiếm hàm tuyến tính trên tập các ĐLNN rời rạc

ii 𝐸(𝑐) = 𝑐, c là hằng số

iii 𝑋 ≥ 0 ⇒ 𝐸𝑋 ≥ 0; 𝑋 ≤ 𝑌 ⇒ 𝐸𝑋 ≤ 𝐸𝑌

iv 𝐸(𝐼𝐴) = 𝑃(𝐴), với mọi 𝐴 ∈ 𝒜

v Nếu (𝑋𝑛) là dãy các ĐLNN rời rạc và nếu lim↑ 𝑋𝑛 = 𝑋 ( lim↓ 𝑋𝑛 = 𝑋) thì lim↑ 𝐸𝑋𝑛 = 𝐸𝑋 (lim↓ 𝐸𝑋𝑛 = 𝐸𝑋)

vi Nếu X,Y là ĐLNN độc lập và 𝐸𝑋, 𝐸𝑌 tồn tại thì 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌)

* Ý nghĩa của kì vọng toán: Đặc trưng cho giá trị trung bình của các giá trị

của X

1.3.2 : PHƯƠNG SAI

Định nghĩa 1.3.2 Giả sử X là ĐLNN có kì vọng EX, nếu tồn tại 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋)2

thì ta nói đó là phương sai của X

- 𝜎(𝑋) = √𝐷(𝑋) được gọi là độ lệch quân phương của X hoặc độ lệch chuẩn của X

- Với 𝑘 ∈ 𝑁 trong điều kiện tồn tại, ta gọi 𝑚𝑘 = 𝐸(𝑋𝑘)là momen bậc k của

D X





* Ý nghĩa của phương sai: Phương sai nói lên độ phân tán của đại lượng

ngẫu nhiên X xung quanh kì vọng toán Phương sai càng nhỏ thì độ phân tán càng nhỏ

1.3.3: TRUNG VỊ (Mêdian)

Định nghĩa 1.3.3 Giả sử X là ĐLNN; Med(X) được gọi là trung vị của

X nếu

𝑃[𝑋 < 𝑀𝑒𝑑(𝑋)] ≤1

2𝑃[𝑋 > 𝑀𝑒𝑑(𝑋)] ≤1

2

 X có thể có 1 hay nhiều trung vị

 Med(X) là điểm phân đôi khối lượng xác suất thành hai phần bằng nhau

1.3.4: MODE

Định nghĩa 1.3.4 Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ f(x), ta gọi

điểm cực đại của f(x) là mode của X Kí hiệu là Mod(X)

CHƯƠNG II: CÁC PHÂN PHỐI RỜI RẠC THƯỜNG

DÙNG TRONG XÁC SUẤT

2.1: PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

Định nghĩa 2.1.1 Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức

tham số 𝑛, 𝑝 nếu : Im(X)= {0;1;2 n} và có xác suất 𝑃[𝑋 = 𝑘] = 𝐶𝑛𝑘𝑝𝑘(1 −𝑝)𝑛−𝑘 với k = 0, 𝑛; 0 < 𝑝 < 1

𝐶𝑛𝑘−𝑗2 𝑝𝑘−𝑗(1 − 𝑝)𝑛2 −𝑘+𝑗

= ∑ 𝐶𝑛𝑗1𝐶𝑛𝑘−𝑗2 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛1 +𝑛2−𝑘 𝑘

Vậy (𝑋1+ 𝑋2)~ 𝐵(𝑛1+ 𝑛2, 𝑝)

*Xét tương tự với n ĐLNN độc lập ta có (𝑋1+ 𝑋2 + 𝑋3+ ⋯ +

𝑋𝑛) ~ 𝐵(𝑛1+ 𝑛2+ ⋯ + 𝑛𝑛, 𝑝)

Vậy (𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, … , 𝑋𝑛) là ĐLNN độc lập ; 𝑋𝑖~𝐵(𝑛𝑖, 𝑝), i=1,2,…,n thì tổng hữu hạn của chúng có phân phối 𝐵(𝑛1 + 𝑛2+ ⋯ + 𝑛𝑛; 𝑝)

Định lý 2.1.3 Giả sử X là số thành công trong n phép thử Bernoulli với xác

suất thành công p, không quá gần 0 và 1, 𝑥𝑘 = k np

𝑥𝑘 √𝑛𝑝𝑞) − 𝑛𝑞 + 𝑥𝑘 √𝑛𝑝𝑞 + 𝑜 (1𝑛) (7)

Sử dụng công thức : ln(1 − 𝑥) = 𝑥 −𝑥2+ 𝑜(𝑥3) để có khai triển:

nq nq n nq

   (8)

Từ (4) đến (8) ta suy ra kết luận của định lý

Định lý 2.1.4 (Định lí giới hạn tích phân Moivre-Laplace)

Giả sử X là số thành công trong n phép thử Bernoulli với xác suất thành công 𝑝, không quá gần 0 và 1 khi đó :

lim

𝑛→∞

𝑃𝑛(𝑘1; 𝑘2)Φ(𝛼2) − Φ(𝛼1)= 1

Trong đó: i

i

k np npq

   và 𝑖 = 1,2

0

1Φ

Định lý này cho ta công thức xấp xỉ

𝑃𝑛(𝑘1; 𝑘2) = Φ(𝛼2) − Φ(𝛼1) khi n đủ lớn

2.2 PHÂN PHỐI POISSON

Định nghĩa 2.2.1 Giả sử 𝜆 là một số thực dương, ta nói X là ĐLNN có

phân phối Poisson với tham số 𝜆 nếu: Im(X)= {0;1;2;… } và

𝑗=0

𝑒−𝜆2𝜆2𝑘−𝑗(𝑘 − 𝑗)!

= 𝑒−(𝜆1 +𝜆2) ∑ 𝜆1

𝑗

𝜆2𝑘−𝑗𝑗! (𝑘 − 𝑗)!

= 𝐶𝑛𝑘( 𝜆1

(𝜆1+𝜆2)𝑘( 𝜆2

𝜆1+𝜆2)𝑛−𝑘 Vậy phân phối của 𝑋1 với điều kiện 𝑋1+ 𝑋2 = 𝑛 là phân phối nhị thức với 𝑝 = 𝜆1

(𝜆1+𝜆2)

Định lý 2.2.3 Các tham số đặc trưng của phân phối Poisson

Nếu ĐLNN X có phân phối poisson với tham số 𝜆 > 0, thì :

= 𝜆2 + 𝜆 Vậy 𝐷(𝑋) = 𝜆2+ 𝜆 − 𝜆2 = 𝜆

Định lý poisson cho ta công thức xấp xỉ:

𝑃𝑛(𝑘) ≈

!

k

e k

! !

e e

∞

𝑙=𝑘

𝐶𝑙𝑘𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑙−𝑘

= ∑𝑒

−𝜆𝜆𝑙𝑙!

∞

𝑚=0

= 𝑒

−𝜆(𝜆𝑝)𝑘𝑘! 𝑒

𝜆.(1−𝑝) = 𝑒

−𝜆𝑝(𝜆𝑝)𝑘𝑘!

= ∑ 𝐶𝑛𝑖𝑝𝑖(1 − 𝑝)𝑛−𝑖𝑒

−𝜆𝜆𝑘−𝑖(𝑘 − 𝑖)!

= (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝑒−𝜆 𝑝𝑘𝑛!

𝑘!∑ 𝐶𝑘

𝑖 𝑘

𝑖=0

1(𝑛 − 𝑖)!

= (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝑒−𝜆 𝑝𝑘𝑛!

𝑘!∑

𝐶𝑘𝑖(𝑛 − 𝑖)!

𝑛

𝑖=0

2.3: PHÂN PHỐI SIÊU HÌNH HỌC

Định nghĩa 2.3.1 ĐLNN X được gọi là có phân phối siêu hình học với tham

số N,M,n với M<N; 𝑛 ≤ 𝑁 nếu X nhận các giá trị {0;1;…;n} với xác suất:

𝑃(𝑋 = 𝑘) = .

k n k

M N M n N

C C C

* Nếu n cố định còn N tăng lên vô hạn và tỉ số M/N dần tới một giới hạn 𝑝 và

0 < 𝑝 < 1 thì luật phân phối siêu hình học với tham số M, N, n dần tới luật phân phối nhị thức với tham số 𝑛, 𝑝

2.4: PHÂN PHỐI PASSCAL ( Phân phối hình học)

Định nghĩa 2.4.1 ĐLNN X được gọi là có phân phối Pascal với tham số 𝑝

(0 < 𝑝 < 1) nếu X nhận các giá trị {1, 2, … } với xác suất :

= 𝐶10𝑝0(1 − 𝑝)1−0𝐶10𝑝0(1 − 𝑝)1−0… 𝐶10𝑝0(1 − 𝑝)1−0𝐶11𝑝1(1 − 𝑝)1−1 = (1 − 𝑝)𝑘−1𝑝

Vậy 𝜏~𝑃𝑎(1 − 𝑝)

2.5 MÔ PHỎNG CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

Cho ĐLNN rời rạc X nhận giá trị 𝑥𝑖, trong đó 𝑖 = 1, 𝑛 với xác suất tương ứng là 𝑝𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) Ta cần mô phỏng các giá trị của X

Ta chia đoạn [0;1] thành n đoạn có độ dài thứ tự tương ứng là 𝑝𝑖 trong đó

𝑖 = 1, 𝑛 , mỗi đoạn 𝑝𝑖 có giá trị tương ứng là 𝑥𝑖 Cho một điểm chạy đều

trên đoạn [0;1] điểm này rơi vào đoạn 𝑝𝑖 nào thì X nhận giá trị tương ứng

là 𝑥𝑖

Giả sử R là ĐLNN có phân phối đều trên [0;1] Đặt 𝑞0 = 0 ; 𝑞𝑖 =

1

i j j

2.5.1 MÔ PHỎNG PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

Cho ĐLNN rời rạc X nhận giá trị i trong đó 𝑖 = 0, 𝑛 với xác suất tương ứng là :

2.5.2 MÔ PHỎNG PHÂN PHỐI POISSON

Cho ĐLNN rời rạc X nhận giá trị i trong đó 𝑖 = 0, 𝑛 với xác suất tương ứng là :

KẾT LUẬN

Trong luận văn này em đã trình bày một số nội dung về tính chất và mô phỏng của các phân phối rời rạc thường gặp trong môn Lý thuyết xác suất thống kê Em đã đi sâu vào tìm hiểu về phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối Pascal Đã chứng minh được một số tính chất cơ bản của các phân phối rời rạc, tìm hiểu về phương pháp mô phỏng một số phân phối rời rạc Tuy nhiên do kiến thức chưa đủ rộng và sâu nên nội dung thực hiện còn hạn chế và còn nhiều sai sót Rất mong được sự góp ý và xây dựng của quý thầy cô và các bạn sinh viên để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn !

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đặng Ngọc Dục, Nguyễn Ngọc Siêng (2010), Lý thuyết xác suất và thống kê toán, Nhà xuất bản Đà Nẵng

2 Đinh Văn Gắng (1999), Lý thuyết xác suất và thống kê, Nhà xuất bản

Giáo dục TP Hồ Chí Minh

3 Tống Đình Quỳ (2004), Giáo trình xác suất thống kê, Nhà xuất bản Đại

học quốc gia Hà Nội

4 Nguyễn Ngọc Siêng (2000), Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, Nhà suất bản Đà Nẵng

5 Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2000), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất

bản Giáo dục

6 Lê Trung Tương , Lê Hồng Vân, Huỳnh Văn Sáu (1992), Giáo trình

Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, Nhà suất bản TP Hồ Chí

Minh