Chuong-6-Phan-phoi-lien-tuc

Chap 6-2 Mục tiêu chương Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ có thể:  Giải thích sự khác biệt giữa một biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục  Mô tả các đặc điểm của phân phối đồng đều

Trang 1

Biến ngẫu nhiên liên tục và phân phối xác suất

Chương 6

Mục tiêu chương

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ có thể:

 Giải thích sự khác biệt giữa một biến ngẫu nhiên rời rạc

và liên tục

 Mô tả các đặc điểm của phân phối đồng đều và phân

phối chuẩn

 Chuyển đổi các vấn đề phân phối chuẩn thành các vấn

đề phân phối chuẩn hóa (chuẩn tắc)

 Tìm xác suất sử dụng bảng phân phối chuẩn tắc

Mục tiêu chương

Sau khi hoàn thành chương này, bạn sẽ có

thể:

 Đánh giá các giả định về tính chuẩn

 Sử dụng xấp xỉ chuẩn đối với phân phối nhị thức

 Nhận biết khi nào nên áp dụng phân phối mũ

 Giải thích các biến có phân phối kết hợp và tổ hợp tuyến

tính của các biến ngẫu nhiên

(continued)

Trang 2

Phân phối xác suất

Phân phốixác suấtliên tụcBinomial

PoissonHypergeometric

Phân phốixác suấtPhân phối

xác suấtrời rạc

ĐềuChuẩnMũ

Phân phối xác suất liên tục

 Một biến ngẫu nhiên liên tục là một biến có thể

giả sử nhận bất kỳ giá trị nào trong một khoảng

độ dày của một mặt hàng

thời gian cần thiết để hoàn thành một nhiệm vụ

chiều cao tính bằng inch; trọng lượng, tính bằng kg

doanh số bán hàng, lợi nhuận, chi phí, doanh thu

của các công ty; v.v

 Chúng có thể nhận bất kỳ giá trị nào, chỉ phụ

thuộc vào khả năng đo lường chính xác.

Trong thực tế, hầu hết các biến ngẫu nhiên là rời rạc

vì các giá trị được làm tròn

Hàm phân phối tích lũy

 Hàm phân phối tích lũy (c.d.f), F(x), của một biến

ngẫu nhiên liên tục X biểu thị xác suất X không

vượt quá giá trị cụ thể của x

 Đặt a và b là hai giá trị có thể có của X, với a <b

Xác suất mà X có giá trị nằm giữa a và b là

x) P(X F(x)  

F(a) F(b) b) X

Trang 3

Hàm mật độ xác suất

Hàm mật độ xác suất (p.d.f), f(x), của biến ngẫu nhiên X có các thuộc

tính sau:

1 f(x) > 0 với mọi giá trị của x

2 Vùng bên dưới hàm mật độ xác suất f(x) trên tất cả các giá trị của biến

ngẫu nhiên X bằng 1,0

3 Xác suất X nằm giữa hai giá trị là diện tích dưới biểu đồ hàm mật độ giữa

hai giá trị

4 Hàm mật độ tích lũy F(x 0 ) là diện tích dưới hàm mật độ xác suất f(x) từ giá

trị x tối thiểu lên đến x 0

trong đó x m là giá trị tối thiểu của biến ngẫu nhiên X

Xác suất như một diện tích

lẻ nào bằng không)

F ( )- b F( a )

=

Phân phối đều (uniform distribution)

Probability Distributions

UniformNormalExponential

ContinuousProbability Distributions

Trang 4

Phân phối đều

 Phân phối đồng đều là phân phối xác suất có xác

suất bằng nhaucho tất cả các kết quả có thể có của biến ngẫu nhiên

xmin xmax x

f(x)

Tổng diện tích dưới hàm mật độ xác suất đồng đều là 1,0

Thuộc tính của phân phối

12 a) - (b

Trang 5

Ví dụ phân phối đồng đều

Ví dụ: phân phối xác suất đều

μ     

1.333 12 2) - (6 12 a) - (b

σ 2  2 2

Một trạm xăng có 1.000 gallon mỗi ngày Lượng xăng bán ra

vào bất kỳ ngày cụ thể nào là không thể đoán trước và có

thể từ 0 - 1000 gallon Từ lịch sử đã qua, nhu cầu về bất

kỳ số tiền nào cũng có khả năng như nhau

Trang 6

Ví dụ: Một nhóm sửa chữa có trách nhiệm dải đường ống

dẫn dầu dài 2 dặm Khoảng cách (tính bằng dặm) mà tại

đó bất kỳ việc gãy ống xảy ra có thể được đại diện bởi

một biến ngẫu nhiên phân phối đều, với hàm mật độ xác

suất: f(x) = 0,5

Tìm các hàm phân phối tích lũy và khả năng mà bất kỳ

đoạn gãy xảy ra giữa 0,5 dặm và 1,5 dặm dọc theo đoạn

này của đường ống

Giải: Hàm tích lũy xác suất khi 0 < x < 2: F(x0) = 0,5x0

Xác suất đoạn gãy xảy ra

giữa 0,5 – 1,5 dặm dọc đường ống là:

P(0,5 < x < 1,5) = 0,5.1,5 – 0,5.0,5= 0,5

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

liên tục

 Vì xác suất của bất kỳ giá trị cụ thể nào là 0, nên các

giá trị dự kiến được tính bằng phép tính tích phân

 Trung bình củaX, ký hiệu μX , được định nghĩa là giá

trị kỳ vọng của X

 Phương sai củaX, ký hiệu σX2, được định nghĩa là kỳ

vọng của độ lệch bình phương, (X - μX)2, của một

biến ngẫu nhiên từ trung bình của nó

Hàm tuyến tính của biến

Trang 7

 Một trường hợp đặc biệt quan trọng của các kết quả

trước đó là biến ngẫu nhiên được chuẩn hóa

 có trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1

Hàm tuyến tính của biến

(continued)

X

Xσ

μ X

Z  

Hàm tuyến tính của biến: Ví dụ

Ví dụ: Một chủ nhà ước tính rằng trong phạm vi nhiệt độ

có khả năng, hóa đơn sưởi ấm tháng 1 của anh ta, bằng

đô la, sẽ là: Y = 290 – 5T, trong đó T là nhiệt độ trung

bình trong tháng, tính bằng độ F Nếu nhiệt độ trung bình

tháng 1 có thể được biểu thị bằng một biến ngẫu nhiên có

giá trị trung bình là 24 và độ lệch chuẩn là 4, hãy tìm giá

trị trung bình và độ lệch chuẩn của hóa đơn sưởi ấm

tháng 1 này

Giải: Ta có T= 24 và T= 4 Do vậy, kỳ vọng của hóa

đơn tiền sưởi: Y= 290 – 5.T= $170

Và độ lệch chuẩn: Y= |-5|.T= 5.4 = $20

Phân phối chuẩn

UniformNormalExponential

Trang 8

μσ

(continued)

 Phân phối chuẩn xấp xỉ với phân phối xác suất của

một loạt các biến ngẫu nhiên => được áp dụng

rộng rãi nhất

 Phân phối trung bình mẫu gần phân phối chuẩn với

kích thước “mẫu lớn”

 Tính toán xác suất là trực tiếp và rõ ràng

 Phân phối xác suất chuẩn đã dẫn đến các quyết định

kinh doanh tốt trong một số ứng dụng

(continued)

Bằng cách thay đổi các tham số μvà σ, chúng ta

thu được các phân phối chuẩn khác nhau

Nhiều phân phối chuẩn

Trang 9

Hình dạng phân phối chuẩn

x

f(x)

μσ

Thay đổiμsẽ dịch chuyểnphân phối sang trái hay phải

Thay đổiσtăng hay giảm sự phân tán

Cho trước trung bình μ và phương sai σ 2 chúng ta định nghĩa

phân phối chuẩn sử dụng

ký hiệu X~N(μ,σ2)

Hình dạng phân phối chuẩn

e 2π

1



Trang 10

Hàm tích lũy xác suất chuẩn

 Đối với một biến ngẫu nhiên chuẩn X có trung bình

μ và phương sai σ2, tức là, X~N(μ, σ2), hàm phân

phối tích lũylà

) x P(X ) F(x0   0

x

)xP(X 0

Xác suất cho một phạm vi các giá trị

được đo bằng diện tích dưới đường cong

Tính xác suất phân phối chuẩn

F(a) F(b) b) X

a) P(X F(a)  

b) P(X F(b)  

Trang 11

Phân phối chuẩn tắc

 Bất kỳ phân phối chuẩn nào (với bất kỳ kết hợp

trung bình và phương sai) cũng có thể được chuyển

đổi thành phân phối chuẩn tắc (Z), với trung bình 0

và phương sai 1

 Cần chuyển đổi X đơn vị thành Z đơn vị bằng cách trừ giá trị

trung bình của X và chia cho độ lệch chuẩn của nó.

1) N(0

~

σ

μ X

Z  

Zf(Z)

01

Ví dụ

100 và độ lệch chuẩn 50 , giá trị Z đối với X =

200 là

chuẩn (cao hơn 2 lần của 50) trên giá trị trung

bình 100

2.0 50

100 200 σ

μ X

Lưu ý rằng phân phối là như nhau, chỉ có tỷ lệ đã

thay đổi Chúng ta có thể diễn đạt vấn đề theo đơn

vị gốc (X) hoặc theo đơn vị chuẩn hóa (Z)

(μ = 100, σ = 50)

(μ = 0, σ = 1)

Trang 12

σμbZσμaPb)XP(a

σμ

bσ

μ

µ0

Tổng diện tích nằm dưới đường cong là 1, và đồ thị

là đối xứng, nên phân nửa cao hơn trung bình, phân

nửa thấp hơn

1.0 ) X

0.5)XP(μ  0.5

μ)XP(  

Bảng Phụ lục 1

phụ lục 1) hiển thị các giá trị của hàm phân phối

chuẩn tích lũy

 Đối với giá trị Z đã cho a, bảng hiển thị F(a)

(diện tích dưới đường cong từ vô cực âm đến

a)

Za

a)P(ZF(a) 

Trang 13

Bảng phân phối chuẩn hóa

Z0

-2,00

Ví dụ:

P(Z < -2,00) = 1 – 0,9772

= 0,0228

phối đối xứng để tìm xác suất cần thiết:

(continued)

Thủ tục chung để tìm xác suất

chuẩn cho bài toán về X

 Chuyển đổi giá trị X thành giá trị Z

Để tìm P(a < X < b) khi X có phân phối

chuẩn:

Trang 14

Tìm xác suất phân phối chuẩn

 Giả sử X theo phân phối chuẩn với trung bình 8,0 và

độ lệch chuẩn 5,0 Tìm P(X < 8,6)

Z 0,12 0 X

8,6 8

Trang 15

Xác suất ở đuôi phải

Ví dụ: Xác suất giá trị danh mục đầu tư

Một khách hàng có một danh mục đầu tư có giá trị trung

bình bằng 1.000.000 đô la với độ lệch chuẩn là 30.000 đô

la Tính xác suất giá trị của danh mục đầu tư của anh ấy

nằm trong khoảng từ 970.000 đến 1.060.000 đô la

Giải: Chuyển đổi các giá trị X thành Z:

Như vậy: 970.000 < X < 1.060.000  -1 < Z < 2

970.000

970.000 1.000.000 130.0001.060.000 1.000.000 230.000

ZZ



Trang 16

Tìm xác suất chuẩn: Ví dụ

Ví dụ: Xác suất giá trị danh mục đầu tư

Vẽ phác họa đường phân phối chuẩn

Tính xác suất cần tìm:

P(970.000 < X< 1.000.000) = P(-1 < Z < 2) = 1 – P(Z < -1) – P(Z >2)

= 1 – 0,1587 – 0,0228 = 0,8185

biết:

1 Tìm giá trị Z ứng với xác suất đã biết đó

2 Chuyển đổi sang giá trị X sử dụng công

thức:

Tìm giá trị X khi biết được

xác suất

Zσ μ

 Bây giờ hãy tìm giá trị X để chỉ 20% của tất cả

các giá trị nằm dưới X này

X

? 8,00,20

(continued)

Trang 17

Tìm giá trị Z cho 20% nằm ở đuôi bên trái

2 Chuyển đổi sang X bằng công thức:

Tìm giá trị X

80 3

0 5 ) 84 0 ( 0 8

Zσ μ X

Đánh giá tính chuẩn

 Không phải tất cả các biến ngẫu nhiên liên tục

đều theo phân phối chuẩn

phân phối chuẩn của số liệu

Trang 18

Đồ thị xác suất chuẩn

 Đồ thị xác suất chuẩn (Normality Probability

Plot)

Sắp xếp dữ liệu từ giá trị thấp đến cao

Tìm xác suất tích lũy cho tất cả các giá trị

Kiểm tra một biểu đồ của các giá trị quan sát so với

xác suất tích lũy (với xác suất chuẩn tích lũy trên trục tung và giá trị dữ liệu được quan sát trên trục hoành)

Đánh giá đồ thị để xem nó có tuyến tính không

Một biểu đồ xác suất chuẩn đối với

dữ liệu từ một phân phối chuẩn sẽ xấp xỉ đường thẳng :

0100

Số liệu Phần trăm

0 100

Data

0 100

Data

Đồ thị xác suất chuẩn

Trang 19

Phân phối xấp xỉ chuẩn đối với phân phối nhị thức

n phép thử độc lập

Xác suất thành công của mỗi lần thử = P

Xi=1 nếu phép thử thứ i “thành công”

Xi=0 nếu phép thử thứ i “thất bại”

nP μ E(X)  

P) nP(1- σ

Trang 20

 Gọi X là số lần thành công từ n thử nghiệm độc lập,

mỗi lần có xác suất thành công P

 Chuẩn hóa thành giá trị Z từ phân phối nhị thức:

P)nP(1npXVar(X)E(X)XZ

 40% tổng số cử tri ủng hộ đề xuất bỏ phiếu A Xác

suất mà từ 76 đến 80 cử tri chỉ ra sự ủng hộ trong

một mẫu n = 200 là bao nhiêu?

 E(X) = µ = nP = 200(0,40) = 80

 Var(X) = σ 2 = nP(1 – P) = 200(0,40)(1 – 0,40) = 48

(lưu ý: nP(1 – P) = 48 > 5 )

0.2190 0.2810 0.5000 0.58) F(

F(0)

0) Z 0.58 P(

0.4) 200(0.4)(1 80 80 Z 0.4) 200(0.4)(1 80 76 P 80) X P(76

Biến ngẫu nhiên tỷ lệ

 Gọi P là một biến ngẫu nhiên tỷ lệ

trong đó: X: số lần thành công, và n: cỡ mẫu

có thể được dùng để tính xác suất với

X P n

Trang 21

Biến ngẫu nhiên tỷ lệ: Ví dụ

một ứng cử viên khác Một nhà dự báo đã lấy

một mẫu ngẫu nhiên gồm 900 cử tri, trong đó

500 người cho biết họ sẽ bỏ phiếu cho

Chung Chung có thể thắng cử không?

Biến ngẫu nhiên tỷ lệ: Ví dụ

công trong số 900 thử nghiệm nếu P = 0,5

 Xác suất rất nhỏ, P có thể lớn hơn 0,5, do

vậy cô ấy sẽ thắng.

Tính xác suất mà hơn 55.6% (500/900) người

trong mẫu ủng hộ Susan nếu 50% tổng thể ủng hộ

Proportion random variable: Ex.

Trang 22

Phân phối mũ

NormalUniformExponential

Phân phối mũ

xếp hàng

gian giữa hai lần xuất hiện của một sự kiện

(thời gian giữa các lần đến)

Ví dụ:

 Thời gian giữa các xe tải đến một bến tàu dỡ hàng

 Thời gian giữa các giao dịch tại máy ATM

 Thời gian giữa các cuộc gọi điện thoại cho nhà điều hành chính

Phân phối mũ

 Một biến ngẫu nhiên theo phân phối mũ, T(t>0) có hàm

mật độ xác suất như sau:

 Trong đó

 là số lần xuất hiện trung bình trong một đơn vị thời gian

 t là số đơn vị thời gian cho đến lần xuất hiện tiếp theo

e = 2,71828

 T được cho là tuân theo phân phối xác suất mũ

(continued)

0 t for e

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	890,72 KB