bat phuong trinh mu chua tham so

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ PHƯƠNG PHÁP Đưa về cùng cơ số.. Khi đó, ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m1...

Trang 1

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ

PHƯƠNG PHÁP

Đưa về cùng cơ số

+ Nếu a1 thì f x  g x     

+ Nếu 0 a 1 thì af x  ag x  f x g x 

Đặt ẩn phụ

Sử dụng tính đơn điệu:

Hàm số y f x( ) đồng biến trên D thì f u  f v   u v u v D,   Hàm số y f x( ) nghịch biến trên D thì f u  f v   u v u v D,  

Câu 1 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m2021; 2021 để bất phương trình

1 1

2 xm x m x x có nghiệm?

Lời giải Chọn A

Đặt 3x t điều kiện t0

Bất phương trình trở thành:

 

3

27

*

3

t



  Do t0 nên

3 0 t

t   suy ra   2

2

9

t



2

9

0 3

t



   Với t0 ta có f t  2t 183

t

Ta có bảng biến thiên

Để  * có nghiệm thì



  Vậy có 2018 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu

đề bài

Câu 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2x 3 5 2 x  nghiệm m

đúng với mọi x  ;log 52 

Đặt 2x t Vì xlog 5 0 2x 2log 5 2   0 t 5

Trang 2

Yêu cầu bài toán trở thành t 3 5 t m,  t  0;5

Xét hàm số f t  t 3 5t với 0 t 5

f t

t

  



Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có: m4

Câu 3 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m [ 30;30] để bất phương trình

2

Ta có : m(3 5)x (3 5)x (m1).2x  3 5 3 5 1

2

x

  

1

; 2

x  suy ra

1 2

t



      

Khi đó 3 5 1

2

x

t

  Suy ra bất phương trình:

2 2

1



5 1

; 2

  

Khảo sát nhanh hàm số:

2

( )

1

f t t





 với

5 1; 2

  

Suy ra được giá trị nhỏ nhất: min ( )f t  f(1 2) 3 2 2   m min ( ) 3 2 2 5,8.f t    Suy ra:   30 m 5 Suy ra có tất cả 36 giá trị nguyên m thỏa mãn

Câu 4 Gọi S là tập chứa tất cả những giá trị nguyên m [ 20; 20] để bất phương trình đúng với mọi

x : 3sin2x(2m1)31 cos  2x  Số phần tử của tập 4 S là

Lời giải Chọn B

Trang 3

Đặt: t3sin2x, do x suy ra t3sin 2 x3 ;30 1[1;3]

1 cos 2 sin

sin

3

x t

Bất phương trình trở thành: t (2m 1) 9 4 9(2m 1) 4t t2

t

Do đó:

18

Vậy có 20 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Câu 5 Tìm tất cả các tham số m để bất phương trình 2 4 x 2  4 x  8 m 4x2 2 2 2 x 2   x 2 m2x nghiệm

đúng với mọi x

8

7

Ta có : 2 4 x 2   4 x 8 m4x2 2 2 2 x 2   x 2 m 2x4 x 2   x 2 m4x2 2 2 2 x 2   x 2 m2x

Để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x , trước hết bất phương trình phải xác định trên



 



Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với

4 x   x m 4x  2 2 2 x   x m2x ,   x  2 x   x m1  2x1 0,  x  (*)

Ta có  2 2  2

2 x  x m 1  2x1   0, x  và dấu bằng xảy ra khi

1

8

 



Vậy để (*) luôn đúng suy ra 1

8

m  Kết hợp với điều kiện ban đầu vậy 1

8

Câu 6 Tìm m để bất phương trình 2x 3x 4x5x  4 mx có tập nghiệm là 

+ Với a1 ta có ln

ln

Trang 4

+ Với a1 xét hàm số   1 0

x

a

x



  , ta có f x  xaxlna a2 x 1

x

Xét hàm số g x xaxlna a x 1 g x axlna xa xln2a a xlna xa xln2a

Với x0 ta có g x  suy ra 0 g x g 0 g x  0 f x    0, x 0

Với x0 ta có g x  suy ra 0 g x g 0 g x  0 f x    0, x 0

Do đó hàm số f x  ax 1a 1

x



  đồng biến trên các khoảng ;0 và 0; 

Trở lại bài toán:

+ Xét x0 bất phương trình thỏa mãn

Từ nhận xét trên ta có h x đồng biến trên   0; Do đó yêu cầu của bài toán tương đương 

0

lim ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln120 x



Từ nhận xét trên ta có h x đồng biến trên   ;0 Do đó yêu cầu của bài toán tương đương

0

lim ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln120 x



Kết hợp lại ta có mln120

Câu 7 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  10;10 để bất phương trình sau nghiệm đúng với

x

 : 6 2 7 x2m 3 7xm1 2 x  ?0

Lời giải Chọn D

Ta có:

6 2 7 x2m 3 7xm1 2 x 0 2 3x  7x2m 3 7x m1 2 x

2

x x

Đặt t 3 7x, t0 3 7 1

2

x

t

  

  Bất phương trình đã cho trở thành:

t

1

m t

 

Xét hàm số   2 2

1

t t

f t

t

 



 trên khoảng 0;  , ta có   

2 2

2 3 1

f t

t

 



Trang 5

  0

0

t t

 



 Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m1 Suy ra trong đoạn 10;10 có tất cả 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 8 ) Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình sau đúng  x 

9.6f x  4 f x 9f x  m 5m 4f x

Ta có: 9.6f x 4 f2 x .9f x    m25m.4f x  

 

Từ đồ thị hàm số suy ra f x    2, x 

Do đó  2   3 2  

2

f x

2

f x

x



Suy ra 4 2  . 3 2   9. 3   4,

Để  1 có nghiệm đúng  x  thì 4 m25m  1 m 4

Do m là số nguyên nên m1, 2, 3, 4

Trang 6

Câu 9 Bất phương trình 4xm1 2 x  1  nghiệm đúng với mọi m 0 x0 Tập tất cả các giá trị của

m là

A ;12 B   ; 1 C ;0 D 1;16

4x m1 2x  m 0,   x 0  2  

2x 2 m 1 2x m 0, x 0

Đặt t2 ,x t (1) trở thành 1 t22m1t m    (2) 0, t 1

Cách 1:

(2)

2 2

2 1

t



2 1

t



 Ta có hàm số y f t  liên tục trên 1; 

Từ bảng biến thiên ta có f t m    t 1;    m 1

Cách 2:

t  m t m  là một bất phương trình bậc hai

Tam thức bậc hai ở vế trái luôn có   m2   m 1 0, m nên tam thức luôn có hai nghiệm là

2

t m   m   và m t m  1 m2  m 1

Suy ra bất phương trình t22m1t m  có tập nghiệm là 0

;m 1 m2  m 1 m 1 m2  m 1; 

0

1

m





  

Câu 10 Có bao nhiêu m nguyên dương để bất phương trình 32 x  23 3x m  2 1 3m  có không quá 0

30 nghiệm nguyên?

3 x  3 3x m   1 3m  0 9.3 x 9.3 3x m 3x 3m 0

9.3 3x x 3m 3x 3m 0 3x 3m 9.3x 1 0

Ta có 3x3m   0 x m Cho 9.3x    1 0 x 2

Vì m nguyên dương nên ta có bảng xét dấu như sau:

Trang 7

Ta có tập nghiệm S   2 ;m Suy ra tập hợp các nghiệm nguyên là 1; 0; 1; ;m1 

Để có không quá 30 nghiệm nguyên thì m 1 28 m 29

Câu 11 Tất cả giá trị của tham số thực m sao cho bất phương trình

9x2m1 3 x 3 2m có nghiệm đúng với mọi số thực x là 0

2

Ta có: 9x2m1 3 x 3 2m0  2  

3x 2.3x 3 3x 1 2m

     3x 3 2m3x  3 2m

Vậy, để 9x2m1 3 x 3 2m  0, x  khi 3 2 0 3

2

Câu 12 Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để bất phương trình

4x 2022 2m x  1 3 1011m0 có nghiệm

1

4x 2022 2m x   3 1011 0 (1) Đặt t2 ,x t0

Khi đó bất phương trình (1) trở thành t21011mt 3 1011m0 1011 2 3 *

1

t m t



(Vì t0)

1

t

f t

t





2 2

2 3 1

f t

t

 

3

t

f t

t





Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình  * có nghiệm t0

1011 m

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m thoả mãn yêu cầu bài toán là m1

Câu 13 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng

2021;2022 để bất phương trình 9xm2 3 x   nghiệm đúng với mọi số thực x ? 3 m 0

Lời giải Chọn C

Trang 8

 

9x m2 3x   (1) Đặt 3 m 0 t3 ,x t0

Khi đó bất phương trình  1 có dạng t2m2t  3 m 0  t 1t 3 m 0

Bất phương trình  1 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi phương trình  2 đúng với mọi

0

Mà m nguyên thuộc khoảng 2021;2022 nên m  2020; 2019; ; 3  

Vậy có 2018 giá trị của tham số m thoả mãn yêu cầu bài toán

Câu 14 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

12x 2 1 m6x3x  nghiệm đúng với mọi 0 x0?

12x2 1m 6x3x  0 4x2 1 m2x  (1) 1 0

Đặt t2 ,x với x  0 t 1

Khi đó bất phương trình (1) trở thành t22 1 m t  1 0 2mt t  2 2 1t

2

m

t

 

  (vì t1)

Xét hàm số   2 2 1

2

g t

t

 

 với t1,   2 21

2

t

f t

t



1

t

f t

t





Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x0 khi và chỉ khi bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi t1 m 2

Mà m nguyên dương nên m 1; 2 Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán

Câu 15 Tổng các số nguyên m , m  10;10 để bất phương trình

m.9x2m1 6 xm.4x 0 có nghiệm đúng với mọi x 0;1

Ta có m.9x2m1 6 xm.4x 0 9 2 1  3 0

Đặt 3

2

x

t      , x 0;1 1;3

2

Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành m t 22m1t m  0

Trang 9

t2 2t 1m t 0

 2 1

t m t

 

 Đặt  

 2 1

t

f t

t



 ,

3 1;

2

  ta có  

2 3

1 1

t

f t

t

 

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có bất phương trình có nghiệm 1;3

2

Mà m, m  10;10  m  10; 9; ;5; 6 

Vậy tổng các giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán là 34

Câu 16 Số các giá trị nguyên m , m  2021; 2022 để bất phương trình

3m1 12 x 3 m6x 3x  có nghiệm đúng 0  x 0 là

Ta có 3m1 12 x 3 m6x3x 0 3m1 4 x  3 m2x  1 0

Đặt2x t Dox  0 t 1

Khi đó, yêu cầu bài toán  3m1t2 3 m t   , 1 0 t1

3

m

  

 

 , do

2

3t    t 0, t 1 Đặt   2 23 1

3

f t

t t

  



 , ta có  

2 2 2

0 3

f t

t t

 ,  t 1 Bảng biến thiên

2

m thỏa mãn yêu cầu bài toán Do m, m  2021; 2022 m 1; 2; ;2022Từ

đó suy ra có 2022 giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán

Trang 10

Câu 17 Cho bất phương trình .3 1 4 5 4 7 4 7 0

3

x

cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x  ;0

3

12

Ta có .3 1 4 5 4 7 4 7 0

3

x

5

3

x

          

        

3

x

  

  , do x  ;0 t 0;1 Bất phương trình đã cho trở thành 4 5 1 3 0

3

t

3

t m t

2 5 3

t m t



 

 Đặt  

2 5 3

3 4

t

f t

t





 , t0;1, ta có  

t

 

 Bảng biến thiên

3

m thoả mãn yêu cầu bài toán

Câu 18 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Trang 11

Biết rằng f   , 2 1 f  3  Tính tổng các giá trị 1 m  2021; 2021 để bất phương trình

f x f x f x m

e    m có nghiệm trên khoảng 2;3

Đặt g x  f3 x 3f2 x 9f x  , khi đó bài toán trở thành tìm m để bất phương trình

 

g x m

e   có nghiệm trong khoảng m 2;3

Ta có: g x  f x 3f2 x 6f x 9

 

0

3

f x









1 0 2 3 2

x x x x x

 



 



 



  



và ta dễ dàng kiểm tra được các nghiệm này đều là

nghiệm bội lẻ nên các điểm x   2; 1;0;2;3 đều là cực trị của hàm số g x  

Ta có: g x m 

e   m g x 

m

m e

e

  Khi đó để có nghiệm trong khoảng 2;3 thì

2;3

m

2

1

m





e

 như sau:

Ta thấy,

 

27 2;3

m

  Bất phương trình eg x m   có nghiệm với mọi m

m Mà m  2021; 2021 nên suy ra2020

2020

0 m





 Câu 19 Cho hai hàm số g x  3x2m26x m 2 và 14 f x e x1  2 Có bao nhiêu giá trị m

dương để f x g x  có nghiệm duy nhất?

Lời giải

Trang 12

Chọn A

Ta có: f x  g x e x1  2 3x26x14m x2 1  12  2 2 

x

Vì  12  2

x

e   x    x  VP m x 2  1 0 0 0

Khi đó, bài toán trở thành tìm m0 để  

2

1

x

m x

 có nghiệm duy nhất trên khoảng   Điều này xảy ra khi 1; 

2 1;

min

 

 và nếu tồn tại GTNN

Với    

2

1

x

h x

x



2

1

x

h x

x



Cho h x  0 e x1  22x2 3 3x26x  và ta chỉ lấy nghiệm 8 0 x 1

Sử dụng máy tính CASIO 1

1

x

x a





 Ta lập được bảng biến thiên của h x như sau:  

 

  m212m  12 thì thỏa mãn bài toán

Mà m m 12 là giá trị duy nhất

Câu 20 Với m là tham số để bất phương trình 2x 3x mx2 có tập nghiệm là  , khi đó

A m  ;0 B m 1;3 C m3;   D m 0;1

+) Với m0, bất phương trình không nhận các giá trị âm của x làm nghiệm

Thật vậy, khi đó 2x3x 2 mà mx 2 2 Suy ra m0 loại

+) Với m0, ta có 2x3x mx 2 2x 3x mx 2 0

Đặt f x 2x 3x mx , 2 x Khi đó f x 2 ln 2 3 ln 3x  x  m

Ta có f x  0 2 ln 2 3 ln 3x  x   m 0 2 ln 2 3 ln 3x  x  (1) m

Đặt g x 2 ln 2 3 ln 3x  x g x 2 ln 2 3 ln 3 0,x 2  x 2   x 

Suy ra hàm số g x đồng biến trên   

Lại có lim   0

  và lim  

   Suy ra với mỗi giá trị m0 thì phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất là x0

Ta có phương trình f x  có nghiệm duy nhất là 0 x0

     và lim  

    nên f x    và 0, x x0 f x    0, x x0

Trang 13

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min    0

Kết hợp điều kiện đề bài là   0, min    0 0

x





Suy ra x0 0 và x00 là giá trị duy nhất để f x  0

Suy ra x0 0 là giá trị duy nhất để f x  Suy ra 0 f 0 ln 2 ln 3   m 0

Vậy mln 2 ln 3 ln 6 

Câu 21 Tập các giá trị của tham số m để bất phương trình 9xm.6xm.4x 0 nghiệm đúng với mọi

x là đoạn  a b Khi đó ; b a có giá trị bằng

Ta có

2

      

3 2

x

t    

  , t0 Bất phương trình (1) trở thành t2mt m  0 m t   (2) 1 t2

Bất phương trình (1) đúng với mọi x khi và chỉ khi bất phương trình (2) đúng với mọi t0

Với t1, bất phương trình (2) luôn đúng  m R (*)

Với t1, bất phương trình (2)

2

1 1

1

t

t t

t





 Xét hàm số   2

1

t

f t t



 với t0;  \ 1 Khi đó  

2 2

2 1

f t

t



 Ta có   0 0   

2

f t







Với 0 t 1, bất phương trình (2) tương đương m f t 

Dựa vào bảng biến thiên, bất phương trình (2) đúng với mọi 0 t 1 khi m0 (**)

Với t1, bất phương trình (2) tương đương m f t 

Dựa vào bảng biến thiên, bất phương trình (2) đúng với mọi t1 khi m4 (***)

Kết hợp (*) (**) (***), bất phương trình đã cho đúng với mọi x  0 m 4

Câu 22 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

18

2 6 2 4 x 9 2 x 2 4 x 9 2 x 25

m        có nghiệm đúng với mọi x 0; 2 ?

Trang 14

A 7 B 9 C 8 D vô số

2

4

x



Vì x 0; 2  t  1;3

2

1

9

 

  Điều kiện bài toán m26 2 t22 t 25 có nghiệm đúng  t  1;3

2

t t

   có nghiệm đúng  t  1;3  *

Xét hàm số g X  X2 25, X  2;8

X



   và X  ,vì 2t t 1;3  X  2;8

  1 252,  2;8

X

     Cho g X  0 X  5  2;8

Từ BBT và kết hợp với  * , ta suy ra: m2 6 10   4 m 4 và m

 3; 2; 1;0;1; 2;3

m

Câu 23 Cho hàm số f x 2x12x1 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình

f x m x   có nghiệm x0; 2

Hàm số f x 2x12x1 xác định  x 

Ta có: f   x 2 x 12 x 1  2x12x1 f x  và f 1   3

Mà f x liên tục trên    Suy ra, hàm số f x nghịch biến trên    Khi đó

Bpt f x 3m3x  3 0  f x 3m3x f 1  f  có nghiệm 1 x0; 2

     có nghiệm x0; 2

Trang 15

 3

    có nghiệm x0; 2

3 3 2 1

    có nghiệm x0; 2

Xét hàm số g x x33x2  1, x 0; 2 có g x 3x26x  0, x 0;2

Từ BBT ta suy ra m21

Câu 24 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  2022; 2022để bất phương trình

2ex  mx  2x 4mx10 x 2mx4 có nghiệm ?

Lời giải Chọn C

2ex  mx  2x 4mx10 x 2mx4

2

2 2

2

      Đặt u x 22mx4 suy ra bpt trở thành:

Đến đây ta xét hàm số   1 2

2

f u e  u f u e     Từ đó ta có bảng biến thiên như sau: u

2

Như vậy để bất phương trình (2) luôn có nghiệm thì

; 2022;2022

4 0

m Z m

m

  



nguyên m thỏa mãn

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,47 MB