SKKN Ứng dụng đạo hàm để giải một số bài toán phương trình, bất phương trình có chứa tham số TOÁN THPT

Với kiến thức ở lớp 10 , 11 khi giải các bài toán đó học sinh biến đổi phương trình, bất phương trình để quy phương trình dạng quên thuộc,với cách giải này học sinh thường mắc phải những

I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

Trong thời gian gần đây bài toán giải phương trình và bất phương trình có chứa tham số không thể thiếu được trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng

và thi học sinh giỏi Nhưng trong sách giáo khoa lại chủ yếu những dạng bài tập giải phương trình, bất phương trình không có chứa tham số Với kiến thức ở lớp 10 , 11 khi giải các bài toán đó học sinh biến đổi phương trình, bất phương trình để quy phương trình dạng quên thuộc,với cách giải này học sinh thường mắc phải những sai lầm như không xét hết các khả năng xảy ra của bài toán hoặc thiếu điều kiện của ẩn phụ đặc biệt đối với các bài tập về phương trình, bất phương trình bậc

ba học sinh sẽ lúng túng về phương pháp giải Từ những năm thay sách giáo khoa không nói đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo suất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so sánh các nghiệm của một tam thức bậc với các số cho trước nên học sinh đọc sách rất lúng túng Để tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập bản thân tôi một giáo viên dạy toán phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số với cách giải này học sinh sinh sẽ có một lời giải nhanh

gọn hơn và ít xãy ra sai sót Đó là lý do để tôi chọn đề tài này “ Ứng dụng đạo hàm để giải một số bài toán phương trình , bất phương trình có chứa tham số’’

2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm này là:

- Làm sáng tỏ sự liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với số giao điểm của hai hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương trình đó, nghiệm của phương trình chính là hoành độ các giao điểm nghĩa là từ các giao điểm mà chiếu vuông góc lên trục hoành ta sẽ tìm được các nghiệm tương ứng

- Trong bài viết này chủ yếu đề cập đến những bài toán về phương trình, bất phương trình có chứa căn và tham số thức đòi hỏi học sinh phải tìm kiều kiện

để phương trình , bất phương trình tồn tại thay vào cách so sánh nghiệm của

phương trình, bất phương trình với điều kiện xác định bằng cách sử dụng đạo hàm

và lập bảng biến thiên từ đó tìm kết luận của bài toán

Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về bài toán phương trình, bất phương trình có chứa tham số

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình có chứa tham số và trong lời giải có việc sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích gồm: phương trình, bất phương trình có chứa tham số

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý thuyết

a) Tìm số nghiệm của phương trình

- Xét phương trình f x( )g m( ), (1) Trong đó x là ẩn thực và m là

tham số thực

- Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số

( )

của nó ) và đường thẳng y g m ( ) là đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm

có tung độ bằng g m( )

- các nghiệm x x1, , ,2 xn của phương trình (1) chính là hoành độ của các giao điểm

b) Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Từ việc lập lập bảng biến thiên của hàm số f x( ) trên tập xác định của nó

ta sẽ tìm thấy những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là giá trị lớn nhất ( giá trị nhỏ nhất ) của hàm số

- Nếu hàm số f x( ) xác định và liên tục trên đoạn  a b ;  thì ta có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất theo các bước sau :

- Tìm các điểm x x1, , ,2 xn trên đoạn  a b ;  mà tại đó f x'( )bằng 0 hoặc

'( )

- Tính các giá trị f a f b f x ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )1 f x2 f xn

- Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) của hàm số f x( )trên đoạn  a b ; 

c) Bài toán bất phương trình có chứa tham số

Nếu hàm số f x( )có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định

D khi đó

Bất phương trình :

f x( )g m( ) thỏa mãn  x D khi và chỉ khi ( ) ( )

D

Min f x  g m

f x( )g m( ) thỏa mãn  x D khi và chỉ khi ax ( ) ( )

D

M f x  g m

f x( )g m( ) có nghiệm x D khi và chỉ khi Max ( ) ( )

f x( )g m( ) có nghiệm x D khi và chỉ khi ( ) ( )

D

Min f x  g m Trong trường hợp hàm số f x( ) không có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ

nhất trên tậpD ta phải kết hợp với bảng biến thiên hoặc đồ thị của nó để có kết luận bài toán

2 Thực trạng của vấn đề

Trong đợt ôn tập hè năm 2011 cho các em học sinh lớp 11 chuẩn bị lên lớp 12 trong phần ôn tập môn toán có một số tiết ôn tập về phần phương trình, bất phương trình đã học ở lớp 10 và lớp 11 tôi đã cho học sinh làm một số bài tập về phương trình, bất phương trình có chứa tham số Đến giữa học kỳ I lớp 12 tôi cho học sinh lớp 12A3 làm bài toán

Bài toán Tìm tham số m để phương trình sau

3 x1m x 1 24 x21(1) có nghiệm thực

Lời giải:

m

 

1 0,1

x

t



học sinh giải bài toán này bằng cách tính biệt thức đenta và biện luận trên nữa khoảng 0;1 Vậy thay bằng cách làm trên để tránh xét không hết các điều kiện của đenta tôi hướng dẫn cho học sinh giải bài toán trên bằng ứng dụng đạo hàm thì kết quả thu được một lời giải

Đặt g t( )3t22t m ta có g t'( )6t2 , ' 1

( ) 0

3

g t   t

3

m

  

Vói cách giải bằng ứng dụng đạo hàm cho chúng ta lời giải nhanh gọn hơn rất nhiều

Các vướng mắc nói trên sẽ được giải quyết toàn diện khi học sinh đã học về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số Do đó từ đầu năm học 2011 – 2012 tôi đã nghiên cứu đề tài nói trên thông qua một số tiết ôn tập tại hai lớp 12A3, 12B, và từ

đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình

3 Các phương pháp đã tiến hành

Do những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tập ôn, tôi đã lồng ghép các bài tập phương trình, bất phương trình có chứa tham số Do thời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để các em về nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp tôi cho một

số học sinh lên bảng làm bài với kiến thức ở lớp 10, 11 và một số học sinh khác nhận xét lời giải Sau đó tôi trình bày lời giải bài tập đó bằng ứng dụng đạo hàm và

x

'( )

f x

( )

f x

0 1

+ 0

phân tích hai lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọng khi ứng dụng đạo hàm để giải các bài tập về phương trình, bất phương trình sẽ đem lại cho chúng ta một đáp án nhanh gọn và độ chính xác cao đặc biệt có thể giải được tất các dạng bài tập phương trình, bất phương trình bậc cao

III NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

(4x)(6 x)x  2x m nghiệm đúng    4;6

Lời giải:

Bất phương trình f x( )x22x (4x)(6 x)m đúng    4;6

'( )

f x = -2x + 2+2 (42x x)(62 x)

   x 1

Từ bảng biến thiên suy ra Maxf(x) = f( 1 ) = 6 m

Nhận xét:

Bài toán trên với kiến thức ở lớp 10 hoc sinh có thể đặt

(4 ) (6 )

2

giải thì khá phức tạp Bài toán còn có thể giải bằng cách đưa về hàm số

2

( ) 24 ; 0;5

f t   t t m t  và tìm giá trị lớn nhất trên đoạn 0;5 thông qua ứng dụng đạo hàm

Bài 2 Tìm tham số m để bất phương trình sau có nghiệm:

mx  x  3   m 1, (2)

x

'( )

f x

( )

f x

-4 1 6

+ 0

6

24

Lời giải:

Điều kiện: x 3 Đặt t  x  3  t  0 và x t 2 3

Bất phương trình (2) trở thành m t ( 2  3)  t m   1 với điều kiện t 0

2

2

1

2

t

t



 , (2a) với điều kiện t 0 Xét hàm số

2

1

( )

2

t

f t

t







Ta thấy bất phương trình (2) có nghiệm  bất phương trình (8a) có nghiệm t 0  Max f t0; ( )  m

 

2

2 2

2 2

2

t

t t

  

 

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra

 0; 

( )

4

Max f t





4

m  

Nhận xét:

Với kiến thức của lớp 10 học sinh có thể giải được bài toán trên thông qua việc so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0, tuy nhiên khá phức tạp vì

t

'( )

f t

( )

f t

+

+ 0

có thể giải hệ bất phương trình lấy nghiệm không chính xác Do đó ứng dụng đạo hàm để giải bài toán trên nhanh hơn rất nhiều

Bài 3 Tìm tham số a để phương trình: x3  3 x2  a  0, (3) có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng một nghiệm bé hơn 1

Lời giải:

Phương trình (1)  x3 3 x2  a, (3a)

Yêu cầu của đề bài tương đương với phương trình (3a) có ba nghiệm phân biệt

1, ,2 3

x x x sao cho x1   1 x2  x3 tức là đường thẳng y a phải cắt đồ thị hàm số

y  f x  x  x tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x1, ,2 3 thỏa mãn

x   x  x

( ) 3 6 ; ( ) 0

2

x

x







lim ( ) lim 1

x

     

Bảng biến thiên của hàm số f x( )

Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện phải tìm là  4 a2

Nhận xét: Nếu bài toán trên không giải bằng ứng dụng đạo hàm để tìm giao điểm

của đồ thị hàm số f x ( )  x3 3 x2và đường thẳng y = a thì học sinh sẽ gặp khó khăn khi giải và biện luận phương trình bậc ba

'( )

f x

( )

f x

+ 0 - - 0 +

x - 0 1 2 +

-4

Bài 4 Chứng minh rằng m0 phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt:

Lời giải:

2



 



 x 2  2 x 4 2 m x  2 

Từ phương trình phương trình( 4a)  m x   2   0 mà m 0 x2 do đó ta chỉ cần xét phương trình (4a) với điều kiện điều kiện x 2

Phương trình (3a)

   2

2

2 4 , (4 )

x





 



(4b) m x  3 6 x2  32

Xét hàm số f x ( )  x3  6 x  32 với x 2

'( ) 3 2 12 0, 2

f x  x  x    x , lim ( )

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra m0 phương trình (4b) có đúng một

Nhận xét:

Với kiến thức ở lớp 10 học sinh có thể giải bằng cách bình phương hai vế

để quy về bài toán phương trình bậc hai Nhưng cách làm dó rất dễ dẫn đến học sinh không xét hết các khả năng xảy ra của biệt thức đenta Nên với điều kiện

x

'( )

f x

( )

f x

+

2

x  việc khảo sát hàm số f x( ) ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là dùng đạo hàm

tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số f x( )

Bài 5 Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:

4 x4  4 x m   x4 4 x m   6, (5)

Lời giải:

Điều kiện: x4 4x m 0, (*)

Đặt t 4 x4  4 x m   x4  4 x m t   2 với t 0

6 0

3

t

t t

t





     

 mà t 0 t 2

Từ t 2  4 x4  4 x m    2 x4  4 x m   16, (5a)

Từ phương trình (5a) suy ra điều kiện (*) được thỏa mãn

(5a)  m  x4  4 x  16, (5b)

Ta thấy số nghiệm của phương trình (4) bằng số nghiệm của phương trình (5b) Xét hàm số f x ( )  x4  4 x  16 trên tập 

f x  x   x  ; f x'( ) 0   x  1

4

4 16 lim ( ) lim 1

       

4

4 16 lim ( ) lim 1

       

Bảng biến thiên

Từ Bảng biến thiên

suy ra:

- Nếu m 19, phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét:

Nếu không giải bài toán trên bằng ứng dụng đạo hàm thì học sinh có thể làm bằng cách giải và biện luận phương trình x4  4 x m   16 Trong quá trình biện luận hoc sinh có thể không xét hết các điều kiện của bài toán họặc không xét các trường hợp xảy ra

Bài 6 Tìm tham số a để phương trình sau có nghiệm:

3  x  6  x  (3  x )(6  x )  a, (6)

Lời giải:

Điều kiện :   3 x 6

2

u

Để tìm điều kiện của u ta xét hàm số u  f x ( )  3  x  6  x với

 3;6 

x  

f x

2

f x    x   x  x 

x

'( )

f x

( )

f x

-1 +

0

 

 

và f x'( ) không xác định tại các điểm x3,x6

3

2

f   f  f     

 

 3;6  ( ) 3 2,  3;6  ( ) 3

vậy    x  3;6   u   3;3 2 

Phương trình (6) trở thành

2

2

u

u      a u   u  a, (6a) với 3;3 2

u   

Phương trình (6) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (6a) có nghiệm

3;3 2

u   

( )

g u'( )  u   1 0,   u  3;3 2 

 hàm số g u( ) nghịch biến trên đoạn  3;3 2 

(3) 3; (3 2) 3 2

2

2 a

Nhận xét:

- Có thể thay cách giải bài toán trên bằng cách tìm a để phương trình

2

2 u u 2 a

- Nếu trong bài toán có tham số thì việc tìm điều kiện của ulà không thể

bỏ qua và không được làm sai Việc tìm điều kiện của unhư trên thực chất là việc

tìm tập giá trị của hàm số f x( ) trên tập xác định của phương trình đã cho.

Bài 7 Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm:

Lời giải:

Điều kiện:   1 x 1

Đặt u  1  x2  1  x2

2

2

x

x





Dễ thấy u 0 khi x  0; u  2 khi x 1

Vậy    x  1;1   u   0; 2 

và u2   1  x2  1  x22  2 1  x4   2 u2

Phương trình (7) trở thành m u (  2) 2   u2  u với điều kiện u   0; 2 

, 2

m

u

  

Phương trình (7) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (6a) có nghiệm

0; 2

u   

Xét hàm số

2

f u

u

  



 

2 '

2

4

2

u

 

 suy ra hàm số f u( ) nghịch biến trên đoạn  0; 2 

 

Vậy điều kiện phải tìm là 2 1    m 1

Nhận xét:

Đối với bài toán 7 có thể giải và biện luận phương trình 7a theo cách giải

và biện luận phương trình bậc hai tuy nhiên với cách giải này khi học sinh không

học định lý talét đảo thì học sinh giải sẽ rể dẫn đến không xét hết các trường hợp xảy ra do đó với cách giải ứng dụng đạo hàm được trình bày ở trên cho chúng lời giải nhanh gọn hơn

Bài 8 Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm:

3 x   1 m x   1 24 x2 1, (8)

Lời giải:

Điều kiện: x 1, khi đó x   1 0 và phương trình (8)

2 4

m

4

m

( )

1

x

g t

x





 , với x 1

Có

 

'

2

2

1

x

(1) 0; lim ( ) 1

x

 

Phương trình đã cho trở thành:  3 t2  2 t m  , (8a) với điều kiện t   0;1 

Phương trình (8) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (8a) có nghiệm t   0;1 

Xét hàm số f t ( )  3 t2  2 t trên đoạn  0;1  f t'( )  6 t  2;

( ) 0

3

f t    t

Bảng biến thiên

1

3

m

  

Nhận xét:

Trong lời giải trên từ phương trình 3 t2  2 t m  , (8a) với điều kiện

 0;1 

thể trình bày bằng lập bảng biến thiên đối với hàm số bậc hai hoặc biện luận phương trình bậc hai theo tham số m nhưng việc ứng dụng đạo hàm sẽ làm cho lời giải ngắn gọn và dễ dàng hơn

Bài 9 Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình

x   3 m x2  1 (9)

Lời giải:

1

x

m x



( )

1

x

f x

x





 trên 

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số nghiệm của phương trình (9a) và là số giao điểm của đồ thị hàm số yf x( ) với đường thẳng y m

2

2

1

x

x x





t

'( )

f t

( )

f t

1 + 0

2

3 1

1 1

x

f x

x



 

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra:

1

m m

 









phương trình (1) vô nghiệm

m m





  



phương trình (1) có một nghiệm

Nhận xét:

- Với kiến thức của lớp 10 học sinh có thể giải được bài toán trên theo cách bình phương hai vế để đưa về phương trình bậc hai sau đó giải và biện luận nhưng rất phức tạp vì phải so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với các số cho trước

- Với ứng dụng của đạo hàm như trên ta có lời giải rất rõ ràng

Bài tập tự luyện:

1 Chứng minh rằng : với mọi m 0, phương trình 2

2x 8 ( 2)

hai nghiệm

2.Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

2 x m   2 2  x  1

x

'( )

f x

( )

f x

+

+ 0

-1

1